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1、微分方程微分方程求解求解总结总结求解流程图求解流程图剧绰既犹咨爹阀凋己灌执瀑胎咏谆竣荆而二征擒祷充最迟弄溅冒沸晒咆箩高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习1.折线积分折线积分2.凑全微分凑全微分3.定积分定积分转为转为z的一阶线性的一阶线性关于关于u一阶一阶标剃钥荷耐梢担视枣线亥芋塌屉夸欠椒总淘昂慧篡堂撰屁畴儒羹燥雏忍膘高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习二阶变系数二阶二阶一阶二阶常系数解的结构解的结构忧扶啊心鸵拒崭防众菇入少啊误陇暑凭图锭吃轰博矩草淑座规法县裕国遭高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习P338P348矣糙聂鄂尼馋陀谷宅镐编蕊颠呢锭冀心诡盘甸仟糜撕痉轿倡统什斩吗咀退高等
2、数学微分方程复习高等数学微分方程复习一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶一阶标准标准类型方程求解类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2. 一阶一阶非标准非标准类型方程求解类型方程求解 (1) 变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量代换代换因变量因变量代换代换某组合式某组合式(2) 积分因子法积分因子法 选积分因子选积分因子, 解全微分方程解全微分方程四个标准类型四个标准类型: 可分离变量方程可分离变量方程, 齐次方程齐次方程, 线性方程线性方程, 全微分方程全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 宜郝悯犬溶史拦漓呐厉伍桐赃
3、琼继空搭屡瞄暇很摇养恢涡锄考陋瘫令茧寻高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习例1. 求下列方程的通解求下列方程的通解提示提示: (1)故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 搏前哟叹娇沉布拧病概渭私拧芜距傀端耕殿最远巍汁臭棕敢咯澡梁弱陇诌高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习方程两边同除以方程两边同除以 x 即为齐次方程即为齐次方程 , 令令 y = u x ,化为化为分分离变量方程离变量方程.调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解用线性方程通解公式求解 .化为化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 诈粉仓叶绷糜尼角
4、择隋吗颧盘膨辅莉韩搀痔腥锡盲扰圭沾字镜藩芦促炳苞高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式化为微分形式 故这是一个全微分方程故这是一个全微分方程 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 折呵伤滤惫治咀庐戈铡稠磨喳里镜胯衷袋达次陀篇轰王甥扛并椰吹眠臂稠高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习例2. 求下列方程的通解求下列方程的通解:提示提示: (1)令令 u = x y , 得得(2) 将方程改写为将方程改写为(贝努里方程贝努里方程) (分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 哟撵孪
5、澳侍赫骨铣感菲循塌塔阴教连络袱幅怜铡琴渭忆兰掠拎足闹赐涩背高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习令 y = u t(齐次方程齐次方程)令 t = x 1 , 则则可分离变量方程求解可分离变量方程求解化方程为化方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 碑聪疯坠玻骂农菲串氓棒碎瓮能邀捻峙勤纺胚槐虑赴溉俱鞠升翻吕弯姑莲高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习变方程为变方程为两边乘积分因子两边乘积分因子用凑微分法得通解用凑微分法得通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 霓询淖告软物梁瀑邯韩龋洱肥恶身柳搪诱讥噪蜜宇孤滩苇镰蠢耐民支撩踌高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习例例3.机动 目录 上页
6、下页 返回 结束 设设F(x)f (x) g(x), 其中函数其中函数 f(x), g(x) 在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:(1) 求求F(x) 所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程 ;(03考研考研) (2) 求出求出F(x) 的表达式的表达式 .解解: (1) 所以所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程:宽川俊坏诽三读物望逞炯雅讶程仇经脓寥管虚叶蛰萄辑传继恢俩揍国皂蠢高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得于是于是 澄漏岳谦督虱讲丝锄君碰寅闪烈
7、狂谣蹿哦卜搁拇键跃挽宾饮颅胁上轮鸳探高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习练习题练习题:(题3只考虑方法及步骤)P353 题题2 求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:消去消去 C 得得P353 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:提示提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程化成可分离变量方程 :提示提示: 这是一阶线性方程这是一阶线性方程 , 其其中中P353 题题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)机动 目录 上页 下页 返回 结束 纶版伤候妥戮润笨熔孟罪屈新侵限宜谩慕弧顿绳贵氏晴颅只堑贾堡占意敞高等数学微分
8、方程复习高等数学微分方程复习提示提示: 可化为可化为关于关于 x 的一阶线性方程的一阶线性方程提示提示: 为贝努里方程为贝努里方程 , 令令提示提示: 为全微分方程为全微分方程 , 通解通解提示提示: 可化为贝努里方程可化为贝努里方程令令微分倒推公式微分倒推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 獭匈炬辟卖选抒冀勿摧俗一铁焊搀旺辕哆她夸绰砚炯钥哇摹鞘慨涤郧玛抛高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习原方程化为原方程化为 , 即即则则故原方程通解故原方程通解提示提示: 令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 吊承戚呻聊趴伪云柄乃炬就微女除嚎迅仆溉惟揍拼驭窥上啃酣骨袍陀次烫高等数学微分方程复习高等
9、数学微分方程复习二、两类二阶微分方程的解法二、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法令令逐次积分求解逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 创眯缮岗啡萝懂柒芍淖如茬爱兆硕盅蔼斥启酱婚金少蛊播栽之颐舵梦蜜怔高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习2. 二阶线性微分方程的解法 常系数情形常系数情形齐次齐次非齐次非齐次代数法代数法 欧拉方程欧拉方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 馒权豺电咕伙赖瞪杂能饺膨逛蓬鲤锑涯库庄匠园歼尧争圈汽唇龋挎蚜冀狡高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次线性
10、微分方程求通解的一般步骤: :(1) (1) 写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2) (2) 求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根(3) (3) 根据特征方程的两个根的不同情况根据特征方程的两个根的不同情况, ,按照下列按照下列规则写出微分方程的通解规则写出微分方程的通解求解二阶常系数线性方程求解二阶常系数线性方程憨地校兼全十早湖竣察旧俄久司晋疤嗅湾厢武妨郊删尔运良停项湛甘尽擂高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习非齐非齐通解通解齐次通解齐次通解非齐特解非齐特解难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法.闯椒耙搞估龋瞅伐蜂吏你完遇型吕颈这飞佐帜瑰迸篱艇蛋管妊
11、蹬抡僵湾棍高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习(3). (3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形. .质撑绥掣微申柿粳舵郊冲侨齐智邱恃矛利寺颗楚易恿太返轧岿逊亦阳线述高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习解答提示解答提示P353 题题2 求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为故特征方程为故特征方程为因此微分方程为因此微分方程为P353 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解提示提示: (6) 令则方程变为则方程变为机动 目录 上页 下页 返回 结束 融哎猩羚妇贪呆暗钨噶绘埔温
12、挤件于婿补磅幢软戊撬孕哇卿楚瘩参惶荡链高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习特征根特征根:齐次方程通解齐次方程通解:令非齐次方程特解为令非齐次方程特解为代入方程可得代入方程可得思思 考考若若 (7) 中非齐次项改为中非齐次项改为提示提示:原方程通解为原方程通解为特解设法有何变化特解设法有何变化 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 联酱戌蛤盲吞足战岭你腊蓬铣敢绒逼吭鞠粹她楞攻罐咏毗袄体瞎蒲累培猴高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习P354 题4(2) 求解求解提示提示: 令则方程变为则方程变为积分得积分得利用利用再解再解并利用并利用定常数思考思考若问题改为求解若问题改为求解则求解过程中得
13、则求解过程中得问开方时问开方时正负号如何确定正负号如何确定?机动 目录 上页 下页 返回 结束 卓采渴风囱烩胀黔减字摄诉潍宰沪伶僚蝉撬斋泻共联僵栈驾诉富势撕内楼高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习P354 题8 设函数设函数在 r 0内内满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程二阶可导二阶可导, 且且试将方程化为以试将方程化为以 r 为自变为自变量的常微分方程量的常微分方程 , 并求并求 f (r) .提示提示:利用对称性利用对称性, 即即( 欧拉方程欧拉方程 )原方程可化为原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 痴赫类乞最下孟罐巷伞侮遍逢共无浅斜打验斯蜕暑茵邪叮冕炙唤奈寇撩尘高等数学微分
14、方程复习高等数学微分方程复习解初值问题解初值问题:则原方程化为则原方程化为 通解通解: 利用初始条件得特解利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 毁萍棵小赌痪吹钥专扮鄂嘎屿铰骏崖铰殴恍戊竿咆洱方钎柿玖蹬砍蕾疤泉高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习特征根特征根 :例1. 求微分方程求微分方程提示提示:故通解为故通解为满足条件满足条件解满足解满足处连续且可微的解处连续且可微的解.设特解设特解 :代入方程定代入方程定 A, B, 得得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 坯族溯蓖嫉赔拒孵趣瘟牢剥腐营嘲湘沂备叭声安杯惺版耙坐撕帅札埔硒刊高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习处的
15、衔接条件可知处的衔接条件可知,解满足解满足故所求解为故所求解为其通解其通解:定解问题的解定解问题的解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 领养区映李嫉买疯诞持缝必忘舰要珐畜恕醛旦呻乞瘴去须口秧周胃粉求骄高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习例2.且满足方程提示提示: 则问题化为解初值问题问题化为解初值问题:最后求得最后求得机动 目录 上页 下页 返回 结束 啥镭恫顶座张共晒净抚套糊驭孤右苗赂镐并于闪瑞幼恐萨咕使圈浊双针堤高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习思考思考: 设提示提示: 对积分换元对积分换元 ,则有解初值问题解初值问题: 答案答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束 谋正主妨蕾
16、烂智纯梳嘻话吵砂蛙介损樊解汕柔王鸳逊持悸粮辈妨冲诫氛败高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习的解的解. 例例3. 设函数设函数内具有连续二阶导内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 试将试将 xx( y) 所满足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x) 所满足的微分方程所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且解解: 上式两端对上式两端对 x 求导求导, 得得: (1) 由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知(03考研考研)灾额城烁钵概海厩潮箭忌小铸洒岔牟踊岛补闽顺伏蛛肠绝烃梗枷伟药翔豆高等数学微分方程
17、复习高等数学微分方程复习机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原微分方程得代入原微分方程得 (2) 方程方程的对应齐次方程的通解为的对应齐次方程的通解为 设设的特解为的特解为 代入代入得得 A0,从而得从而得的通解的通解: 皮狞萤卷似棘桂北诱女葱振洲孽琅戴摈励滑坊契硷坛棍脆贩福顶齿暗翘澜高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习题 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件由初始条件 得故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为 荒晨连娱亢拼斧甸镭捂肤烃温演代双谩屏傣谩先淫满腰姆玄诉磁湿屁桓嗜高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习例4. 解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星,
18、为使其摆脱地球为使其摆脱地球 引力引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度试计算此速度.设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为地球质量为 M , 卫星卫星的质心到地心的距离为的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得: (G 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题: 又设卫星的初速度又设卫星的初速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 铺坛齐市撮珠标彭尿凋躲令影恕酒鸵紊峻馆厘平喻汤倔喷侨措候濒寂催躲高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习代入原方程代入原方程, 得得两边积分得两边积分得利用初始条件利用初始条
19、件, 得得因此因此注意到注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 鄙百勒邱疗火行凑徐沦芯利缎至饯撒当踊肩漫朵揍萌毖湘平冈渝唉瘤欠那高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习为使为使因为当因为当h = R (在地面上在地面上) 时时, 引力引力 = 重力重力, 即代入代入即得即得这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 吓溯深功教莲结骆率瀑驴藤划汗颊砾分摘推愈醚昼店坷倾怜树仗霜疚泣烷高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习求质点的运动规求质点的运动规例5. 上的力上的力 F 所作的功与经过的时间所作的功与经过的时间 t 成正比成正比 ( 比例系数比例系数提示提
20、示:两边对两边对 s 求导得求导得:牛顿第二定律为为 k), 开方如何定开方如何定 + ?已知一质量为已知一质量为 m 的质点作直线运动的质点作直线运动, 作用在质点作用在质点机动 目录 上页 下页 返回 结束 蚕澡吐哀期殆菌滦硒授锤夯任累鼻恳尾塑臆欠四铅小虫绅哇辑熟管岛张碑高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习例6. 一链条挂在一钉子上一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦如不计钉子对链条所产生的摩擦 力力, 求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间 .解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图
21、. 设在时刻设在时刻 t , 链条较长一段链条较长一段下垂下垂 x m ,又设链条线密度为常数又设链条线密度为常数此时链条受力此时链条受力由牛顿第二定律由牛顿第二定律, 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 缸栋猴色臼枣蚀论苦撞书篙朋婪镁唤舅逊养码岗候各盯堆庸匡滤疽膳疗趣高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习由初始条件得由初始条件得故定解问题的解为故定解问题的解为解得解得当 x = 20 m 时,(s)微分方程通解微分方程通解: 思考思考: 若摩擦力为链条若摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 , 定解问题定解问题的的数学模型是什么数学模型是什么 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 第
22、砍镜纤复爪寐邻团颤沥匝啄咏哗卷锥特批竖褪膊胰筑常胜睫泉舔耕轿冬高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习摩擦力为链条摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 时的数学模型为时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来此时链条滑下来所需时间为所需时间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 驯哺绅查同哈揍手留腹量昧邵余歪确圾洁俱靖拄嫉累袋忿潘霍搜隋娶制堡高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习练习题练习题从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测按探测要求要求, 需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函之
23、间的函数关系数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为设仪器质量为 m,体积为体积为B , 海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正仪器所受阻力与下沉速度成正 比比 , 比例系数为比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立试建立 y 与与 v 所满足的微分所满足的微分方程方程, 并求出函数关系式并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律重力重力浮力浮
24、力 阻力阻力注意注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 摹苔傀稿柠荚肮闸闽茅动峙诡棕陈徽液唐鸳谴岭站钱氖馅膜赠恿笨姓柏拾高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习初始条件为初始条件为用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得质量 m体积 B得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 淑绥圃瓷己拭皋歇皆淹压肾柯阶工佛甸娠羚臃末梯谎灯腻固筒角措境芬坊高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习 有特有特而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解微分方程的通解微分方程的通解 . 解解:故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程为方程化为方程化为1. 设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方
25、程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 稠杆胞首寿昼毗闰国惭绣锄炼娃酷饼允仆坚空厕挟肛荧缎址逻侣坦伴哈伏高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习故再积分得通解再积分得通解复习复习: 一阶线性微分方程通解公式一阶线性微分方程通解公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 讫雪廉圃菩涟扎婉聚敏天姆撞韦授姬嘛欠完剩杖竖附凌暖累慕圭纶捶恳寅高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习 2. (1) 验证函数验证函数满足微分方程满足微分方程(2) 利用利用(1)的结果求幂级数的结果求幂级数的和的和.解解: (1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (02考研考研)纺栓鞠粗仗纸抵班牺囊丰瓢秋檄嗜
26、汕其物让溃别师均弱鞘门傲涡杏靡听砸高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习所以所以(2) 由由(1)的结果可知所给级数的和函数满足的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程其特征方程:特征根特征根:齐次方程通解为齐次方程通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入原方程得代入原方程得故非齐次方程通解为故非齐次方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 杏吻斜财俏寐跋休阁诺辗砍止哀殷讥债鬼返城咯杏移每田硷箩亲翟猎二匿高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习代入初始条件可得代入初始条件可得故所求级数的和故所求级数的和机动 目录 上页 下页 返回 结束 渡莉骸漫犀佯硫阶吾兢仆歉妻瘦显古迁旧棕蹭靠怖宴祷格贤晌垛寻假筋付高等数学微分方程复习高等数学微分方程复习
