《分离变量法涉及到的Fourier级数展开公式复习.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分离变量法涉及到的Fourier级数展开公式复习.ppt（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、分离变量法涉及到的分离变量法涉及到的Fourier级数展开公式复习级数展开公式复习1、标准的、标准的Fourier级数展开定理和公式级数展开定理和公式三角函数系：三角函数系：上述三角函数系中，任何两个不相同的函数的乘积在上述三角函数系中，任何两个不相同的函数的乘积在上的积分都等于零，即上的积分都等于零，即同理同理同理同理通常把两个函数通常把两个函数在在a,b，且，且的函数的函数称为在称为在a,b上是正交的。上是正交的。以以为周期的函数的为周期的函数的Fourier级数级数定理：定理：若在整个数轴上若在整个数轴上且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：以以
2、为周期的函数的为周期的函数的Fourier级数级数设设f(x)是以是以2l为周期的函数，通过变量代换为周期的函数，通过变量代换可以把可以把f变换成以变换成以为周期的为周期的t的函数的函数这时，函数这时，函数的的Fourier级数展开式是：级数展开式是：设设f是以是以2l为周期的偶函数，或是定义在为周期的偶函数，或是定义在-l,l上的偶函数，上的偶函数，则在则在-l,l上，上，偶函数偶函数奇函数奇函数设设f是以是以2l为周期的奇函数，或是定义在为周期的奇函数，或是定义在-l,l上的奇函数，上的奇函数，则在则在-l,l上，上，奇函数奇函数偶函数偶函数定义定义向量范数公理向量范数公理 定义定义 若赋
3、范线性空间若赋范线性空间X中序列中序列满足如下满足如下Cauchy条件条件即即则称则称为为Cauchy列。若列。若X中所有中所有Cauchy列皆收敛，列皆收敛，则说则说X是完备的，并称是完备的，并称X为为Banach空间。空间。3、完备的正交函数系、完备的正交函数系4、函数展成用正交函数系表示的级数的系数的、函数展成用正交函数系表示的级数的系数的计算方法计算方法若若是完备的正交函数系，且是完备的正交函数系，且则对上式两端同时乘以则对上式两端同时乘以，并在，并在a,b上积分上积分由于由于是正交的，所以是正交的，所以即即5、目前所涉及到常用的正交函数系及计算、目前所涉及到常用的正交函数系及计算方法
4、举例方法举例结论：本章所涉及到的特征函数系都是完备的正交结论：本章所涉及到的特征函数系都是完备的正交函数系。函数系。例例1：1）直接利用正弦级数展开公式，但是这里要注意的是，）直接利用正弦级数展开公式，但是这里要注意的是，直接利用公式，需要将直接利用公式，需要将 进行奇延拓。进行奇延拓。 2）利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后，）利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后，两边积分同时在两边积分同时在0,l上积分的方法。上积分的方法。即利用公式：即利用公式：两端同时乘以两端同时乘以，并在，并在0,l上积分，得上积分，得同理：同理：例例21)这个函数系不是我们在数学分析或高等数学中见到的这个
5、函数系不是我们在数学分析或高等数学中见到的标准的三角函数系。但是也有同样的标准的三角函数系。但是也有同样的Fourier级数的系级数的系数公式数公式2）利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后，）利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后，两边积分同时在两边积分同时在0,l上积分的方法。上积分的方法。两端同时乘以两端同时乘以，并在，并在0,l上积分，得上积分，得例例3同理，有同理，有6、第五节第二个例题的详细计算过程、第五节第二个例题的详细计算过程例例2 解下列定解问题：解下列定解问题：解解: 首先，将边界条件化成齐次的，为此令首先，将边界条件化成齐次的，为此令（2.75） 代入原定解问题得到代
6、入原定解问题得到显然这个定解问题可分为如下两个定解问题：显然这个定解问题可分为如下两个定解问题：（） 和和（） 对于问题（对于问题（），可以直接用分离变量法求解，求解步），可以直接用分离变量法求解，求解步骤与骤与2.2中的问题（中的问题（2.132.15）相同，所不同的只是）相同，所不同的只是通过分离变量得到常微分方程较（通过分离变量得到常微分方程较（2.16）稍有不同。）稍有不同。 令令代入（代入（2.76） 得得由此得到两个常微分方程由此得到两个常微分方程（2.82） （2.83） 由条件（由条件（2.77） 得得 （2.84） （2.83） （2.84） 时，时，时，时，时，时，（2.82） （2.83） 将上式中的将上式中的代入（代入（2.82）（2.82） 得得它的通解为它的通解为从而问题（从而问题（）的解可表示为）的解可表示为确定为确定为故所求得解故所求得解 为为 （2.86） （） 由于由于是常数，所以只需将整数是常数，所以只需将整数1在在展开即可。展开即可。由由得得 （2.87） 令令 （2.88） 比较两端系数，加上边界条件，得比较两端系数，加上边界条件，得（2.88） 由此，可解得由此，可解得 为为 从而问题（从而问题（）得解为）得解为（2.89）
