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1、第十章第十章 正弦稳态分析正弦稳态分析从从本本章章开开始始，我我们们研研究究线线性性动动态态电电路路在在正正弦弦电电源源激激励励下下的的响响应应。线线性性时时不不变变动动态态电电路路在在角角频频率率为为的的正正弦弦电电压压源源和和电电流流源源激激励励下下，随随着着时时间间的的增增长长，当当暂暂态态响响应应消消失失，只只剩剩下下正正弦弦稳稳态态响响应应，电电路路中中全全部部电电压压电电流流都都是是角角频频率率为为的的正正弦弦波波时时，称称电电路路处处于于正正弦弦稳稳态态。满满足足这这类类条条件件的的动动态态电电路路通常称为正弦电流电路或正弦稳态电路。通常称为正弦电流电路或正弦稳态电路。正弦稳态分
2、析的重要性在于：正弦稳态分析的重要性在于：1.很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。力系统的大多数电路。2.用相量法分析正弦稳态十分有效。用相量法分析正弦稳态十分有效。3.已知线性动态电路的正弦稳态响应，可以已知线性动态电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。得到任意波形信号激励下的响应。101正弦电压和电流正弦电压和电流一、正弦电压电流一、正弦电压电流 按照正弦规律随时间变化的电压按照正弦规律随时间变化的电压(或电流或电流)称为正弦电称为正弦电压压(或电流或电流)，它是使用最广泛的一种交流电压，它是使用最广泛的一种交流电压(
3、电流电流)，常，常称为交流电，用称为交流电，用AC或或ac表示。常用函数式和波形图表示正表示。常用函数式和波形图表示正弦电压和电流，例如振幅为弦电压和电流，例如振幅为Im,角频率为角频率为，初相位为初相位为 i的的正弦电流的函数表达式如式正弦电流的函数表达式如式(101)所示，其波形图如图所所示，其波形图如图所示。示。(a)初初相相 0的的情情况况(b)初初相相 =0的的情情况况(c)初初相相 0的的情情况况(b)初初相相 =0的的情情况况(c)初初相相 00的情况的情况 ( (b) b) 初相初相 =0=0的情况的情况 ( (c) c) 初相初相 00时，表明时，表明i1(t)超前于电流超前
4、于电流i2(t)，超前超前的角度为的角度为 ，超前的时间为超前的时间为 /。当当 = 1- 20时，表明时，表明i1(t)滞后于电流滞后于电流i2(t)，滞后的角度为滞后的角度为| |，滞后的时间为滞后的时间为| |/。图图(a)表示电流表示电流i1(t)超前于电流超前于电流i2(t)的情况，图的情况，图(b)表示电流表示电流i1(t)滞后于电流滞后于电流i2(t)的情况。的情况。 同频率正弦电压电流的相位差有几种特殊的情况。同频率正弦电压电流的相位差有几种特殊的情况。1.同相同相:如果相位差如果相位差 = 1- 2=0,称电流称电流i1(t)与电流与电流i2(t)同相，如图同相，如图(a)所
5、示；所示；2.正交正交:如果相位差如果相位差 = 1- 2=/2，称电流，称电流i1(t)与电与电流流i2(t)正交，如图正交，如图(b)所示，图中电流所示，图中电流i1(t)超前电流超前电流i2(t)一个一个 /2或或90；3.反相反相:如果相位差如果相位差 = 1- 2=，称电流，称电流i1(t)与电流与电流i2(t)反相，如图反相，如图(c)所示。所示。( (a) a) 同相同相( (b) b) 正交正交( (c) c) 反相反相在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。例例10-2已知正弦电压已知正弦电压u(t)和电流和电流i1(t)，i2(t)的瞬时值表达的瞬时值表达式式为为试求电压
6、试求电压u(t)与电流与电流i1(t)和和i2(t)的相位差。的相位差。电压电压 u(t)与电流与电流i2(t)的相位差为的相位差为习惯上将相位差的范围控制在习惯上将相位差的范围控制在-180到到+180之间，我之间，我们不说电压们不说电压u(t)与电流与电流i2(t)的相位差为的相位差为-240 ，而说电压，而说电压u(t)与电流与电流i2(t)的相位差为的相位差为(360 -240 )=120 。解：电压解：电压u(t)与电流与电流i1(t)的相位差为的相位差为三、正弦电压电流的相量表示三、正弦电压电流的相量表示利用它的振幅利用它的振幅Um和初相和初相来构成一个复数，复数的模来构成一个复数
7、，复数的模表示电压的振幅，其幅角表示电压的初相，即表示电压的振幅，其幅角表示电压的初相，即 分析正弦稳态的有效方法是相量法，相量法的基础是分析正弦稳态的有效方法是相量法，相量法的基础是用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。假用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。假设正弦电压为设正弦电压为 它在复数平面上可以用一个有向线段来表示，如图所它在复数平面上可以用一个有向线段来表示，如图所示。这种用来表示正弦电压和电流的复数，称为相量。示。这种用来表示正弦电压和电流的复数，称为相量。 图图10-5设想电压相量以角速度设想电压相量以角速度沿反时针方向旋转，它在沿反时针方向旋转，它在实轴
8、投影为实轴投影为Umcos( t+)，在虚轴上投影在虚轴上投影为为Umsin( t+)，它们都是时间它们都是时间的正弦函数，的正弦函数，如图所示。如图所示。图图10-6旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影将电压相量将电压相量与旋转因子与旋转因子ej t=cos t+jsin t相乘可以得到以下数学表达式相乘可以得到以下数学表达式 上式表明正弦电压与电压相量之间的关系为上式表明正弦电压与电压相量之间的关系为 由此可得由此可得 由上述可见，一个随时间按正弦规律变化的电压和电由上述可见，一个随时间按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个称为相量的复数来表示。已知正弦电压电流
9、，可以用一个称为相量的复数来表示。已知正弦电压电流的瞬时值表达式，可以得到相应的电压电流相量。反过流的瞬时值表达式，可以得到相应的电压电流相量。反过来，已知电压电流相量，也能够写出正弦电压电流的瞬时来，已知电压电流相量，也能够写出正弦电压电流的瞬时值表达式。即值表达式。即 例例10-3已知正弦电流已知正弦电流i1(t)=5cos(314t+60 )A, i2(t)=-10sin(314t+60 )A。写出这两个正弦电流的电流相量，画出相量图，并写出这两个正弦电流的电流相量，画出相量图，并求出求出i(t)=i1(t)+i2(t)。得到表示正弦电流得到表示正弦电流i1(t)=5cos(314t+6
10、0 )A的相量为的相量为解：根据以下关系解：根据以下关系正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为注意：今后在用相量法分析电路时，应该将各正弦电压注意：今后在用相量法分析电路时，应该将各正弦电压电流的瞬时表达式全部用余弦函数电流的瞬时表达式全部用余弦函数(正弦函数正弦函数)表示。表示。与此相似，对于正弦电流与此相似，对于正弦电流i2(t)=-10sin(314t+60 )A可可以得到以下结果以得到以下结果三角公式三角公式sinx=cos(x-90 )图图10-7将各电流相量将各电流相量和和画在画在一个复数平面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各一个复数平
11、面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。正弦电压电流的相位关系。相量图的另外一个好处是可以用向量和复数的运算法相量图的另外一个好处是可以用向量和复数的运算法则求得几个同频率正弦电压或电流之和。则求得几个同频率正弦电压或电流之和。例如用向量运算的平行四边形作图法则可以得到电流例如用向量运算的平行四边形作图法则可以得到电流I的相量，从而知道电流的相量，从而知道电流i(t)=Imcos(314t+)的振幅约为的振幅约为12A，初相约为初相约为124。作图法的优点是简单直观，但不精确。作图法的优点是简单直观，但不精确。图图10-7采用复数运算可以得到更精确的结果采用复数运算可以
12、得到更精确的结果图图10-7四、正弦电压、电流的有效值四、正弦电压、电流的有效值现在将直流电流现在将直流电流I和正弦电流和正弦电流i(t)通过电阻通过电阻R时的能量作时的能量作一比较，由此导出正弦电压电流的有效值，它是一个十分一比较，由此导出正弦电压电流的有效值，它是一个十分有用的量。有用的量。直流电流直流电流I和正弦电流和正弦电流i(t)=Imcos( t+)通过同一电阻通过同一电阻R，令它们在时间令它们在时间T内获得的能量相等内获得的能量相等由此解得由此解得用此式计算出正弦电流用此式计算出正弦电流i(t)=Imcos( t+)的方均根值，的方均根值，称为正弦电流的有效值。具体计算如下称为正
13、弦电流的有效值。具体计算如下与此相似，正弦电压与此相似，正弦电压u(t)=Umcos( t+)的有效值为的有效值为计算结果表明，振幅为计算结果表明，振幅为Im的正弦电流与数值为的正弦电流与数值为I=0.707Im的直流电流，在一个周期内，对电阻的直流电流，在一个周期内，对电阻R提供相同的提供相同的能量。也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的能量。也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的0.707倍，倍，或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的倍。倍。有有效效值值的的概概念念在在电电力力工工程程上上非非常常有有用用，常常用用的的交交流流电电压压表表和和电电流流表表都
14、都是是用用有有效效值值来来进进行行刻刻度度的的，当当我我们们用用交交流流电电压压表表或或普普通通万万用用表表测测量量正正弦弦电电压压的的读读数数为为220V时时，是是指指该电压的有效值为该电压的有效值为220V，其振幅值为其振幅值为由于正弦电压电流的振幅值与有效值间存在由于正弦电压电流的振幅值与有效值间存在的关系，的关系，今后除了使用前面介绍的振幅相量今后除了使用前面介绍的振幅相量和和外，更多使用的是有效值相量外，更多使用的是有效值相量和和。正。正弦时间函数与有效值相量之间的关系如下：弦时间函数与有效值相量之间的关系如下：有效值的概念也适用于任何周期性电压和电流。例如有效值的概念也适用于任何周
15、期性电压和电流。例如对于图对于图10-8(a)所示三角波形，将瞬时值表达式所示三角波形，将瞬时值表达式代入式代入式(104)中中计算结果表明该三角波形的有效值是振幅值的计算结果表明该三角波形的有效值是振幅值的倍，倍，或者说其振幅值是有效值的或者说其振幅值是有效值的倍。倍。图图10-8(a)对于图对于图(b)所示半波整流波形，将其瞬时值表达式所示半波整流波形，将其瞬时值表达式代入式代入式(104)中，可以得到半波整流波形的有效值是中，可以得到半波整流波形的有效值是振幅值的振幅值的0.5倍，或者说其振幅值是有效值的倍，或者说其振幅值是有效值的2倍的结论，倍的结论，具体计算过程如下：具体计算过程如下
16、：图图10-8(b)在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。名名 称称时间时间名名 称称时间时间1 1正弦波的相位差正弦波的相位差1:482 2正弦波的有效值正弦波的有效值3:133 3RLCRLC元件的相位差元件的相位差1:424 4电感线圈的电压电流关系电感线圈的电压电流关系2:125 5电容器的电压电流关系电容器的电压电流关系2:306 6RCRC和和RLRL电路相位差电路相位差1:437 7RCRC正弦分压电路正弦分压电路1:278 8RCRC正弦电路的电压关系正弦电路的电压关系1:569 9CASIOfx82CASIOfx82科学计算器科学计算器2:191010CASIOfx82M
17、SCASIOfx82MS科学计算器科学计算器3:101111CASIOfx150CASIOfx150科学计算器科学计算器2:301212KD102KD102科学计算器科学计算器1:501313KK106NKK106N科学计算器科学计算器3:101414习题习题10105353电路实验电路实验3:161515习题习题10105757电路实验电路实验2:491616习题习题10105858电路实验电路实验2:491717方波的谐波分量方波的谐波分量2:571818非正弦波的谐波非正弦波的谐波5:091919回转器变电容为电感回转器变电容为电感4:31根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。郁金香
