《逆矩阵的求法及逆矩阵的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《逆矩阵的求法及逆矩阵的应用（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。 关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。关键词：矩阵 逆矩阵 逆矩阵的求法 逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrixAbstract:In modern mathematics，
2、matrix is an effective tool with extensive application， andinverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way toevaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with maturedevelopment at present. This paper will summarize the definition and pr
3、operties of inversematrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about theapplication of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding.Keywords: MatrixInverse matrixThe way to evaluating inverse matrixApplication of inverse matrix一：引言一：引言在现代数学中，矩阵是
4、一个有效而应用广泛的工具。在矩阵理论中，逆矩阵又一个非常重要的概念。本文将对矩阵可逆性的由来及逆矩阵的定义、性质、判定方法进行探讨，并进一步了解逆矩阵在现代数学中的应用，以激发学生的学习兴趣，让学生进一步了解逆矩阵的应用，从而提高教育教学质量。二：矩阵的逆的定义二：矩阵的逆的定义对于 n n矩阵 A，如果存在一个nn矩阵 B，使得AB=BA=EE 为单位矩阵 ，那么说矩阵 A 可逆，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。记 A 的逆矩阵为 A1.三：可逆矩阵的性质三：可逆矩阵的性质 1、如果矩阵 A、B 均可逆,那么矩阵 AB 可逆，其逆矩阵为 BA.推广：如果矩阵 A1，A2 , An均可逆,那
5、么矩阵 A1A2An可逆，其逆阵为 AnA2A1 2、如果 A 可逆，那么A可逆，且A11=A；111111T 3、如果 A 可逆，那么A可逆，且AT 1A1T. 4、(A )1 (A1).11 5、如果 A 可逆，数 0，那么A可逆，且AA1； 6、如果矩阵 A 的逆存在，那么该逆矩阵唯一。以上结论见文献1四：矩阵可逆的几种判别方法四：矩阵可逆的几种判别方法设矩阵 A 为 n 阶方阵，那么 A 可逆的充要条件有：1、存在 n 阶方阵 B，使得 AB=I；I02、对 PAQ=，其中 P 为 sn矩阵，Q 为 nm 矩阵，rA=n；0013、A 0；4、A是非退化矩阵.5、A 的行向量列向量组线
6、性无关；6、A 可由一系列初等矩阵的乘积表示；7、A 可经过一系列初等行变换列变换化成单位矩阵 I；8、齐次线性方程组 AX=0 只有零解.以上结论见文献1 8五：逆矩阵的几种求法一定义法定义：矩阵A 为 n 阶方阵，如果存在n 阶方阵 B，使得AB=E,那么称 A 可逆，称B 为 A的逆矩阵，记为A.012A 114210的逆矩阵.求矩阵 x11A1x21x31x12x22x32x13x23x33,x13 100x23010x33=001. 100x13 x234x330102x13 x23=001.x232x331解 ： 因为A0,所以A1由定义知AA=E,所以012 x11 114 x2
7、1210 x 31x12x22x321由矩阵乘法得x212x31x11 x214x312x x1121x222x32x12 x224x322x12 x22由矩阵相等可解得2x11 2x13 1x 1x 1x21 412233x22 21x31 x1x33 2;322.;2A1432故二伴随矩阵法1121112 A11A1211定理：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是AAAA1nA21A22A2nAn1An2，其中，Aij是|A|Ann A11A中元素aij12A1nA21A22A2nAn1An21称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，即有A-1= A*.|A|Ann该定理见文献1注注 此方法适用于计算阶
8、数较低矩阵一般不超过 3 阶的逆，或用于元素的代数余子式易于计算的矩阵求逆。注意 A* = Ajinn的元素位置以及各元素的符号。特aA 11a21别地，对于 2 阶方阵a12a22a12 aA*22a21a11，其伴随矩阵为. AB对于分块矩阵，上述求伴随矩阵的规律不适用.CD 13例 2：已知A ，求 A12解: A = -1 0-1.A11= 2, A12=1,A21= 3, A22=13A-1=三行(列)初等变化法12323 A* =|A|1111设 n 阶矩阵 A，作n2n 矩阵，对该矩阵作初等行变换，如果把子块A 变为In，那么子块In变为A，即由A,E作初等行变换得E,A-1，所
9、得的A即为 A 的逆矩阵.11注注对于阶数较高的矩阵n3 ，用初等行变换法求逆矩阵，一般比用伴随矩阵法简便.用上述方法求逆矩阵，只允许作初等行变换. A初等列变换 E 也可以利用1求得 A 的逆矩阵.EA A初等列变换 E 初等行变换假设矩阵 A 可逆，可利用A BE A1B,1CCA得 A-1B 和 CA-1.这一方法的优点是不需求出 A 的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了 A-1B 或 CA-1. 223例 3：用初等行变换求矩阵A 110的逆矩阵.121解： 2A E1110101100123100 11 00102210011021 1000110101640011 001
10、011 00102310001101121001043120143153164 1431A153所以164四用Cramer法则求矩阵的逆4a11x1 a12x2a21x1 a22x2假设线性方程组an1x1 an2x2 a1nxn b1 a2nxn b2 annxn bn的系数行列式D |aij|n 0，则此方程组, ani换有唯一的一组解成b1,x1D1D,x22,DD,xnDnD.这里Di是将D中的第 i 列a1i,bn得到的行列式.定理1 假设以1 = (1 , 0 , 0 , 0),2 = (0 , 1 , 0 , 0), ,3 = (0 ,0 , 1) 表示F (F 表示数域F上的n
11、维行向量空间)上的一组标准基,那么F 中任一向量= (a1 , a2 , , an )都能且只能表示为:=a11 + a22 + ann的形式,这里aiF(i = 1 , 2 , , n).定理2 假设称矩阵A与矩阵B相乘所得的矩阵为AB，以A的第i行右乘以B，其乘积即为矩阵AB的第i行.求 矩 阵 的 逆 可 用 以 下 方 法 : 令 n 阶 可 逆 矩 阵 A=(aij),A 的 行 向 量 分 别 为nnn1,2,n, 其中1=(a11,a12,a1n),(i=1,2,n),由定理1得:1=aijj(i = 1 , 2 , , n) ，解方程组1,2, ,n为未知量,由于系数行列式D=
12、|A| 0 (因为A 可逆),所以, 由Cramer法则可得唯一解:jDjD= bj11+ bj22+ + bjnn(j = 1 , 2 , , n) .其中Dj是用方程组的常数项1 ,2,n替换行列式D的第j列的元素得到的n2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A-1= B.其中B=(bij).以上定理见文献1、 7 、8下面举例说明这种方法.111例4：求矩阵A 022的逆矩阵.110解：矩阵A的行向量为1,2,3，由标准基1,2,3表示为：511232 2223312解以1,2,3为未知量的方程组得：11236311121233631113 1233331123所以A 11
13、31313161613231313五解方程组求逆矩阵由可逆矩阵的上三角(下三角)矩阵的逆仍为上三角(下三角)矩阵,且对于上(下)三角矩阵的逆矩阵， 其主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.11例5： 求A 21000200的逆矩阵.130214解：设6 1X211A X31X41012X32X420013X4300,014先求A-1 中主对角线下的次对角线上的元素X21,X32,X43,X31,X42，X41. 1X21
14、设E为4阶单位矩阵, 比较 X31X41012X32X420013X43001102114000200 E的两端对应元素,得：130214110X410X423X431 0;解得，X43 ;412211X311X3210 0;解得，X43 ;320X412X421X431X411X422X4325 0;解得，X42 ;4411 0;解得，X43 48及所求的逆矩阵为 1121A121 8六求三角矩阵的逆的一种方法01216540013112000147t11t120t22定理：假设如果n阶矩阵T 00则它的逆矩阵为0t1n1t1nt2n1t2n可逆，0tnnt111t111120t221T 0
15、0其中0t1111n1t1111nt2212n1t2212n0tnn11ii1 ti,n11i1tii1,i 1,2,11ij1 t,n2; j 3,4,jjtijkjtiktkk,i 1,2ik j,n1301例6： 求上三角阵A 00001213的逆矩阵.2502解：由定理知112 t22t12 31211113 t33t1323t12t22 2123 t33t23 134 t44t34 5214121124 t44t2434t23t33 11114 t44t1424t12t2234t13t33 8A1100 031002121201 21454 12七用分块矩阵求逆矩阵设矩阵 A 为 m
16、 阶可逆矩阵，B 为 n 阶可逆矩阵，则：11AC A1A1CB1A1O AOBOB1AODBB1DA1B101OAB1BOOA1O2100 例 7：已知A32005718 ，求 A-1.1316解：将 A 分块如下：2100 00A 32O AA57181122A211316可求得*A1A11 21*1A2216811| A,A22|21111|32| A22A122A A1 121112681157 13213252901 A1B07 20 B11A11A111AA A222111 2100 3200O 57341A22112222 八用恒等变形法求矩阵的逆有些计算题看似与求逆矩阵无关,但
17、实际上却能发现， 这些题是计算需要求出逆矩阵的，需将给定矩阵等式作恒等变形，且通常化为两矩阵乘积等于单位矩阵的形式。例8：已知A6 E，试求A11并证明A1 A11,其中A 解: 由A6 E，得A6123232.12 EA6 A6A6 A A11 E，故A1 A11,而 A为12323212111正交矩阵,A1 A，所以A A九拼接新矩阵：在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵 E,在A的下方补加上一个负单位矩阵 -E,再在A的右下方补加上一个零矩阵O,使其负单位矩阵-E化为零矩阵, 那么原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A-1.012例9：求矩阵A 121的逆矩阵A-1.132012
18、解:因为A 121 1 0，所以A1存在132 AE构造矩阵有：EO10 012|1121|0 132|0100|0010|0001|0010000001000将第一行依次乘以-2，-3和1，分别加到第二行、第三行和第五行，得： 01 110012|1000100003040000212130010000将第二行依次乘以-1和1，分别加到第三行和第四行，得：01000010000003|2101|1113|2102|1001|0002|10再将第三行依次乘以-3、2和-1，分别加到第四行、第五行、第六行，得：0100001000000 3|2101|111 0|1430|1220|1112|1
19、0 143故：A1122111十.用Hamilton-Caley定理求逆矩阵11Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n阶矩阵fE-A na1n1anan为A的特征多项式，anAanE 0则fAE-A Ana1An1所以1An1a1An2anan1Ean1E由此，可知A11An1a1An2an 224 例10：已知A 232，求 A-1.111解：A 的特征多项式fE-A 342710由Hamilton-Caley定理可知，fA A34A27A10E 0521611所以A1A24A7E02410105010十一.和化积法对于有些涉及矩阵和的问题，要先判断方阵之和A+B的非退化性，并
20、求出它的逆矩阵。则此时 A+B可直接转化为 A+BC=E的形式,从而得出结论， A+B非退化，且(A B)1=C.或将A+B表示为几个已知的非退化阵之积，并得出它的逆矩阵.例11.证明:如果AK=0,那么E-A是非退化的，并求(E A)1.证明：因为(E A)(E A A2 AK1) E，所以(E A)是非退化的，且(E A)1=E A A2 AK1.六：逆矩阵在编码解码方面的应用矩阵密码学是信息编码和解码的技术，其中一种利用了可逆矩阵的方法。首先，在26个英文字母和数字之间建立对应关系，例如，可以是12A B Y Z1 225 26使用上面的代码，则该信息的编码是19,5,14,4,13，1
21、5,14,5,25，其中5代表字母E。遗憾的是，这个编码表示的对应关系较为简易，人们很轻易就能破译。如果一个信息编码比较长，那么人们会找出那个出现频率最高的数值，并且猜出它代表哪个字母。比方，以上编码中，出现次数最频繁的编码值是5，所以人们很自然地会认为，5代表字母E，因由统计规律我们可以知道，在英文单词中，字母E出现的频率最高。利用矩阵的乘法，我们可以对英文信息“SEND MONEY”进行加密，让其由明文转换成密文，然后再进行传递发送。这样，信息一经处理，就能有效地对非法用户破译编码增加一定的难度，而又为合法用户找到一条轻松解密的途径。假设存在一个矩阵A，它的元素均为整数，而且它的行列式A=
22、1.那么由伴随矩阵求逆公式A111我们可以通过这样的方法，A*可知，A的元素也都是整数。A利用矩阵A 来对明文进行加密，从而增加加密之后的密文的破译难度。现在取12A=2253132用三列将明文“SEND MONEY”所对应的9 个数值按以下方法排列，可得矩阵194145135B=141525矩阵乘积1312119414 434549 15135105118128253AB=232141525817793 对应上数矩阵，发出去的密文编码为43，105，81，45，118，77，49，128，93，合法用户可用A-1左乘上述矩阵，即可得到明文从而解密。为了构造“密钥”矩阵A，我们可以进行有限次的
23、初等行变换，从单位阵I开始对矩阵作变换，为了方便，通常我们只用某行的整数倍加到另一行。这样，我们可以得到一个元素均为整数的矩阵A。并且由于=1，我们可以知道A的元素也必然都是整数。参考文献参考文献1王萼芳，石生明.高等代数第三版M.北京：高等教育出版社，2003.2闫晓红.高等代数全程导学及习题全解 M.北京：中国时代经济出版社，2006.3同济大学数学系.线性代数第五版.北京：高等教育出版社，2007.1414同济大学.高等代数与解析几何M.北京:高等教育出版社，2005.5郭大钧等.吉米多维奇数学分析习题集解第三版M.济南:山东科学技术出版社，2005.6刘丽，林谦，韩本三等.高等代数学习指导与习题解析M.成都:西南财经大学出版社，2009.7白述伟.高等代数选讲M.哈尔滨黑龙江教育出版社.1996.8.15
