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1、第六节 结构刚度方程和总刚度矩阵一、基本概念一、基本概念 1结构的结点位移向量结构的结点位移向量n结构各结点的位移（包括支座结点的位移）按顺序排成一结构各结点的位移（包括支座结点的位移）按顺序排成一列所组成列所组成结构的结点位移向量结构的结点位移向量 。v如图如图1，结构的结点位移向量为，结构的结点位移向量为xy图1 6m1236m6m1234=20KN/m图2v 如图如图2，结构的结点位移向量为，结构的结点位移向量为2结构的结点力向量结构的结点力向量Pn作用在结点上的力（包括支座反力）按结点顺序排成一列作用在结点上的力（包括支座反力）按结点顺序排成一列所组成所组成结构的结点力向量结构的结点力
2、向量 P 。v如图如图1，结构的结点力向量为，结构的结点力向量为xy图1 6m1236m6m1234=20KN/m图2v 如图如图2，结构的结点力向量为，结构的结点力向量为v当当单单元元上上作作用用非非结结点点荷荷载载时时，如如分分布布荷荷载载，温温度度变变化化等等，则则需需将将非非结结点点荷荷载载移移置置到到结结点点上上去去，变成等效结点荷载。变成等效结点荷载。3结构的刚度方程结构的刚度方程n结构刚度方程是反映结点力向量结构刚度方程是反映结点力向量P与结点位移向量与结点位移向量之间的之间的变换关系，即变换关系，即 ： P=K v其中，其中，K 为结构的总刚度矩阵。为结构的总刚度矩阵。v如果结
3、构的结点位向量如果结构的结点位向量和结点力向量和结点力向量P的阶数为的阶数为n，则则K为为nn。结点位移和结点力向量是按结点顺序排结点位移和结点力向量是按结点顺序排列的，总刚度矩阵列的，总刚度矩阵K应按结点顺序排列且包含所有的应按结点顺序排列且包含所有的结点的刚度贡献。结点的刚度贡献。v以上所有的量都要用整体坐标表示。以上所有的量都要用整体坐标表示。v关键问题是关键问题是:如何建立这一方程式以及如何推导出总如何建立这一方程式以及如何推导出总刚度矩阵中的具体内容。刚度矩阵中的具体内容。 二、用最小势能原理推导二、用最小势能原理推导结构刚度方程结构刚度方程 结构总应变能结构总应变能 ：单元应变能等
4、于杆端力单元应变能等于杆端力F（e）在杆端位移在杆端位移（e）上做功，即：上做功，即：代入单元的刚度方程得：代入单元的刚度方程得： 结构总应变能结构总应变能 ：把把 杆端位移向量、单元刚度矩阵经过坐标变换统一到整体杆端位移向量、单元刚度矩阵经过坐标变换统一到整体 坐标下。则坐标下。则 结构荷载势能结构荷载势能 ：结构总势能：结构总势能：最小势能原理：当体系既满足平衡条件又满足变形条件时最小势能原理：当体系既满足平衡条件又满足变形条件时体系总势能取得最小值，即总势能的驻值应为零，即：体系总势能取得最小值，即总势能的驻值应为零，即： 二、用最小势能原理推导二、用最小势能原理推导结构刚度方程结构刚度
5、方程 以上为结构刚度方程，体现了原结构各结点位移与结点力以上为结构刚度方程，体现了原结构各结点位移与结点力之间和实际关系。之间和实际关系。三、总刚度矩阵的构成三、总刚度矩阵的构成结点位移和结点力向量是按结点顺序排列的，总刚度矩阵结点位移和结点力向量是按结点顺序排列的，总刚度矩阵K应按结点顺序且包含所有的结点的刚度贡献。如果结构有应按结点顺序且包含所有的结点的刚度贡献。如果结构有n个结点，则结点位移和结点力向量可分为个结点，则结点位移和结点力向量可分为n个子块，总刚度个子块，总刚度矩阵可分为矩阵可分为nxn个子块。个子块。 即：即： 令：令： 返回目录返回目录总刚度矩阵是由各单元刚度矩阵之和构成的。但总刚度矩阵总刚度矩阵是由各单元刚度矩阵之和构成的。但总刚度矩阵的阶数与单元刚度矩阵的阶数并不同相，不能直接进的阶数与单元刚度矩阵的阶数并不同相，不能直接进行简单的相加；必须把单元的刚度矩阵扩展后再叠加。行简单的相加；必须把单元的刚度矩阵扩展后再叠加。
