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1、不定积分不定积分本章是一元函数积分学的主要内容之一, 其蕴涵的求不定积分的方法和技巧是计算一元、多元函数定积分的基础。在研究生入学考试中，本章是高等数学一至高等数学四的考试内容。通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：1、理解原函数、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计算。4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。一、知识网络图分积定不某些无理函数积分三角函数有理式积分有理函数积分特殊函数的积分查表法分部积分法第二换元积分法凑
2、微分法第一换元积分法换元积分法直接积分法计算方法基本积分公式不定积分的性质性质与公式不定积分的几何意义不定积分原函数基本概念. 4)(. 3. 2. 1二、典型错误分析例 1给出，求的一个原函数。|xey y 错解 是一个分段函数：y ，故其一个原函数为.00xexeyxx00)(xexexFxx分析 根据原函数的定义，若是的原函数，则至少应连续。但)(xF|xey )(xF上述给出的在处间断，所以上述不能作为的原函数。注意)(xF0x)(xF|xey 到若是原函数，也是原函数，故只要适当选取 C，使的两个分)(xFCxF)()(xF支在处连续，就可找到所需的原函数。0x正确解 令，容易验证的
3、两个分支在处连续，且020)(xexexFxx)(xF0x，故可以作为的一个原函数。|)(xexF)(xF|xey 例 2. 已知的原函数是，求.xcos)(xf)()(xfxF)(xF错解 xxdxxfsincos)( xxdxdxxfxFcossin)()(分析 不定积分应在具体某个原函数的基础上加上常数 C，这是容易疏忽的。正确解 1sincos)(Cxxdxxf211cossin)()(CxCxdxCxdxxfxF例 3. 计算dxxx12错解令, 则txsec CxxCttgtdttdtttgtgtdttttgtdxxx1arccos1 1secsecsec12222分析 原被积函数
4、的定义域是 若作变量替换 须为单调函数, , 1|x),(tx)(tx故 的变化范围是 t.2,0tt而,上述运算中少了绝对值。tgttgtttgtsetx|11222正确解当时, 令, 有1xtxsecCxxdxxx1arccos1122 当时, 令, 有1x1, ttx CxxCttdtttdxxx1arccos11arccos1112222例 4. 计算.dxxa221错解 令, 则taxsinCxaxaaCttgtadttatdtatadxxa|ln21|sec|ln1cos11coscos112222分析本题结果是正确的,但过程有错误。原被积函数的定义域是，ax令，为保证单调性，可取
5、此时，仅为被积taxsin,22xataxasin函数定义域的一部分。正确解本题用有理函数积分法计算比较简单，且可避开上述复杂的讨论。Cxaxaadxxadxxaadxxaln211121122例 5. 计算.dxearctgexx22错解 =dxearctgexx22)1 (2222222xxxxxxxeedearctgeedearctge=)1 (222222xxxxxxedeedearctgee=Carctgeearctgeexxxx2222分析是复合函数，故从而xxee221,222dxedexx=，上述运算中少了系数dxearctgexx2xxdearctge221.21正确解 =d
6、xearctgexx22)1 (2222xxxxxxxeedearctgeedearctge=)1 (222xxxxxxedeedearctgee=Carctgeearctgeexxxx12三、综合题型分析例 6计算dxxx)1 (1分析一本题被积函数其分母根式下一部分可以配成 x 的一次因式的完全平方。解一 =dxxx)1 (1Cxxxdx2222)21()21()21(ln)21()21()21(1 =Cxxx) 1(21ln分析二本题被积函数其分母可拆成两个根式,其中一个可以凑成微分。解二 =dxxx)1 (112)1ln(2)(12)1 (1Cxxxxddxxx =Cxxx) 1(21
7、ln其中2ln1 CC方法小结当被积函数含有根式时，通过巧妙的凑微分化成常用积分公式。例 7计算dxexexx2) 1(分析一被积函数中含有的不定积分，若令, 则xetex,lntx ,1dttdx 从而可以将积分化为其它易积的积分。解一 令，则tex=dxexexx2) 1(dtttttttddtttdttttt1111ln)11(ln) 1(ln1) 1(ln22 =Cttttdttttt) 1ln(ln1ln1111ln =Ceexexxx) 1ln(1分析二先将被积表达式中的凑成，从而可以凑成dxex) 1(xed2) 1() 1(xxeed，再用分部积分法。)11(xed解二 =dx
8、exexx2) 1(dxeexedxeexdxxxxx111)11() 1() 1(2 =) 1(1) 1(1xxxxxxxxeedeexdxeeeex =Ceeexdeeeexxxxxxxx) 1ln(ln1)111(1 =Ceexexxx) 1ln(1方法小结 被积函数中含有的不定积分，可令, 从而将积分化为其它易xetex积的积分。另一方面，当用分部积分法，其中难以一步得到时，可以先将其dvu,中一部分凑成的形式，从而。)()(xdxf)(xdfdv例 8计算.dxxxarctgx)1 (22分析一 被积函数含有难积的反三角函数，通常的做法是将这一部分作arctgx变量替换。解一 令，即
9、，则tarctgx tgtx tdtdx2sec=dxxxarctgx)1 (22dttttdttctgdtttttgt) 1(cscsecsec22222=22tctgtdttctgttdtdctgtt=Ctttctgt2|sin|ln2= Carctgxxxxarctgx2)(|1|ln22分析二注意到被积函数的分母可以拆成两个部分分式之和，故可以先分项，再凑微分。解二 =dxxxarctgx)1 (22tgxarctgxdarcdxxarctgxarctgxdxxx222)111(=2)(22arctgxdxxarctgx2)(12arctgxxarctgxd2)()1 (122arct
10、gxdxxxxarctgx令，则tx1Cttdtdtttdxxx) 1ln(21) 1(11211)1 (122222=Cxx|1|ln2从而原式= Carctgxxxxarctgx2)(|1|ln22方法小结当被积函数含有难积的反三角函数时，通常的做法是将这一部分作变量替换。另若分母为相差一个常数的两个因式的乘积，则可以将分式拆项，分别积分。例 9. 计算dxxxcos1sin1分析一本题属于三角函数有理式的积分, 可以利用万能公式作变量替换。解一 令，则2xtgt 222212,11cos,12sintdtdxttxttx dxxxcos1sin1Cttdtttdttttdtttttt)1
11、ln()121 (1121211112122222222=Cxtgxtg)21ln(22分析二 本题被积函数含有三角函数, 若适当利用三角函数恒等式（如倍角、半角公式、和差化积、积化和差等公式） ，往往能简化计算。解二 dxxxcos1sin1Cxxtgxdxxxdxdxxxx|2cos|ln2222cos2sin222cos12cos22cos2sin2122方法小结 一般地，被积函数含有三角函数时，常利用万能公式作变量替换或利用三角函数恒等式进行化简。前者虽然是通用的方法，但往往不是最简便的。另须注意，本题两种解法给出的结果虽然不一致，但求导后都等于被积函数，所以都是正确的。例 10计算d
12、xxbax)(1分析一注意到被积函数中含有两个根式，可以先将其中一个根式有理化，再将余下的根式作变量替换。解一 xbaxaxxbaxaxxbax1)(1令 即, txbax,122tbtax,)1 ()(222dtttabdxdxxbax)(1=CxbaxarctgCarctgtdttdtttabttabt22112)1 ()(2)(122222分析二本题也可以用凑微分法，计算过程更为简便。 解二 dxxbax)(1=Cxbaxaxabaxdaxdxbarcsin2)()(222方法小结 当被积函数含有根式时，常常需要对根式进行处理，通常作变量替换，也可以用凑微分法。例 11. 计算dxx2s
13、in31分析一 被积函数分子、分母同除以，可化为的函数，利用x2sinx2csc，可以将积分化简。dctgxx 2csc1csc22xctgx解一 =dxx2sin3122222)32(3143) 1csc3(cscxctgdctgxxctgdctgxdxxx =Cctgxarctg322331分析二 被积函数分子、分母同除以，可化为的函数，而利用x2cosxtgx22,sec，可以将积分化简。dtgxx 2sec解二 =dxx2sin31222222)23(4134)sec3(secxtgdtgxxtgdtgxdxxtgxx=Ctgxarctg233241方法小结 当被积函数含有或的齐次函数
14、时，常从各项中提取或xsinxcosx2sin，凑成或。x2cosdtgxdctgx例 12. 计算dxxx2411分析一 注意到被积函数中根式内外都有 x 的幂次，可尝试用倒代换。解一令，则tx1=dxxx2411duuuuudututdtttdtt111211211211222223=Cuuduuduu2123)1 ()1 (311121121=Ctt212232)1 ()1 (31Cxxxx233213)1 (分析二本题也可以用三角代换，令，则根式下可化为。从而tgtx x2sec被积函数可化为、的函数。xsinxcos解二 令，tgtx =dxxx2411Cttttdttdtdttdt
15、ttsin1)(sin31sinsinsinsinsinsinsin1sincos3244243 =Ctgtttgttsec)sec(313Cxxxx233213)1 (方法小结 被积函数中含有 x 的幂次，可尝试用倒代换，如果出现，)(22ax 或，则可以采用三角代换，然后利用三角函数恒等式)(22xa )(22ax )(22xa 将被积表达式化简。例 13. 计算dxxxx111分析一被积函数中含有复杂的根式，因此可以先将此根式作变量替换。xx11解一令，则从而txx11,1122ttx,)1 (422dtttdxdxxxx111dttttdtttttt)1)(1 (4)1 (411222
16、2222=Carctgtttdttt211ln)1111(222=Cxxarctgxxxx1121111ln分析二本题可以先根式有理化为，然后令，即可将根式化dxxxx1112txsin去。解二 =dxxxx111dxxxx1112令，则tgtx 原式=dxxxx1112tdtttsinsin1sin1cosdttttsin1sin1cos2 =CtctgttcsclnCttdtcscCttdtcscCtctgttcscln =Cxxxxarcsin11ln2方法小结 被积函数中含有复杂的根式，可以先将根式作变量替换。可以先根式有理化，然后通过三角代换将根式化去。例 14. 计算dxxx32c
17、ossin分析一 ，而前一个积分可以用分xdxxdxdxxxdxxxsecseccoscos1cossin33232部积分法，后一个积分可以利用常用积分公式。解一 xdxxdxdxxxdxxxsecseccoscos1cossin33232由于xdxxdxtgxxxdxxtgtgxxxdtgxxdxsecsecsecsecsecsecsec323故xdxtgxxxdxsec21sec21sec3从而原式=xdxtgxxxdxxdxsec21sec21secsec3=Ctgxxtgxxsecln21sec21分析二注意到，本题也可以用凑微分法。dtgxxtgxdtgxxxdxxxsincossi
18、ncossin232解二 2232)(sin21sincossincossintgxdxdtgxxtgxdtgxxxdxxx=xtgxdtgxxxtgxdxtgxxcos21)(sin21sin21)(sin2122=xdxxxtgxtgxx22seccos21cos21)(sin21=xdxxtgxtgxxsec21cos21)(sin212=Ctgxxxxtgxtgxsecln21)cos(sin21方法小结在用分部积分法的过程中，常会出现所求积分在等式右端再现的情况，从中即可求出所求积分。例 15. 计算dxxxx234811分析被积函数中 x 的幂次较高，可以先令，将幂次降低。tx 4
19、解 23412348484811xxdxxdxxxx令，tx 4)2323(41234123412322248484811dttttdtttdttxxdxxdxxxx=Ctttdtttt) 1ln(41)2ln(41)1124(4141=Cxxx21ln414444方法小结有理分式的积分，一般来说，可以先化假分式为整式与真分式之和，再将真分式化为若干部分分式之和，然后分项积分。但这样做，有时显得很繁杂，可以运用换元、拼凑等技巧，将积分化简。四、考研试题分析例 16 （1999 年高数一至四） 设是连续函数，是的原函数，则)(xf)(xF)(xf（A） 当是奇函数时，必是偶函数。)(xf)(xF
20、（B） 当是偶函数时，必是奇函数。)(xf)(xF（C） 当是周期函数时，必是周期函数。)(xf)(xF（D） 当是单调增函数时，必是单调增函数。)(xf)(xF答案 （A）.分析 可以选取较简单的函数，逐个检验。解答取（奇函数，单调增函数） ，有不是单调增函数,故(D)错误。xxf)(CxxF221)(取（偶函数） ，有不是奇函数，故(B)错误。2)(xxfCxxF331)(取（周期函数） ，有也是周期函数，但取xxfcos)(CxxF sin)(（周期函数） ，有不是周期函数，故(C)错误。排1cos)(xxfCxxxFsin)(除法确定（A）正确。.例 17(2004 年高数一)已知，且
21、则 .xxxeef)(, 0) 1 (f)(xf答案 x2ln21分析 已知条件与的导数有关, 所求的是的表达式, 若能求出的导)(xf)(xf)(xf数, 则其导数的不定积分即为.)(xf解答 设, 则, 从而textxln.ln)(tttf因 所以有.)()(Cxfdxxf.)(ln21lnlnln212CxfCxxxddxxx故由于故取所以.ln21)(212CCxxf, 0) 1 (f, 021CCxxf2ln21)(例 18(1992 年高数二) 求.123 xdxx答案 .)1 ()1 (31212232Cxx分析一 本题中难积的部分是如果将视作整体,则分子部分可设法凑.12x21
22、x成).1 (2xd解一 Cxxxdxxxdxxxdxxxdxx21223222222222223)1 ()1 (31)1 ()111(21)1 (1211)1 (121分析二 注意到被积函数中含有的形式,故可考虑用三角代换法.22xa 解二 令, 则)22(ttgtxtdtdx2secCxxCtttdtttdtgtdttttgxdxx2122323222323)1 ()1 (31secsec31sec) 1(secsecsecsec1例 19(1997 年高数二) )4(xxdx答案 或.2arcsin2Cx.22arcsinCx分析一 本题分母中分离出 与分子可结合为而分母中余下的部. x
23、.2xdxdx分可化为.)(42x解一 .Cxxxdxdxxxxdx2arcsin2)(4241)4(2分析二 本题分母中根号下部分可配成完全平方形式: 而分子可凑成.)2(42 x).2( xd解二 .Cxxxdxxdx22arcsin)2(4)2()4(2例 20(1993 年高数一) 求.1dxexexx答案.141412Cearctgeexxxx分析 本题中难积的部分是 如果将视作整体,则分子部分须设法凑. 1xe1xe成的形式，但本题分子部分是，故须将视作整体，dxeedxx ) 1(dxxex1xe作变量替换。 解答 令 则, 1xeu).1ln(2ux.122duuudxCear
24、ctgeexCarctguuuuduuuuuduuduuuuuudxexexxxxx14141244)1ln(214)1ln(2)1ln(212)1ln()1 (122222222例 21. (2003 年高数二) 计算不定积分.)1 (232dxxxearctgx答案 .12) 1(2Cxexarctgx分析 本题中含有难积的反三角函数，遇到这种情形，通常的做法是将反三角部分作变量替换。解答 令则, tarctgx .tgtx .sec2tdtdx tdtetetetdteteetdtdtetdtttgtgtedxxxettttttttarctgxsincossincossinsinsins
25、ec)1 ()1 (2232232故Cttetdtedxxxettarctgx)cos(sin21sin)1 (232.12) 1(2Cxexarctgx例 22. (1996 年高数二) 计算不定积分.)1 (22dxxxarctgx答案 .1ln21)(21222Cxxarctgxxarctgx分析一 本题中的分母可以拆成两个部分分式之和，从而可以逐项积分。解一 )1 ()1 (21)(21)(21)1 (1)1 (2222222222xxxdarctgxxarctgxarctgxxxdxxarctgxdxxarctgxdxxarctgxdxxxarctgx.1ln21)(21222Cxx
26、arctgxxarctgx分析二 本题中的分母含有的形式,故可考虑用三角代换法。22xa 解二 令则.tgtx .sec2tdtdx CarctgxxxxarctgxCtttctgttctgtdttctgttctgttddtttdtttgtdxxxarctgx222222222)(211ln21|sin|ln2121)() 1(csc)1 (例 23. (1999 年高数四) 设是的原函数，且当时，)(xF)(xf0x2)1 (2)()(xxexFxfx已知试求, 0)(, 1)0(xFF).(xf答案 .)1 (2)(232xxexfx分析 已知条件与的原函数，若能求出，求导后即得)(xf)
27、(xF)(xF).(xf解答 由 有，两边积分得：),()(xfxF2)1 ()()(2xxexFxFxCxedxxxedxxFxFxFxx1)1 ()()(2)(22 由得. 求导后即得, 0)(, 1)0(xFFxexFx1)(.)1 (2)()(232xxexFxfx例 24. (2001 年高数一) 求.2dxearctgexx答案 .1212Carctgeeearctgexxxx分析 本题可化为故可考虑用分部积分法.2122xxxxdearctgedxarctgee解答 )1 (21)1 (212122222222xxxxxxxxxxxxxxxedeedeearctgeeedearctgeedearctgedxarctgee=.1212Carctgeeearctgexxxx例 25. (1999 年高数二) dxxxx13652答案 .234)136ln(212Cxarctgxx分析 本题属于有理分式的积分，一般来说，可以将真分式化为若干部分分式之和，然后分项积分。但这样做，有时显得很繁杂，本题可以将分母的一部分凑成完全平方。解答 dttttxdxxxdxxxx222222832) 3(51365令=Ctarctgt24)4ln(212.234)136ln(212Cxarctgxx
