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1、第三节第三节 全微分全微分n全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用 n二元函数的可微性及全微分的定义二元函数的可微性及全微分的定义 高等数学(3)一、一、一、一、二元函数的可微性及全微分的定义二元函数的可微性及全微分的定义二元函数的可微性及全微分的定义二元函数的可微性及全微分的定义 1.1.全增量全增量点从 变到其邻域内另一点 ,的差值 称为函数在点 的全增量，记作全增量，记作 ，即，即这两点函数值设函数 在点 的某邻域内有定义,当自变量x, y分别有增量 , 时, 高等数学(3)如果函数 在点 的全增量当 时, 可表示为在点（x, y）可微可微，定义定义1 1 A, B是与 ， 无
2、关的常数，则称(1)(2)(3)记作记作而 称为函数 在点（x, y）的全微分，全微分，即，即高等数学(3)定理定理1 1（必要条件）如果函数 在点 可微 则f (x, y) 在点（x, y）连续, 且偏导数 存在 ，全微分为 (4)证证 由（1）, （2）两式得 因此，函数 在点 （x , y）连续 高等数学(3)则 于是（2）式在（2）式中取 ，成为两边除以 ，取极限得同理可证 , 再由（3）就可得到（4）式 证毕证毕高等数学(3)函数 在点（x , y）连续, 且偏导数 存在， 只是函数 在点（x , y）可微的必要条件,还不是 充分条件. 例如例如：函数 是一个初等函数,在点（0, 0
3、）连续, 且 ，所以 ，同样有 但这个函数在点（0, 0）不可微 。事实上，假设该函数在点（0, 0）可微, 根据定义1及定理1, 应有高等数学(3)即(6)(5)从而然而高等数学(3) 由前面知,上面这个二重极根不存在. 因此,（6）式不成立, 从而（5）式不成立, 即函数在点（0, 0）不可微. 如果函数 在点（x , y）的偏导数存在，但 不可微, 虽然形式上可写出 由于它与 之差并不是比 高阶的无穷小，我们并不把它称为全微分. 话说, 函数在一点可微, 则在该点的全微分存在, 不可微则全微分不存在. 换句高等数学(3)定理定理2 2（充分条件）如果函数 的偏导数 ，在点（x, y）连续
4、, 则函数在该点可微证证 偏导数 ， 在点 （x, y） 连续的条件，隐含在点（x , y）的某个邻域内这两个偏导数存在 考察函数的全增量 (7)高等数学(3)右边第一个方括号内的表达式中, 由于 不变， 因而可以看作是x的一元函数 的增量 。 应用拉格朗日中值定理, 得到其中 依假设， 在点（x, y）连续, 所以上式可写为 (8)其中 是 的函数, 且当 高等数学(3)同理可证第二个方括号内的表达式可写成(9)其中 是 的函数, 且当 将（8）, （9）式代入（7）式, 得到(10)因为 ，( ) 所以 代入（10）式，就证明了 在点（x, y）是可微的. 高等数学(3)习惯上, 将自变量
5、x, y的增量 分别记为dx, dy, 并称为自变量x, y的微分.这样, 函数 的全微分可写成 可以将函数可微及全微分的概念以及定理1, 定理2, 推广到一般多元函数中去. 对于n元函数, 全微分公式是n项的和. 例如例如：如果三元函数 在点（x, y , z）可微，则在该 点的全微分为 高等数学(3)其中 是自变量的微分, 也就是自变量的增量. 例例例例1:1:1:1:求 的全微分 解解: : 因为 在全平面连续, 所以函数z在全平面可微, 全微分为高等数学(3)例例例例2:2:2:2: 求函数 在点（2, 1）的全微分. 解解: : 因此 例例例例3:3:3:3:解解: : 求函数 的全
6、微分 因此, 高等数学(3)二二二二、全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用 如果二元函数 在点（x, y）的两个偏导数 连续, 由定理2, 函数在点（x, y）可微, 因而有当 很小时, 略去高阶无穷小 , 就得到近似等式 上式也可写成(11)(12)高等数学(3)我们可以应用上面的（11）, （12）两式作函数的近似计算及误差估计.例例例例4:4:4:4: 计算 的近似值 解解: : 设 , 由（12）式, 得取 , 代入上式, 就得 下面考虑误差估计问题. 高等数学(3)设函数 的自变量取得近似值x, y, 误差分别为 , 而自变
7、量的精确值为 , 于是函数的近似值为f (x, y), 精确值为 ,函数的误差为 如果自变量的绝对误差界为 , 即由（11）式, 函数的绝对误差为 高等数学(3)从而得到函数z的绝对误差界为 函数z的相对误差界为 (13)(14)习惯上, 绝对误差界与相对误差界简称为绝对误差绝对误差与与相对误差相对误差. 高等数学(3)例例例例5:5:5:5:解解: : 利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是 现测得单摆摆长l与振动周期T分别为l=1000. 1cm, T=20. 004s. 求由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相对误差.由（13）式, g的绝对误差为 取 代入上式, 得 高等数学(3)从而g的相对误差为 高等数学(3)
