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1、空间向量复习空间向量知识点归纳总结空间向量知识点归纳总结知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注： （1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图） 。运算律：加法交换律：a b b a加法结合律：(a b)c a (b c)数乘分配律：(a b) a bOB OA AB a b;BAOAOB a b;OP a(R)向量或平行向量，a平行于b，记作a /b。当我们说向量a、b共线（或a/b）时，
2、表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线（2） 共线向量定理： 空间任意两个向量a、b（b0） ，a/b存在实数 ， 使ab。x, y使p xa yb。5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x, y,z，使p xa yb zc。若三向量
3、a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O, A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x, y,z，使OP xOA yOB zOC。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x, y,z)，使第 1 页空间向量复习OA xi yi zk，有序实数组(x, y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标，记作A(x, y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。（2）若空间的一个基底的
4、三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用i, j,k表示。（3）空间向量的直角坐标运算律：若a (a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，则ab (a1b1,a2b2,a3b3)，ab (a1b1,a2b2,a3b3)，a (a1,a2,a3)(R)，ab a1b1a2b2a3b3，a/b a1b1,a2b2,a3b3(R)，a b a1b1a2b2a3b3 0。若A(x1, y1,z1)，B(x2, y2,z2)，则AB (x2 x1, y2 y1,z2 z1)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（4）模长公式：若a (a
5、1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，则|a|222222aa a1a2a3，|b|bb b1b2b3（5）夹角公式：cos ab a1b1a2b2a3b3ab。222222|a|b|a1a2a3b1b2b3（6）两点间的距离公式：若A(x1, y1,z1)，B(x2, y2,z2)，则| AB|或dA,BAB (x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)2，(x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)227. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作O B叫做向量a与b的夹角，则A记作 a,b ； 且规定0 a,b ，OA a, O
6、B b，显然有 a,b b,a ；若 a,b ，则称a与b互相垂直，记作：a b。2|a |。（2） 向量的模： 设OA a， 则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模， 记作：（3）向量的数量积：已知向量a,b，则|a |b |cos a,b 叫做a,b的数量积，记作ab，即ab |a|b|cosa,b。（4）空间向量数量积的性质：2ae |a |cos a,e 。a b ab 0。|a | aa。第 2 页空间向量复习（5）空间向量数量积运算律：(a)b (ab) a(b)。ab b a（交换律） 。a(b c) ab ac（分配律） 。（6） ：空间向量的坐标运算：1.向量的直角坐标运算
7、设a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)则(1)ab(a1b1,a2b2,a3b3)； (2)ab(a1b1,a2b2,a3b3)；(3)a(a1,a2,a3) ( R)； (4)aba1b1a2b2a3b3；2.设 A(x1, y1,z1)，B(x2, y2,z2)，则AB OBOA=(x2 x1, y2 y1,z2 z1).rr3、设a (x1, y1,z1)，b (x2, y2,z2)，则rrr rrrrr rraPba b(b 0)；a bab 0x1x2 y1y2 z1z2 0.abab112 2ab334.夹角公式 设a(a1,a2,a3)，则c.b(b1,b2,b3)，o
8、 s,a b 222222a1aa1b2b3b235异面直线所成角r rr r| x1x2 y1y2 z1z2|ab|.cos|cos a,b |=rr 222222|a|b|x1 y1 z1x2 y2 z26平面外一点p到平面的距离已知AB为平面的一条斜线，n为平面的一个法向量，A到平面的距离为：d n n| ABn|n|【典型例题】【典型例题】例 1. 已知平行六面体 ABCDABCD， 化简下列向量表达式， 标出化简结果的向量。AB BC；AB AD AA；11AB AD CC； (AB AD AA)。23ADBGCBCMDA例 2. 对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式
9、：OP xOA yOB zOC（其中x y z 1）的四点P, A,B,C是否共面？例 3. 已知空间四边形OABC，其对角线OB, AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且MG 2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量OG。第 3 页空间向量复习例 4. 如图， 在空间四边形OABC中，OA 8，AB 6，AC 4，BC 5，OAC 45，OAB 60，求OA与BC的夹角的余弦值。OACB说明：由图形知向量的夹角易出错，如 OA, AC 135易错写成OA,AC 45，切记！FAB BC 4，E为AC例 5. 长方体ABCD A1B1C1D1中，11与B1D1的交点，为
10、BC1与B1C的交点，又AF BE，求长方体的高BB1。空间向量与立体几何练习题空间向量与立体几何练习题一、选择题一、选择题1.如图，棱长为2的正方体ABCDABC1 11D1在空间直角坐标A A1 1z zD D1 1B B1 1F FC C1 1系中，若E,F分别是BC,DD1中点，则EF的坐标为（）A.(1,2,1) B.(1,2,1)C.(1,2,1) D.(1,2,1)D(O)D(O)E EA AB BC CA1B12如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF14所成角的余弦值是（）y yx x15178C17A123D2B图3.在四棱锥P ABCD中，
11、底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA a，PB b，PC c，则BE （）111111A.a bc B.a bc222222131113C.a bc D.a bc222222第 4 页图空间向量复习二、填空题二、填空题4.若点A(1,2,3),B(3,2,7),且AC BC 0,则点C的坐标为_.AD与平面A1BC1夹角的余弦值为_.5在正方体ABCDABC1 11D1中，直线三、解答题三、解答题1、在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, AB1与底面 ABCD 所成的角为，4（1）求证BD1面AB1C（2）求二面角B1 AC B的正切值2在三棱锥PABC中，AB AC 3AP 4,
12、PA 面ABC,BAC 90,D是PA中点,点E在BC上,P P且BE 2CE,(1)求证：AC BD；(2)求直线DE与PC夹角的余D D弦值；(3)求点A到平面BDE的距离d的值.A AE EB B3在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成 30角（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值4、已知棱长为1 的正方体AC1，E、F 分别是B1C1、C1D 的中点 （1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF 的距离； （3）求直线A1D 与平
13、面BDEF 所成的角C C第 5 页5、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点E为棱AB的中点，求：（）D1E与平面BC1D所成角的大小； （）二面角DBC1C的大小；【模拟试题】【模拟试题】1. 已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： （1）AB BC CD； （2）AB （3）AG 2. 已知平行四边形 ABCD，从平面AC外一点O引向量。（1）求证：四点E,F,G,H共面；OEkOA ,OFkOB,OGkOC,OHkOD。（2）平面AC /平面EG。3. 如图正方体ABCD A11B1C1D1中，B1E1
14、 D1F求BE1与DF1所成角的余弦。4. 已知空间三点 A（0，2，3） ，B（2，1，6） ，C（1，1，5） 。求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|3，求向量a的坐标。5.已知平行六面体ABCD ABCD中，AB 4, AD 3, AA 5,BAD 90，1(BD BC)；21(AB AC)。21A1B1，4BAA DAA 60，求AC的长。6参考答案1. 解：如图，（1）AB BC CD AC CD AD；（2）AB 12(BD BC) AB12BC 12BD。 AB BM MG AG；（3）AG 12(AB AC) AG AM
15、MG。2. 解： （1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AC AB AD，EG OG OE， kOC kOA k(OC OA) kAC k(AB AD) k(OBOAODOA) OF OE OH OE EF EHE,F,G,H共面；（2）解：EF OF OE k(OBOA) kAB，又EG k AC，EF / AB,EG/ AC。所以，平面AC /平面EG。3.解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O xyz，则B(1,1,0)，E311(1,4,1)，D(0,0,0)，F1(0,4,1)，BE111 (0,4,1)，DF1 (0,4,1)，BE1 DF1714，BE00(11151D
16、F144)1116。715cos BE1,DF11615171717。444. 分析：AB (2,1,3),AC (1,3,2),cosBAC ABAC| AB| AC |12BAC60，S | AB| AC |sin60 7 3设a（x，y，z） ，则a AB 2x y3z 0,a AC x3y2z 0,| a |3 x2 y2 z23解得 xyz1 或 xyz1，a（1，1，1）或a（1，1，1） 。5. 解：| AC|2 (AB AD AA)2| AB|2| AD|2| AA|22ABAD2ABAA2ADAA423252243cos90 245cos60 235cos60169 250 2015 85所以，| AC|85。8
