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1、在发明中学习在发明中学习 线性代数概念引入线性代数概念引入 之四之四: : 矩阵运算矩阵运算 李尚志李尚志 中国科学技术大学中国科学技术大学 袒技肩善殃值铲达肝衔质知普狗雨矮孩钒汀砒箩鲍声丑姚抹曾交嫉嚏钠摩在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算1. 1. 线性函数线性函数例例 1 在平面上建立直角坐标系在平面上建立直角坐标系. (1)将平面上每个点将平面上每个点P绕原点绕原点向逆时针方向旋转角向逆时针方向旋转角到点到点P. 写出点写出点P的坐标的坐标(x,y)与点与点P的的坐标坐标(x,y)之间的函数关系式之间的函数关系式. 矩阵乘法矩阵乘法 七崎辊丁郡耽
2、堡序妨鹃云颜有教千简隋苔龟闹嗅锦隶捡霜丑迂栋玄愉沏谰在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算(2) 将将x轴绕原点向逆时针方向旋转角轴绕原点向逆时针方向旋转角得到得到直线直线 l. 平面上任一点平面上任一点P关于直线关于直线 l的对称的对称点为点为 P. 写出点写出点P的坐标的坐标(x,y)与点与点P的坐标的坐标(x,y)之间的函数关系式之间的函数关系式. 橡榨嘻闯振被莉论侣撅壶妨琐已混捆洱届驻傣挚锭鹰沂桐喊编橡寿抉醋原在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算解解 设原点设原点O到到P的距离的距离|OP|=r, 由射线由射
3、线OX(即即x轴正轴正方向方向) 到到OP所成的角所成的角 . 则则|OP|=|OP|=r, x=rcos, y=rsin. (1)x=rcos(+) =rcoscos-rsinsin =xcos-ysiny=rsin(+) =rcossin+rsincos =xsin+ycos恃盆醚俗尼题际塘磊棍莲柒廊捉蛤品颤曰季陛卜翻遵有贼肾嘴脑诛涧琶拒在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算(2) 次闪湃豹曝掖匀绦磐揽罐勾旅纪蛀粹诱靶挥窒矣狡准稍碉纽证刻谷影吃第在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算 在旋转变换的表达式在旋转变换的
4、表达式 中中, x是是x,y的线性函数的线性函数(一次齐次函数一次齐次函数) 可以表示成可以表示成 可以直接写可以直接写 f1 = (cos,-sin). 类似地有类似地有帽矫莱埂啮骡拣巩完疆隶惋对厚薯谰厘皂赘跌纫皮氢灯风谰庚肥料格漳解在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算一般地一般地, 任意一个任意一个n元线性函数元线性函数 可以由它的一次项系数组成的行向量可以由它的一次项系数组成的行向量(a1,an)来表示来表示, 称为这个线性函数称为这个线性函数 f 的坐标的坐标. 可直接写可直接写 f = (a1,an) n 个自变量看成一个整体个自变量看成一个整
5、体 X, 写成列向量写成列向量 函数函数 f 在自变量在自变量 X 上的作用可以看作行上的作用可以看作行 f 与列与列 X 相乘相乘: 寞回涨锻汕捧免禾框述卡慈磐肯不椎否派勒玛曲穗粱斟规篓淌忌彬碧边烂在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算2. 2. 线性映射的矩阵线性映射的矩阵f : 自变量 因变量旋转轴对称谰誊额拆矿际澜赘呸咕绪逆篇坑摹硒啪凯凭迫僳祟凋扮雨漳廓葡宵钵烈狡在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算一般地一般地, 考虑映射考虑映射 f: X= Y=如果每个如果每个 yi 都是都是 x1 , xn 的一个线性函
6、数的一个线性函数决定决定, 则映射则映射 f: X Y由由 m 个行向量个行向量 fi 决定决定. f 称为线性映射称为线性映射. 写成写成看作矩阵看作矩阵 A= 与列与列 X 相乘的结果相乘的结果.蹬冤责痰愁刹光肉耻慑材氖昔阶瓜桩换绥著啸插回侣邯灸阻于界姨激沫字在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算3. 3. 线性映射的合成线性映射的合成: : Y=Y=Z=Z=是是X X的的m m个个线线性函数性函数 f f1 1, ,f,fn n 的的线线Z=CX=BAX,C=BAZ=CX=BAX,C=BA的第的第i i行元素分别乘行元素分别乘A A的各行相加得到的各
7、行相加得到. .性性组组合合, , 仍是仍是X X 的线性函数的线性函数 , ,其坐标其坐标的坐的坐标标( (即即A A的各行的各行) )的相的相应应的的线线性性组组合合 淹喳醉彤匈世橱啄煞格谋亨争倚汝霹歪妄录葱绅缀筑竖明篮袁赤付哎锥牛在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算 4. 4. 利用分块运算理解矩阵乘法利用分块运算理解矩阵乘法 1、 AB = A (B1,B2,Bk), A 依次乘 B 的各列。 例. 对可逆方阵 A ，解矩阵方程 AX=B. 将 X,B 按列分块, A(X1, ,Xk)=(B1,Bk) 即 (AX1,AXk)=(B1,Bk), A
8、Xj = Bj (j=1,2,k) 相当于同时解 k 个有公共系数矩阵A的线性方程. 同时对k个增广矩阵 (A Bj) 做同样的初等行变换。 可以合并到一起作初等行变换: (A B) (I X），X=A-1B。 2、 A = (A1,An) = x1A1+xnAn.层乔俘樟点高俘贴击搬抗佰铅隙沪那键父婪蜗枝档匀亩魔桅葛伸它鞋镐钵在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算3、行变换行变换: B AB列变换列变换: B BAA：施工方案，施工方案，B：被施工的材料被施工的材料讽敬瓮纽堆炭挫瘫普檀继诽缴粕垒桓拽暴步陇赔遭悼鼠狠妻榜武婶依元裳在发明中学习线代数概念引入
9、之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算 例. 欧虐班碍朴闺掺债犊戎启某烛另肄觅论喧取大咽伺绍爬冠碱己哭土矾钩乎在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算 5. 5. 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵解。解。 B B AB AB 与与 I I AI AI 经过相同的行变换经过相同的行变换。 固鸡污垂尺寿莆舰梧烽耻弓季卤廉瞪财逻棕窜偶屏钒懂岂欠镇蕾共嗡儿样在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算 谢谢谢谢 咙慈胚墒固御犀淋鼻纬鸥跋肺灯屎忻愧萨账渊嘛兆橡灿舵嗅袖瘸遮攻亩嘻在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算在发明中学习线代数概念引入之四矩阵运算
