电磁场与电磁波第2章静电场

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1、第二章 静电场本章主要讲解电磁场理论基本理论和基本规律。本章主要讲解电磁场理论基本理论和基本规律。主要内容包括：主要内容包括：电场强度与电位电场强度与电位 高斯定理高斯定理 静电场基本方程与分界面上的边界条件静电场基本方程与分界面上的边界条件 电磁场的边值问题与唯一性定理电磁场的边值问题与唯一性定理分离变量法分离变量法有限差分法有限差分法镜像法和电轴法镜像法和电轴法电容和部分电容电容和部分电容静电能量与静电力静电能量与静电力2.1 2.1 电场强度与电位电场强度与电位 2.1.1 2.1.1 电场强度电场强度 库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: 真空中两个静止的点电荷 与 之间的

2、相互作用力:N( 牛顿)N( 牛顿)适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力; 无限大真空情况 (式中F/m)可推广到无限大各向同性均匀介质中静电场基本物理量电场强度定义： V/m (N/C) 电场强度（Electric Field Intensity ) E 表示单位正电荷在电场中所受到的力(F ), 它是空间坐标的矢量函数, 定义式给出了E 的大小、方向与单位。a) 点电荷产生的电场强度源点与场点坐标的矢量表示V/mV/m2.1.2 2.1.2 叠加积分法计算电场强度叠加积分法计算电场强度 b) n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加)c) 连续分布电荷产生的电场强度图2.1.

3、2 体电荷的电场体电荷分布面电荷分布线电荷分布例：求真空中半径为例：求真空中半径为a a，带电量为，带电量为Q Q的导体球在球外空间中产生的导体球在球外空间中产生E E。由球体的对称性分析可知：由球体的对称性分析可知：v电场方向沿半径方向：电场方向沿半径方向：v电场大小只与场点距离球心的距离相关。电场大小只与场点距离球心的距离相关。解：在球面上取面元解：在球面上取面元dsds，该面元在，该面元在P P点处点处产生的电场径向分量为：产生的电场径向分量为：式中：式中：结结 果果 分分 析析 导体球上电荷导体球上电荷均匀分布在导体表面均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的，其在球外空间中产生的电场

4、分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效等效。2.1.3 2.1.3 电位电位 将一个单位正实验室点电荷在静电场中沿某一路径将一个单位正实验室点电荷在静电场中沿某一路径L L从从A A点移动到点移动到B B点，电场力做的功点，电场力做的功如果电场由点电荷如果电场由点电荷q q单独产生单独产生如果是一个闭合路径，则如果是一个闭合路径，则W=0W=0电场强度的环路线积分恒为零，即电场强度的环路线积分恒为零，即应用斯托克斯定理应用斯托克斯定理因此，静电场的电场强度因此，静电场的电场强度 可以用一个标量函数可以用一个标量函数 的梯度来表示，即定义的梯度来

5、表示，即定义单位正实验电荷在电场中移动电场力做功两点间的电位差定义为两点间的电压两点间的电位差定义为两点间的电压U U，即，即单位：V电位函数不唯一确定，取电位函数不唯一确定，取 故可选空间某点故可选空间某点Q Q作为电位参考点，空间任一点作为电位参考点，空间任一点P P的电位为的电位为通常选取无限远作为电位参考点，则任一通常选取无限远作为电位参考点，则任一P P点的电位为点的电位为2.1.4 2.1.4 叠加积分法计算电位叠加积分法计算电位为点电荷，为点电荷，为体积电荷分布，为体积电荷分布， 为面电荷分布，为面电荷分布， 为线电荷分为线电荷分布布注意：选取电位参考点时不能使积分发散。2.1.

6、5 2.1.5 电力线和等位面（线）电力线和等位面（线） E E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E E的方向一致，若的方向一致，若 是电力线的长度元，是电力线的长度元，E E 矢量将与矢量将与 方向一致，方向一致，故电力线微分方程故电力线微分方程在直角坐标系中：在直角坐标系中：微分方程的解即为微分方程的解即为电力线电力线 E E 的方程的方程。 在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即等位线等位线( (面面) )方程方程: :当取不同的当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。值时，可得到不同的

7、等位线（面）。例例2.1.62.1.6 画出电偶极子的等位线和电力线画出电偶极子的等位线和电力线 。在球坐标系中：电力线微分方程（球坐标系）：代入上式，得解得线方程为将 和代入上式，等位线方程（球坐标系）：用二项式展开，又有，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。图1.2.2 电偶极子r1r2电力线与等位线（面）的性质： E线不能相交; E线起始于正电荷，终止于负电荷; E线愈密处，场强愈大; E线与等位线（面）正交；图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线图1.2.4 点电荷与接地导体的电场图1.2.5 点电荷与不接地导体的电场图1.2.6 均匀场中放进了介质球的电场图1.2.7 均匀场中

8、放进了导体球的电场图1.2.8 点电荷位于一块介质上方的电场图1.2.9 点电荷位于一块导平面上方的电场2.2 2.2 高斯定理高斯定理2.2.1 2.2.1 静电场中的导体静电场中的导体（1）导体内部任何一点处的电场强度为零；导体内部任何一点处的电场强度为零；（2）导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直；（3）导体为等位体，导体表面为等位面；导体为等位体，导体表面为等位面；（4）电荷只能分布在导体表面上。电荷只能分布在导体表面上。2.2.2 2.2.2 静电场中的电介质静电场中的电介质 电介质电介质在外电场在外电场E作用作用下发生下发生极化极化，

9、形成有向排列的电偶极矩；，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷；电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。式中式中 为体积元为体积元 内电偶极矩的矢量和，内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向的方向从负极化电荷指向正极化电荷。正极化电荷。无极性分子有极性分子电介质的极化用用极化强度极化强度P P表示电介质的极化程度，即表示电介质的极化程度，即C/m2电偶极矩体密度电偶极矩体密度 实验结果表明，实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中在各向同性、线性、均匀介质中 电介质的极化率电介质的极化率, ,无量纲量。无

10、量纲量。均匀均匀：媒质参数不随空间坐标：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。而变化。各向同性各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变：媒质的特性不随电场的方向而改变, ,反之称为各向异性；反之称为各向异性；线性线性：媒质的参数不随电场的值而变化；：媒质的参数不随电场的值而变化； 一个电偶极子产生的电位：一个电偶极子产生的电位： 极化强度极化强度 P 是电偶极矩体密度，根据叠是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积加原理，体积V V内电偶极子产生的电位为：内电偶极子产生的电位为：式中式中电偶极子产生的电位电偶极子产生的电位矢量恒等式： 图1.2.16 体积V内电偶极矩产生的电位散度定理 令极化

11、电荷体密度极化电荷面密度 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 这就是电介质极化后，由面极化电荷 和体极化电荷 共同作用在真空 中产生的电位。 根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为2.2.3 2.2.3 高斯定理高斯定理真空中的高斯定理当有电介质时，总电荷包括自由电荷和极化电荷为电通量密度，也称电位移，单位C/m2一般形式的高斯定理应用高斯散度定理于上式得应用高斯散度定理于上式得高斯定理微分形式可得各向同性电介质的构成方程例2.2.1 求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点： D 线皆垂直于导线，呈辐射状态； 等 r

12、处D 值相等；取长为L，半径为 r 的封闭圆柱面为高斯面。由 得图2.2.1 电荷线密度为 的无限长均匀带电体计算技巧： a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 容易积分。 高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。2.2.4 2.2.4 用高斯定理计算静电场用高斯定理计算静电场图2.2.2（b） 球壳内的电场图2.2.2（a） 球壳外的电场例2.2.2 试分析图1.2.21与1.2.22的电场能否直接用高斯定律来求解场的分布？图2.2.2（a） 点电荷q置于金属球壳内任意位置的电场图2.2.2（b） 点电荷q分别置于金属球

13、壳内的中心处与球壳外的电场2.32.3静电场基本方程与分界面上的边界条件静电场基本方程与分界面上的边界条件2.3.1 2.3.1 静电场基本方程静电场基本方程各向同性的线性电介质构成方程解：根据静电场的旋度恒等于零的性质, 例2.3.1 已知 试判断它能否表示个静电场？ 对应静电场的基本方程 ，矢量 A 可以表示一个静电场。能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场? 以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（ ）。 2、电场强度E的衔接条件 以点P 作为观察点，作一小矩形回路（ ）。 2.3.2 分界面上的边界条件1、 电位移矢量D的衔接条件分界面两侧 E 的切向分量连续。 分界面两

14、侧的 D 的法向分量不连续。当 时，D 的法向分量连续。图2.3.2 在电介质分界面上应用环路定律则有 根据 根据 则有 图2.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律 表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。 当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为： 图2.3.3a 导体与电介质分界面在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。折射定律图2.3.3 分界面上E线的折射因此表明: 在介质分界面上，电位是连续的。3、用电位函数 表示分界面上的衔接条件 设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，

15、,则表明: 一般情况下 ,电位的导数是不连续的。图1.3.4 电位的衔接条件对于导体与理想介质分界面，用电位 表示的衔接条件应是如何呢？解：忽略边缘效应图（a）图（b） 例1.3.2 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 和 ,图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。（a）（b）图2.3.3 平行板电容器 利用高斯定理并考虑到E1等于E22.4.1 2.4.1 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。例2.4.1 列出求解区域的微分

16、方程 拉普拉斯方程拉普拉斯算子2.4.2 静电场的边值问题图2.4.1 三个不同媒质区域的静电场2.42.4静电场边值问题与唯一性定理静电场边值问题与唯一性定理 为什么说第二类边界条件与导体上给定电荷分布或边界是电力线的条件是等价的？已知场域边界上各点电位值图2.4.2 边值问题框图自然自然边界条件边界条件参考点电位 有限值边值问题微分方程边界条件场域场域边界条件边界条件分界面分界面衔接条件衔接条件第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法

17、模拟法定性定量积分法积分法分离变量法分离变量法镜像法、电轴法镜像法、电轴法微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法模拟电荷法模拟电荷法数学模拟法数学模拟法物理模拟法物理模拟法图2.4.3 边值问题研究方法框图 例2.4.2 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源 U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。 解：根据场分布对称性，确定场域。（阴影区域）场的边值问题图2.4.1 缆心为正方形的同轴电缆横截面边界条件积分之，得通解 例2.4.3 设

18、有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解: 采用球坐标系,分区域建立方程参考点电位图1.4.5 体电荷分布的球形域电场 解得 电场强度（球坐标梯度公式）： 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。电位：2. 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性：例1.4.1 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？答案：（ C ） 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。图

19、1.4.7 平板电容器外加电源U02.4.3 唯一性定理证明： （反证法）2.5 分离变量法 分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题 。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。2.5.1 解题的一般步骤： 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加各特解得到通解； 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。2.

20、5.2 应用实例1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场） 例2.5.1 图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 ，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。 解：选定直角坐标系（D域内）（1）（2）（3）（4）(5）边值问题图11.5.1 接地金属槽的截面2) 分离变量代入式（1）有根据 可能的取值，可有6个常微分方程：设称为分离常数,可以取值3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 图1.5.2 双曲函数d） 比较系数法：当 时，（D域内）当 时， 满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件

21、的解是唯一的。 根据经验也可定性判断通解中能否舍去 或 项。 若 ， 2、圆柱坐标系中的分离变量法（二维场） 利用 sin 函数的正交性来确定 。等式两端同乘 ，然后从 0到 a对 x积分图1.5.3 接地金属槽内的等位线分布1）选定圆柱坐标,列出边值问题（1）（2）（3）（4）(5）（6） 例1.5.2 在均匀电场 中，放置一根半径为a，介电常数为 的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与 垂直。柱外是自由空间 。试求圆柱内外电位函数 和电场强度 的分布。 根据场分布的对称性图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。当 时，当 时，2）分离变量, 设 代入式（1

22、）得或根据根据 ， 比较系数得当 时，4）利用给定边界条件确定积分常数。根据场分布对称性当 时，通解中不含 的奇函数项，解之，得比较系数法：当 时，得当 时， ， 则最终解c）由分界面 的衔接条件，得 介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行。 因 ， ，所以 。 介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电场 。 图1.5.5 均匀外电场中介质圆柱内外的电场 2.6 2.6 有限差分法有限差分法1.6.1 二维泊松方程的差分格式 有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差

23、分原理，将求解连续函数 的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的问题。 通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为h ,节点0,1,2,3,4上的电位分别用 和 表示。 （3）（1）（2）二维静电场边值问题：1.6.1 有限差分的网格分割（8）（4）将 和 分别代入式(3),得同理（5） 由（4）（5）由（4）+（5）（6）（7）（9）将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式当场域中 ，得到拉普拉斯方程的五点差分格式1.6.2 边界条件的离散化处理 3. 第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式：2. 对称边界条件若场域离散为矩形网格， 差分格式为

24、：1. 第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。 4. 介质分界面衔接条件 的差分格式合理减小计算场域，差分格式为其中12 图2.6.2边界条件的离散化处理2.6.3 差分方程组的求解方法1. 高斯赛德尔迭代法式中： 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足 为止。2、超松弛迭代法式中：加速收敛因子图1.6.3 高斯赛德尔迭代法 迭代收敛的速度与 有明显关系： 收敛因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次数（ N） 1000 269 174 143 122 133 17

25、1 发散最佳收敛因子的经验公式：（正方形场域、正方形网格）（矩形场域、正方形网格） 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关； 迭代收敛的速度与工程精度要求有 。借助计算机进行计算时，其程序框图如下：启动赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求 所有内点 相邻二次迭代值的最大误差是否小于打印 停机NY图2.6.2 迭代解程序框图2.7 2.7 镜像法与电轴法镜像法与电轴法2.7.1 2.7.1 镜像法镜像法边值问题：（导板及无穷远处）（除 q 所在点外的区域）（S 为包围 q 的闭合面）1.平面导体的镜像 镜像法: 用虚设的

26、电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。图2.7.1 平面导体的镜像 上半场域边值问题：（除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处）（S 为包围q 的闭合面）（方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为例2.7.1 求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。解: 设点电荷 离地面高度为h，则图2.7.2 点电荷 在地面引起的感应电荷的分布2. 导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1) 边值问题：（除q点外的导体球外空间)图1.7.3 点电荷对接地导体球面的镜像由叠加原理，接地导体球外任一点P的电

27、位与电场分别为图2.7.5 点电荷位于接地导体球附近的场图 镜像电荷不能放在当前求解的场域内。镜像电荷等于负的感应电荷图2.7.4 接地导体球外的电场计算 在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置解: 边值问题：( 除 q 点外的导体球外空间） ( S 为球面面积 )例2.7.2 试计算不接地金属球附近放置一点电荷 时的电场分布。 任一点电位及电场强度为：图2.7.6 点电荷对不接地金属 球的镜像感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。正负镜像电荷绝对值相等。正镜像电荷只能位于球心。 试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?补充题：图2.7.8 点电荷对导体球面

28、的镜像图2.7.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图 不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷 吗? 为什么？3. 不同介质分界面的镜像边值问题：(下半空间)(除 q点外的上半空间)图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像和 中的电场是由 决定，其有效区在下半空间， 是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。 即图2.7.10 点电荷 位于不同介质平面上方的场图 中的电场是由 与 共同产生，其有效区在上半空间， 是等效替代极化电荷的影响。图2.7.11 点电荷 与 分别置于 与 区域中 为求解图示 与 区域的电场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置。2.7.2 2.7.2 电轴法电轴法边

29、值问题： （导线以外的空间） 根据唯一性定理，寻找等效线电荷电轴。1.问题提出1.7.12 长直平行圆柱导体传输线能否用高斯定理求解？2. 两根细导线产生的电场以y轴为参考点, C=0, 则 当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。图1.7.13 两根细导线的电场计算a、h、b三者之间的关系满足 等位线方程为：圆心坐标圆半径应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即根据 及E线的微分方程 ， 得E线方程为 图1.7.14 两细导线的场图 若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。 若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？感应电荷是否均匀分布？3. 3. 电

30、轴法电轴法例2.7.3 试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。( 以 轴为电位为参考点 ) 用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法,称为电轴法。解：图2.7.15 平行圆柱导体传输线电场的计算 例2.7.4 已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带电长直圆柱导体。试决定电轴位置。注意：1）参考电位的位置；2）适用区域。例1.7.5 试确定图示偏心电缆的电轴位置。解：确定图2.7.16 不同半径传输线的电轴位置图2.7.17 偏心电缆电轴位置镜像法（电轴法）小结镜像法（电轴法）小结 镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法（电

31、轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质； 镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷（电轴）的个数（根数），大小及位置； 应用镜像法（电轴法）解题时，注意：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。2.8 2.8 电容和部分电容电容和部分电容 电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。电容的计算思路： 工程上的实际电容：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。2.8.1 2.8.1 电容电容定义： 单位： 例1.8.1 试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为 ,则同心导体间的电压球形电容器的电容当时（孤

32、立导体球的电容）图2.8.1 球形电容器2.8.2 2.8.2 部分电容部分电容1. 已知导体的电荷，求电位和电位系数中的其余带电体，与外界无任何联系，即 静电独立系统D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统 线性、多导体(三个以上导体)组成的系统； 部分电容概念以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为图2.8.2 三导体静电独立系统 以此类推（n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献； 自有电位系数，表明导体上电荷对导体电位的贡献；互有电位系数，表明导体上的电荷对导体电位的贡献 ；写成矩阵形式为（非独立方程）注： 的值可

33、以通过给定各导体电荷 ,计算各导体的电位 而得。2. 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；自有感应系数，表示导体 电位对导体 电荷的贡献；互有感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献。 通常， 的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各导体的电荷 而得。 3. 已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容（矩阵形式）式中：C部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；（互有部分电容）；（自有部分电容）。部分电容性质: 所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的 值有关； 互有部分电容 ，即为对称阵； (n+1) 个导体静电独立系统中，共应

34、有 个部分电容； 部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。 2.8.3. 2.8.3.静电屏蔽静电屏蔽 应用部分电容还可以说明静电屏蔽问题。令号导体接地，得这说明了只与有关，只与有关，即1号导体与2号导体之间无静电联系，达到了静电屏蔽的要求。静电屏蔽在工程上有广泛应用。图2.8.4 静电屏蔽2.9 2.9 静电能量与静电力静电能量与静电力 1. 带电体系统中的静电能量 静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。1) 连续分布电荷系统的静电能量假设： 电荷系统中的介质是线性的； 2.9.1 2.9.1 带电体系静电能量带电体系静电能量 电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电

35、位的最终值为 、 ,在充电过程中， 与 的增长比例为 m， 。 建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。 这个功转化为静电能量储存在电场中。 体电荷系统的静电能量 t 时刻，场中P点的电位为 若将电荷增量 从无穷远处移至该点，外力作功t时刻电荷增量为即电位为 式中 是元电荷所在处的电位，积分对源进行。 点电荷的自有能为无穷大。自有能互有能 自有能是将许多元电荷 “压紧”构成 q 所需作的功。互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。自有能与互有能的概念 是所有导体（含K号导体）表面上的电荷在K号导体产生的电位。2.9.2. 2.9.2. 静电能量的分布及其密度静电能量的分布及其密度V扩大

36、到无限空间，S所有带电体表面。将式(2)代入式(1),得应用散度定理得矢量恒等式（焦耳）静电能量图2.9.1 推导能量密度用图能量密度：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。结论例2.9.1 试求真空中体电荷密度为 ，半径为 的介质球产生的静电能量。有限，应用高斯定理，得 解法一由微分方程法得电位函数为解法二 例2.9.2 一个原子可以看成是由带正电荷 的原子核和被总电量等于 且均匀分布于球形体积内的负电荷云包围，如图所示。试求原子结合能。解：表示将正负电荷从无穷远处移来置于原子中位置时外力必须做的功。图2.9.2 原子结构模型 ：正电荷从无穷远处移至此处不需要电场力作功,故原子结合能未包

37、括原子核正电荷本身的固有能量。注意2.9.2 2.9.2 静电力静电力2.虚位移法 ( Virtual Displacement Method )虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。 广义坐标：距离、面积、体积、角度。广义力：企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方向为广义 坐标增加增加的方向。二者关系： 广义坐标 距 离 面 积 体 积 角 度 广义力 机械力 表面张力 压强 转矩 （单位） （N） （N/m） （N/m2） Nm广义力广义坐标=功1. 由电场强度E的定义求静电力，即常电荷系统（K打开）： 它表示取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。 常电位系统（K合上）

38、：外源提供能量的增量静电能量的增量 外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。 设(n+1)个导体组成的系统,只有P号导体发生位移 ，此时系统中带电体的电压或电荷将发生变化，其功能关系为外源提供能量静电能量增量=+ 电场力所作功图2.9.4 多导体系统 上述两个公式所得结果是相等的例2.9.3 试求图示平行板电容器的电场力。解法一：常电位系统解法二：常电荷系统可见，两种方法计算结果相同，电场力有使d减小的趋势，即电容增大的趋势。 两个公式所求得的广义力是代数量 。还需根据“”号判断其方向。图2.9.5 平行板电容器 例2.9.4 图示一球形薄膜带电表面，半径为 ，其上带电荷

39、为 ，试求薄膜单位面积所受的电场力。解：表示广义力的方向是广义坐标增大的方向，即为膨胀力。单位面积上的力：（N/m2）图2.9.6 球形薄膜3. 法拉第观点 法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受到纵张力，垂直于轴向方向受到侧压力，1) 可定性分析、判断带电体的受力情况。图2.9.8 根椐场图判断带电体受力情况其大小为图2.9.7a 电位移管受力情况图2.9.7 b 物体受力情况2) 对某些特殊情况可进行定量计算。 例2.9.5 试求图示 (a)、(b)平行板电容器中，两种介质分界面上每单位面积所受到的力。图1.9.9 平行板电容器答：气泡向E E小的方向移动。气泡向哪个方向移动？ ： 媒质分界面受力的方向总是由 值较大的媒质指向 值较小的媒质。结论工程上，静电力有广泛的应用。图2.9.10 静电分离图2.9.11 静电喷涂 基本实验定律（库仑定律）基本物理量（电场强度）EE 的旋度E E 的散度基本方程微分方程边值问题唯一性定理分界面衔接条件电位（ ）边界条件数值法有限差分法解析法直接积分法分离变量法镜像法，电轴法静电参数(电容及部分电容)静电能量与力图2.0 静电场知识结构图电力电容电力电容高压冲击实验电力电容高高 压压 实实 验验 大大 厅厅电力电缆单芯电力电缆三相电力电缆（中间地线、右侧测量线）电力电缆屏蔽室门屏蔽室门