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1、第十章定积分的应用应用一平面图形的面积1 1、积分ff(x)dx的几何意义b我们讲过，若 1 1f fCa,b且f(x)_0,则疋积分bf (x)dx表示由连线曲线 y=f(x)y=f(x)，以及直线 x=a,bx=a,b 和 a abx x 轴所围成的曲边梯形的面积。当af(x)dx00 时，定积分表示的是负面积，即f (x)dx表示的是 f f 在a,ba,b a0 0，二上的面积，则变为呪兀上的正负面积代数和。例如若计算 sinxsinx 在2兀si nxdx=( si n xdx+si nxdx)+si nxdx =3-2 = 1。250二L si nxdx=(Jsi n xdx +
2、( sin xdx) - J si nxdx = 3 + 2 = 5。u-rJL-2JL 3T2 2、f f(x)(x)，g(x)g(x)在a,ba,b上所围的面积bLab*aab由几何意义得S f (x)dx - g(x)dx f (x) -g(x)dx，该式当 f(x)f(x)和 g(x)g(x)可判断大小的情况下b适合，但 f(x)f(x)和 g(x)g(x)无法判断大小时，要修改为bS | f(x)-g(x)|dx。如果 f(x)f(x)和 g(x)g(x)有在积分区域a,ba,bX?内交点，设为x1, x2，且x：x2，则S = I f (x) -g(x)| dx = . I f(x
3、) -g(x)| dx。所以此时求 f(x)f(x)和 g(x)g(x)ax在a,ba,b上的面积，即为 f(x)f(x)和 g(x)g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。2 2例 1 1、求y=x,x =y所围的面积So例 2 2、求y=sinx、ycosx在0,2-上所围图形的面积。例 3 3、已知y二ax2 bx通过点(1,2)(1,2)与y二-x2 2x有个交点x 0，又 a0a0a0)一个拱与 x x 轴所围的图形的面积。y = a(1 - cost)x = a cost例 2 2、求椭圆y =bs int(a0a0，b0b0)的面积 S So4 4、极坐标下的面积
4、公式设曲线的极坐标方程是：r =r(r) v -，r(r). C:，则由曲线r = r(r)，射线-:及1p2r2aoV -所围的扇形面积 S S 等于S例 1 1、求双纽线r2=2a2cos2二所围图形面积 S S。2日例 2 2、求由r二s in,0一二一3二，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S So3例 3 3、求三叶形成曲线r二asin3r(a0a0)所围图形面积。应用二曲线的弧长1 1、先建立曲线的长度(弧长)的概念一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度” 一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。x = x(t)设平面曲线 C C 由参数方程门门(EtEt 乞：)给出
5、，设P二t。,till,tn是，：的一个划分y = y(t)to7 ,tn =：,即- to：b：川：tn二：，它们在曲线 C C 上所对应的点为M0二(x(to), y(t。),M(x(ti),y(ti),，Mn=(X(tn),y(tn)。从端点Mo开始用线段一次连接这些分点得到曲线的一条内接折线，用MnMi4Mi来表示MjjMj的长度，则内接折线总长度为n_ n _Sn八MiMi八d(x(ti)-x(ti)2(y(ti)-y(ti)2i 2iAp =ma九ti；o时的曲线 C C 的弧长 S S 定义为内接折线的总长在极限:= /pm/ U(x(tix(ti)2如果 S S 存在且为有限，
6、则称 C C 为可求长曲线。(y(tiy(ti4)22 2、弧长公式Xx = x(t)设曲线 c c：兰2卩)，且x(t),y(t)在。，門上可微且导数x(t),y (t)在G G, ,P P上y = y(t)可积，曲线 C C 在无自交点，则曲线 C C 的弧长 S S 为：dy2注：其它形式的弧长公式(1)设y二y(x)在a,ba,b上可微且导数y (x)可积，则曲线y二y(x)(a a x xa0ba0)的弧长 S Sob2a3 3、弧长的微分)是光滑曲线(x(t)，yt)在a a, ,B B连续且xH2(t)+yt)式0)；且无自交点。若把公式中的积分上限改为 t t,就得到曲线 C
7、C,由端点Mo到动点M(x(t), y(t)的一段弧长。S = t X2(t) y2(t)dt由上限函数的可微性知S(t)存在，英二dt Yldt丿Idt丿=dSdx2dy4 4、平面曲线的曲率曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度厶的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长S有关,并且曲率与 L L 成正比，与 L LS成反比。即一般曲线的弯曲程度可用化率；厶：曲线段AB上切线方向的角度；甲_k，其中k:曲线段AB的平均变也SS:曲线段AB的弧长。a A Cp An An例 1 1 半径为 R R 的圆：k =k =d_y dx 1 yk =|ddS因为tg二y，二arctgy ，所以2dJ
8、dx，又因为dS二-1 y21 + ydx所以-SDS .：:R对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢?k=lim，称为曲线在 A A 点的曲率，即k =dlim竺ASdSL7AS5 5、曲率的计算记y =y(x)二阶可微，则在点 x x 处的曲率为：y3/2(y )12例 1 1 求yx在任一点的曲率。26 6、曲率圆和曲率半径过点(x x, y(x)y(x)且与 y y= y y (x x)在该点有相同的一阶及二阶导数的圆 圆。曲率圆的(x - a)2 (y - b)2二R2称为曲率中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。如何求曲线上一点(x x, y(x)y(x)处的曲率圆呢？1v
9、1因为R,k372，则(a,ba,b)在过(x x, y(x)y(x)的法线上：Y - y(x)(X - x)。k1 y2y (x)12例 1 1 求y x在点(o,oo,o)的曲率圆方程？2应用三旋转体的体积和侧面积(一)一般体积公式:设一几何体夹在 x x= a a 和 x x = b b (aba0)(a,b,c0)(二)旋转体的体积设 y y= y(x)y(x)于a,ba,b (R R)可积，曲线 y y= y(x)y(x), a a x x b b,绕 x x 轴产生旋转体的截面积为S(x)S(x)=二y2(x)，则V旋体=f S(x)dx=x f y dxbab2a例 4 4、求抛
10、物线y =2x2, O OW x x w 1 1 分别绕 x x 轴和 y y 轴所产生的旋转体体积。（三）旋转体的侧面积设 y y= y y（x x）于a,ba,b上非负，且连续可微，该曲线绕x x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积:s=2兀 Lyji + y2 dx例 5 5、求半径为 r r 的球面面积 S S。应用四物理方面b有一根不均匀的细棒，常b b a a,密度为 二求棒的质量 M，则 M M =a：、（x）dx（二）质心（重心）重心在计算不少实际问题中遇到，例如造船时就要考虑怎样来设计才使船的重心低一些。从最简单的两个质点的系统说起。设质点Mi,M2的质量分别为m,讥，想像它们为一
11、细杆所连接， 这时若重心在点 C,则 C 点用一物支起来，杆是平衡的。这不难理解。为计算重心，不妨把杆放在坐标依次为 ,x2,xC，在 C C 点所用支起的力应等于作用在x x 轴上，设M!,M2和 C C 点。M!,M2处的重力gg,m2g的和mg+因此它们为原点 O O 的力矩之和应为 0 0,即mig Xi+mg X2（mg=一mbg）xc= 0 0,所以m + m2xc匹如果不是两个原点，而是有限多个M!,M2，Mn，质量分别为m ,m2，g，横坐标分别为Xi，X2,，人则重心空。mi+111 +mn如果原点不是放在 X X 轴上，而是在平面上，并设坐标为Mj（备，y ），原量分别为m
12、,则该重心为（xC, yC）,有以下公式：nvXC =nrnijXji=1xnmjyii=1n，YC = mii d mii =1下面将此概念加以推广，来计算一般平面曲线（弧）的原心：x x（t）设曲线方程为彳 丿（口tb0ab0）在点（a,0a,0）和点（0 0，b b）处的曲率。y =bs int3 3、曲线=a（t _sint）（0乞心2二）绕 x x 轴旋转体积。y =a（1 _cost）5 5、4 4、求x2（y -b）2 = a2（0： a乞b）绕 x x 轴旋转的体积。y2=8x介于x = 0与x = 1/ 4之间的部分绕 x x 轴旋转的体积。2 26、求椭圆一2 2=1在第一限象的重心坐标。x Va b
