第十八章动能定理

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1、1.动能、功的计算动能、功的计算2.动能定理动能定理第一节第一节 动能的概念和计算动能的概念和计算 第二节第二节 功的概念和计算功的概念和计算 第三节第三节 动能定理动能定理 本章重点本章重点 第十八章第十八章 动能定理动能定理第四节第四节 综合问题综合问题第一节第一节 动能的概念和计算动能的概念和计算 一、质点的动能一、质点的动能动能：物体机械运动强弱的一种度量。动能恒为正值。质量为m的质点，速度为v， 质点的动能质点的动能在国际单位制中动能的单位为Nm（牛米），即J（焦耳）。动能的量纲dim Ek= M L2 T2二、质点系的动能二、质点系的动能 将各质点的动能相加1.平动刚体的动能2.定

2、轴转动刚体的动能 例例18-1 四连杆机构如图所示，OA=DB=AB=l。质量均为m。若OA绕O轴以匀角速度转动，求系统的动能。ODABCvAvCvB解解: 杆杆OA和DB定轴转动，杆AB平动Ek = EkOA + EkDB+ EkABvC = vA = vB= l ODABCvAvCvB第二节第二节 功的概念和计算功的概念和计算 一、常力的功一、常力的功在国际单位制中，功的单位为J（焦耳）。功是标量，可为正、负或零。功的量纲为dim W = M L T2L = M L2 T2二、变力的功二、变力的功三、常见力的功三、常见力的功1重力的功重力的功（2）质点系（1）质点2弹性力的功弹性力的功 F

3、= -k(r-ro) ro MFrr0r2r1o3定轴转动刚体上力的功定轴转动刚体上力的功力偶的功力偶的功式中，Mz可为力偶矩矢在轴上的投影 7、内力的功W = F1dr1 + F2dr2Or2r1r12F2F1讨论:1)对于刚体F1 dr120 ； W=0。2)对于一般质点系，dr120。内力不作功.内力作功. = F1 (dr1-dr2)= F1 dr128、约束反力的功、约束反力的功.理想约束理想约束dr=0FdrW1= -W2W=0当满足约束反力作功之和为零的约束，称之为理想约束理想约束。除动滑动摩擦约束约束外，静力学中介绍的约束均为理想约束。A例例18-2 一刚度系数为k的弹簧，放在

4、倾角为的斜面上。弹簧的重物A上所有力的功的总和。摩擦力不计。上端固定，下端与质量为m的物块A相连，图示为其平衡位置。如使重物A从平衡位置向下沿斜面移动了距离s，试计算作用于解：解：作出重物A的受力图；WFFN重物W和弹力F作功平衡时 例例18-3 在半径为r的卷筒上，作用一力偶，其中为转角，a和b为常数。卷筒上的绳索拉动斜面上的重物B。设重当卷筒转过两圈时，试求作用于系统中所有力的功的总和。物B的质量为m，它与斜面之间的滑动摩擦系数为f 。绳索质量不计。 解：解：分别求得各功：摩擦力FS的功 所有力的功的总和 力偶M的功重力W的功 W2 = - mg4r sin30= - mg2rWFS第三节

5、第三节 动能定理动能定理一、质点的动能定理一、质点的动能定理 质点动能定理的积分形式积分 质点动能定理的微分形式例例18-4 质量为m的物体，自高处自由落下，落到下面有弹簧支持的板上。设板和弹簧的质量都可忽略不计，弹簧的刚度系数刚度系数为k。求弹簧的最大压缩量。解解 （1）以物体为研究对象，作功的力有重力和弹力。（2）运动分析。物体在始、末位置，速度为零，动能为零。（3）选用动能定理求弹簧的最大压缩量。由动能定理重力作功弹簧力作功解得 二、质点系的动能定理二、质点系的动能定理质点系内任一质点，质量为mi，速度为vi，作用在该质点上的力为Fi ， i=1，2，3，n求和 交换求微分和求和次序，质

6、点系动能定理的积分形式：质点系动能定理的微分形式：3、动能定理为标量式，可求一个未知数，通常先求速度，1、动能定理涉及v、F、S，已知足够量，可求其余。2、在Wi中，一般含内力的功，但不含理想约束力的功。再求导，求加速度。注意：注意：例例11-6 链条长l质量为m,展开放在光滑的桌面上。开始时链条静止，并有长度为a 的一段下垂。求链条离开桌面时的速度。解：解： 1 1、取系统为研究对象；2、作作功的力；4、用动能定理求运动量。3、运动分析：链条上各点速度大小相同；W1W2带入质点系动能定理解得：下垂段重力作功为桌面段重力作功为W1W2例例11-8 在绞车的主动上作用一恒力偶M以提升重物，已知轴

7、承的摩擦和吊索的质量均不计。绞车初始时静止，求当重物重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等转动惯量分别为J1和J2，传动比；鼓轮的半径为R。上升的距离为h时的速度v及加速度a。 解：解： 1 1、取系统为研究对象；2、作作功的力；4、用动能定理求运动量。3、运动分析：重物平动；轴I、轴II绕定轴转动；系统初始静止，动能重物升高h时系统的动能力的功带入质点系动能定理对时间求导， 第六节第六节 综合问题综合问题一、动力学普遍定理比较一、动力学普遍定理比较1、动量定理；质心运动定理 矢量式；内力不出现；涉及到速度、时间和外力三种量；常用于求约束反力；动量、质心运动守恒用于求运动量

8、。于求含单个绕定轴转动刚体的物体系统的运动量，动量矩守恒2、对固定轴的动量矩定理代数式；内力不出现；涉及到速度、时间和外力三种量；常用用于求运动量。 刚体绕定轴转动微分方程用于求单个绕定轴转动刚体的动力学问题。3、动能定理 涉及到速度、时间和路程三种量，标量式，内力作功一般不为零。常用于求速度量，通过求导求加速度量。二、综合应用题题型二、综合应用题题型1、用两个以上的定理求解一个问题2、综合运用静力学、运动学、动力学知识解题3、一题多解常用解题方法：用动能定理求运动量，用质心运动定理求力。常用解题方法：用动能定理求运动量，用质心运动定理求力。例例185 物块A质量为m1，沿楔状物D的斜面下降，

9、同时借绕过水平成 角，滑轮和绳的质量及一切摩擦均略去不计。求楔状物定滑轮C的绳使质量为m2的物体B上升，如图所示。斜面与D作用于地面凸出部分E的水平压力。解：解：（一）用动能定理求加速度量1.取整个系统为研究对象， 作功的力为A、B的重力 2.运动分析 物块A、B作平动； 等式两边同时对时间求一阶导数 （二）用质心运动定理求力由质心运动定理，将矢量式向x轴投影：解得： 例例11-10 匀质杆OA长l重W，其一端O用理想铰链固定如图所示。设开始时杆在水平位置，初速为零。求转过角时的角速度，角加速度以及铰链O处的约束反力。OA解：解： 1 1、取杆为研究对象；2、作受力图；3、运动分析：杆OA绕定

10、轴转动，FOxFOyyOAC xW4、选择解题所用定理。OAC xyacnac1.用动能定理求角速度2.用定轴转动微分方程求角加速度解得:（2）用质心运动定理求力。WFOxOAC xyacnacFOy小小 结结 一、动能的计算一、动能的计算 1.质点的动能2.质点系的动能(1)平动刚体的动能(2)定轴转动刚体的动能(3)平面运动刚体的动能 二、常见力的功二、常见力的功1重力的功重力的功（2）质点系（1）质点2弹性力的功弹性力的功3定轴转动刚体上力的功定轴转动刚体上力的功力偶的功力偶的功三、动能定理三、动能定理 讨论题讨论题1、动能、功是什么量？、动能、功是什么量？2、质点系的动能一定大于其中每一个质点的动能吗、质点系的动能一定大于其中每一个质点的动能吗?3、用动能定理求解质点系的运动量很方便，为什么？、用动能定理求解质点系的运动量很方便，为什么？4、当待求量是质点系的力时，可考虑用什么方法求解？、当待求量是质点系的力时，可考虑用什么方法求解？