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1、第第 2 章章离散时间信号分析离散时间信号分析vv离散时间信号离散时间信号离散时间信号离散时间信号 离散时间信号离散时间信号(discrete-(discrete-time signal)time signal)是离散时间变是离散时间变量量n n的函数，它只在规定的的函数，它只在规定的离散时间点上才有函数值，离散时间点上才有函数值，在其他点无定义。在离散在其他点无定义。在离散信号处理过程中，离散时信号处理过程中，离散时间信号表现为在时间上按间信号表现为在时间上按一定次序排列的不连续的一定次序排列的不连续的一组数的集合，故称为时一组数的集合，故称为时间序列间序列(time series or (
2、time series or sequence)sequence)。 x(0)x(1)x(2)x(3)本章主要内容本章主要内容离散时间信号离散时间信号序列序列采样定理及实现采样定理及实现离散时间信号的相关分析离散时间信号的相关分析离散时间信号的离散时间信号的Z 域分析域分析离散系统描述与分析离散系统描述与分析物理可实现系统物理可实现系统2.1 离散时间信号离散时间信号序列序列一、一、序列的表示序列的表示序列的表示序列的表示 单位采样序列（单位采样序列（单位采样序列（单位采样序列（与连续时间域单位冲激函数的区别与连续时间域单位冲激函数的区别与连续时间域单位冲激函数的区别与连续时间域单位冲激函数的
3、区别）单位阶跃序列单位阶跃序列单位阶跃序列单位阶跃序列1 -1 0 1 2 矩形序列矩形序列矩形序列矩形序列 1N-1N0和 的关系：实指数序列实指数序列实指数序列实指数序列012301234012340123正弦序列正弦序列正弦序列正弦序列 周期序列周期序列 N为整数F 对正弦序列来说（与连续情况区别）等式成立的条件为 ：二、序列的运算vv序列加减乘序列加减乘序列加减乘序列加减乘 设序列设序列设序列设序列 与与与与G注意： 时刻对齐vv序列移位序列移位序列移位序列移位v序列翻转序列翻转 vv序列的尺度变换序列的尺度变换序列的尺度变换序列的尺度变换 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3
4、4 5 6 2 3 4 5 6 10 11 12 0 1 7 8 9 vv序列的离散卷积序列的离散卷积序列的离散卷积序列的离散卷积 翻褶、移位、相乘、相加例2.1.1 P65信号转换过程信号转换过程 2.2 采样定理及实现采样定理及实现一、采样过程一、采样过程1. 1. 模拟信号采样器离散的脉冲信号2. 2. 数学描述数学描述数学描述数学描述（2.2.1)假设采样脉冲为理想脉冲（2.2.2)只考虑正值时间(2.2.3)二、采样定理二、采样定理二、采样定理二、采样定理(Sampling theory)(Sampling theory)离散信号X(nTs)连续信号 X(t)Nyquist（Shan
5、non)采样定理：要想采样后不失真地还原原信号，采样频率必须大于原信号频谱中最高频率的两倍，即1.推导过程推导过程采样的脉冲序列时域采样信号是原始信号x(t)与脉冲序列的乘积X(t)的频谱：（2.2.4)脉冲序列频谱：(2.2.5)将（2.2.4)和(2.2.5)代入上式：2.几点说明几点说明（1）频谱的幅度受 加权（2）频谱产生了周期延拓，以 为间隔重复t1高频与低频的混叠高频与低频的混叠 3.如何由如何由X(nTs)重构重构x(t)工程上：D/A转换器理论上：T插值函数三、采样方式三、采样方式三、采样方式三、采样方式实时采样等效时间采样单次波形 实时显示实时显示 等效时间显示等效时间显示重
6、复波形重复波形相关是研究两个信号之间，或一个信号和其移位后的相关性，是信号分析、检测与处理的重要工具；在随机信号的理论中起到了中心的作用。相关系数2.3 2.3 离散信号的相关分析离散信号的相关分析相关系数的又一个定义：注意， 相关系数不能反映信号内在的相关性，所以引入相关函数。包含自相关函数和互相关函数： 之间的互相关 之间的互相关所以所以相关函数中的时间变量：1.保持 不动，将 往左，或右移动 个抽样间隔，然后将 和 对应相乘与相加，即得 ；2. 和 的长度应一样长；3. 可正可负。含意自相关函数：实序列复序列性质：功率信号相关函数的定义：自相关自相关互相关互相关对于能量信号 ：自相关自相
7、关 1. 若 是周期的, 周期是 , 则2. 若 是实的, 则3. 取最大值, 为信号功率4. 若 是复信号, 则功率信号自相关函数的性质：同频率余弦例例: 中有无中有无如果有如果有, 功率是多少功率是多少?周期呢周期呢?例：信号的检测（白噪声）0正弦白噪正弦白噪声声 SNR=-3dB正弦白噪声正弦白噪声 SNR=7dB自相关函数自相关函数自相关函数自相关函数例：2.3 离散信号的相关分析离散信号的相关分析vv 离散时间信号的自相关函数离散时间信号的自相关函数 F对功率信号，其自相关函数应定义为对功率信号，其自相关函数应定义为F对对周期周期信号，其自相关函数应定义为信号，其自相关函数应定义为F
8、对对复值复值信号，其自相关函数应定义为信号，其自相关函数应定义为v性质性质 若若若若 是实信号，则是实信号，则是实信号，则是实信号，则 若若若若 是实信号，则是实信号，则是实信号，则是实信号，则 当当当当 时时时时, , , , 若若 是能量信号是能量信号 若若 是周期性的，则是周期性的，则 不收敛，也是周期不收敛，也是周期性的，且频率与性的，且频率与 的频率相同。的频率相同。vv 离散时间信号的互相关函数离散时间信号的互相关函数 F对功率信号，其对功率信号，其互互相关函数应定义为相关函数应定义为v性质性质 若若 是能量信号是能量信号 连续时间信号系统 时域 频域 微分方程 代数方程 离散时间
9、信号系统 时域 频域 差分方程 代数方程拉氏变换Z变换2.4 离散时间信号的离散时间信号的Z域分析域分析&采样信号采样信号拉氏变换拉氏变换一、一、Z Z变换及其收敛域变换及其收敛域 vv Z Z变换的定义变换的定义vZ变换的收敛域对任意给定序列x(n),使其Z变换收敛的所有Z值的集合级数收敛|z|=RX-|z|=RX+jImzRe z 讨论以下四种序列讨论以下四种序列有限长度序列(finite length sequence) 右边序列(right-side sequence) 左边序列(left-side sequence) 双边序列(bilateral sequence) 二、二、Z Z反
10、变换反变换 围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）(Contour Integral Method) 幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）(Power Series Expansion Method) 部分分式展开法部分分式展开法(Partial-Fraction Expansion Method) 围线积分法（留数法）围线积分法（留数法） F若 在积分围线C内的有限个极点集合为 F若 在 处有 阶极点 幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法） 一般情况下，一般情况下， 是一个有理分式，分子分是一个有理分式，分子分母都是母都是z z的多项式，则可直接用分子多项式的多项式，则可直接
11、用分子多项式除以分母多项式（长除法），得到幂级数除以分母多项式（长除法），得到幂级数展开式，从而得到展开式，从而得到 。 部分分式展开法部分分式展开法 类似于拉氏变换中部分分式展开法，我们可以将 展成一些简单而常见的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的反变换，把各反变换相加即可得到 。常用序列z变换（可直接使用）三、三、z变换的性质变换的性质vvz z变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到。用到。z z变换主要的性质参见附录变换主要的性质参见附录4 4。 2.5 离散系统描述离散系统描述vv一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成
12、输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本本质质是是将将输输入入序序列列转转变变成成输出序列的一个运算。输出序列的一个运算。 y (n)= T x (n)vv对T加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。线性离散系统的特点线性离散系统的特点 系统满足齐次性和叠加性系统满足齐次性和叠加性系统满足齐次性和叠加性系统满足齐次性和叠加性 输入一、离散系统特点一、离散系统特点时不变离散系统的特点时不变离散系统的特点 在同样起始状态之下，系统响应与激励施加在同样起始状态之下，系统响应与激励施加于系统的时刻无关。于系统的
13、时刻无关。线性时不变离散系统的特点线性时不变离散系统的特点 线性时不变离散系统的输出恰恰可以表示线性时不变离散系统的输出恰恰可以表示成输入与单位采样响应的卷积和。成输入与单位采样响应的卷积和。 二、差分方程的描述二、差分方程的描述 一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。而对于离散时间系统，由于其变量n是离散整型变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间的运算关系。例，例， P80P80vv离散系统差分方程表示法有两个主要用离散系统差分方程表示法有两个主要用途：途： 由差分方程得到系统结构；由差分方程得到系统结构； 求解系统的瞬态响应；求解系统的瞬态响应；三、离散卷积三、离散卷积
14、&任何一个输入序列都可以表示为加权延时单位采任何一个输入序列都可以表示为加权延时单位采任何一个输入序列都可以表示为加权延时单位采任何一个输入序列都可以表示为加权延时单位采样序列的线性组合。样序列的线性组合。样序列的线性组合。样序列的线性组合。 将此任意序列加入到线性时不变系统时，系统的输出为将此任意序列加入到线性时不变系统时，系统的输出为 单位采样响应单位采样响应四、系统的频率响应与系统函数四、系统的频率响应与系统函数线性时不变离散系统， 为单位采样响应 两边取z变换 定义为系统函数它是单位采样响应的z变换。所以可以用单位采样响应的z变换来描述线性时不变离散系统。单位圆上的系统函数就是系统的频
15、率响应 可以证明，它是单位采样响应的DTFT。2.6 物理可实现系统物理可实现系统v因果系统因果系统因果系统就是指某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前时刻的输入的系统。 的输出只取决于的输入 1即vv稳定系统稳定系统 稳定系统就是指输入信号序列有界，并能保证输出信号序列也有界的系统。绝对可和绝对可和 1线性时不变系统稳定的充分且必要条件线性时不变系统稳定的充分且必要条件是系统的单位取样响应是系统的单位取样响应 例例2.6.1 P842.7 与本章内容有关的与本章内容有关的MATLAB函数函数lrandnlresiduelzplanelconvlxcorrlrand rxy= xcorr (x
16、, y) rxy= xcorr (x, y, Mlag, option) rxy, lags= xcorr (x, y, Mlag , option)例例例例 1 1 产生一个叠加白噪声的正弦信号产生一个叠加白噪声的正弦信号产生一个叠加白噪声的正弦信号产生一个叠加白噪声的正弦信号 %MM文件如下：文件如下：clear allclose allclc fs=1500; N=512; n=0:N-1;dt=1/fs;x=sin(2*pi*60*n*dt)+randn(1,N); plot(n,x); xlabel(n); ylabel(x(n);title(sin+randn signal); g
17、rid%MM文件如下文件如下： x1=1,2,3; x2=2,4,3,5; n1=-1:1; n2=-2:1; x3=conv(x1,x2); s3=n1(1)+n2(1); e3=n1(length(x1)+n2(length(x2); n3=s3:e3; 写出相应的写出相应的MATLAB程序求程序求 例例 2 设设%MM文件如下：文件如下：fs=input(the sampling frequency =); N=input(the sampling number =); n=0:N-1;dt=1/fs;mlag=200;x=sin(2*pi*10*n*dt); y=0.5*sin(2*pi*10*n*dt+pi/2);rxy,lags=xcorr(x,y,mlag,unbiased); plot (lags/fs,rxy);xlabel(t); ylabel(Rxy(t);例例3 已知两个周期信号 其中，f=10Hz。求互相关函数 。小小 结结离散时间信号离散时间信号序列的表示、常用序列序列的表示、常用序列和序列的运算和序列的运算 连续时间和离散时间的信号采样定理连续时间和离散时间的信号采样定理 离散时间信号的相关分析离散时间信号的相关分析 序列的序列的Z Z变换、基本性质及逆变换、基本性质及逆Z Z变换变换 离散系统的基本概念离散系统的基本概念
