《高等数学(下)教学课件d81》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学(下)教学课件d81（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量关系数量关系 第八章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medi
2、cal UniversitySouthern Medical University四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七七章 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University表示法:向量的模 : 向量的大小,一、向量的概念
3、一、向量的概念向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,零向量: 模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b
4、 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 b 相等, YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向
5、量相加 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University2. 向量的减法向量的减法三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSIT
6、Y Southern Medical UniversitySouthern Medical University3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 ,规定 :可见 与 a 的乘积是一个新向量, 记作总之:运算律 : 结合律分配律因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University定理定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则ab设 ab取正号, 反向时取负
7、号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University“ ”则例例1. 设 M 为解解:ABCD 对角线的交点,已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medica
8、l University三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个)zox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University向径在直角坐标系下坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标
9、 :有序数组(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University坐标轴 : 坐标面 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,则沿三个坐标轴方
10、向的分向量分向量.设点 M的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,任意向量 r 可用向径 机动 目录 上页 下页 返回 结束 OM 表示. YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouth
11、ern Medical University例例2. 求解以向量为未知元的线性方程组解解: 2 3 , 得代入得机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University例例3. 已知两点在AB直线上求一点 M , 使解解: 设 M 的坐标为如图所示及实数得即机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySout
12、hern Medical University说明说明: 由得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点 ,于是得中点公式中点公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYAN
13、GZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University例例4. 求证以证证:即为等腰三角形 .为顶点的三角形是等腰三角形 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University例例5. 在 z 轴上求与两点解解: 设该点为解得故所求点为及思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A
14、 , B 等距离之点的轨迹方程 ?等距离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University提示提示:(1) 设动点为利用得(2) 设动点为利用得且例例6. 已知两点和解解:求机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University2. 方向角与方向余弦
15、方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University方向余弦的性质:机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medic
16、al UniversitySouthern Medical University例例7. 已知两点和的模 、方向余弦和方向角 . 解解:计算向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University例例8. 设点 A 位于第一卦限,解解: 已知轴的夹角依次为求点 A 的则因点 A 在第一卦限 , 故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y第二节 目录 上页 下页 返回 结束 坐标 . YANGZHOU UNIVERSI
17、TYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P12 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University备用题备用题解解: 因1. 设求向量在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量.在 y 轴上的分向量为故在 x 轴上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University2. 设求以向量行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为解：解：为边的平机动 目录 上页 下页 返回 结束
