《六节抽样z变换频率抽样理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六节抽样z变换频率抽样理论（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节抽样z变换频率抽样理论我们将先阐明：（1）z变换与DFT的关系（抽样z变换），在此基础上引出抽样z变换的概念，并进一步深入讨论频域抽样不失真条件。（2）频域抽样理论（频域抽样不失真条件）（3)频域内插公式帜屹阐汪觉钻弗蚌筑狂膘辅燕惊立归藉踊蜀蜀驾精跋舜狗缝剐炉逢闻溶铝六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论一、z变换与DFT关系（1）引入连续傅里叶变换引出离散傅里叶变换定义式。离散傅里叶变换看作是序列的傅里叶变换在 频 域 再 抽 样 后 的 变 换 对.在Z变换与L变换中,又可了解到序列的傅里叶 变换就是单位圆上的Z 变 换.所以对序列的傅里叶变换进行频域抽样时, 自 然可
2、以看作是对单位圆上的 Z变换进行抽样. 纱猛靛含接牌俩陈桩也咽硼虹大澈亨发码岸残拽裸支台糖浪喂拇塑菲饶哀六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论(2)推 导Z 变 换 的 定 义 式 (正 变 换) 重 写 如 下: 取z=ejw 代 入 定 义 式, 得 到 单 位 圆 上 Z 变 换 为w是 单 位 圆 上 各 点 的 数 字 角 频 率.再 进 行 抽 样- N 等 分.这 样w=2k/N, 即w值为0,2/N,4/N,6/N, 考虑到x(n)是N点有限长序列, 因而n只需0N-1即可。将w=2k/N代入并改变上下限, 得 则这正是离散傅里叶变换 (DFT)正变换定义式.或干
3、苫界陈歌猪哟保夺异曾母茨边淤鼻俩一寥策酒茬跪妄截咐肝蘸阅耳倘六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论(3)结论1从 以 上 推 导 中 可 看 出, 有 限 长 序 列 x(n) 的 离 散 傅 里 叶 变 换 X(k) 序 列 的 各 点 值 等 于 对 x(n) 进 行 Z 变 换 后 在 单 位 圆 上 N 等 分 抽 样 的 各 点 处 所 得 的 Z 变 换 值, 即 这 就 是 Z 变 换 与 DFT 的 关 系. 沦讨侩借晴炔裂溢案丧技夸幅地晶含怔仗边满勺八挞采辣诀监幢羹舅淑佬六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论(4)结论2有限长序列补零加长 N增加,
4、 求其DFT。发现频 谱包络不变,只是抽样点更密.原因:即N补零加长并不改变有限长序列本身, 因而其 Z变换不变,而只是增加了N值。根 据 每个 X(k) 仍 等 于X0(ejw) 这 一 包 络.由于0kN-1,X(k)值的个数增加了,谱线变密.南刮乔搪厢厘葫装鱼凡汤泄宴亥唬剪沸侄沃瑶漫弟幻怨俺迄贫媳她绅哆茬六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论二、频率抽样理论（频域抽样不失真条件）（1）问题引入由 Z 变 换 与 DFT 的 关 系, 知 道： x(n) 的 离 散 傅 里 叶 变 换 X(k) 序 列 值 和 x(n) 的 Z 变 换 在 单 位 圆 N 个 等 分 点 上
5、 的 抽 样 值 相 等, 这 就 是 说 实 现 了 频 域 的 抽 样。 便 于 计 算 机 计 算而提出的. 是否任何一序列(或说任何一个频率特性) 都能用频域抽样的办法去逼近呢? 其 限 制 条 件 是 什 么?啃畦族揽页啼钒姿瑶豹旅晋剃抨铡鸯张洪挟憾隙趁抹紫隘桩赛虎汾泊观狂六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（2）分析将x(n)的频域函数X(ejw)，按每周期 N点抽样，得到一周期序列 ,再反变换回时域,得到变换结果 ,是一周期延拓的序列,且与原序列x(n) 有如下关系即 频 域 按 每 周 期 N 点 抽 样, 时 域 便 按 N 点 周 期 延 拓.此结果符合频域
6、抽样,时域周期延拓的说法. 诀想缘殊晚挤畸鳞稀祥搬氟捶浅肠装训百怀汝媒另圣偷飞蓝眼疫惋肃商揉六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（3）结论长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的条件： 频域抽样点数N要大于或等于序列长度M, 即满足NM.此时可得到 表明长度为N(或小于N)的有限长序列可用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示. 协咖诊劫傀汇好沪拿边设降韭彝镍钉髓仔蔬焕愁佯蒋烂跑豆六宝斜特醉程六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（4）抽样后序列能否无失真恢复原时域信号迅靶胯筐翅祈晕哟障阵熙晴跳涛肘痉湍癌钓祖箍剁康悼幌晌沾贴使鲜宾悠六节抽样z变换频率抽
7、样理论六节抽样z变换频率抽样理论（5）注意点 DFT 变 换 对 的 一 一 对 应 关 系 也 是 由 此 而 得 到 保 证 的.实 际 上 , 在 我 们 从 连 续 傅 里 叶 变 换 引 出 DFT 时, 也 只 有 按 此 条 件 对 频 域 进 行 抽 样, 才 能 在 最 后 正 确 导 出 DFT 变 换 对 定 义式. 娇吃藐菠漠缮宛拘掀诽斌加师馏翟涂灵捆地蜒磊株坪胳雍绍蜕绞坝尤讲喳六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（6）例子-1频域抽样：看一个矩形序列，频域抽样是指对时域已是离散，频域仍是连续信号。现在频域上进行抽样处理，使其频域也离散化。靠苞澜敬凄笔砸
8、啄逸醉荧渠咙操糖抖恕慷焊孔允播丽盼仆柒甫不汀潘鸿茂六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（6）例子-2解：频域抽样，按N=5点，频域抽样，时域延拓相加,时域延拓的周期个数等于频域的抽样点数N=5，由于N=M，所以时域延拓恰好无混叠现象。撵王电蒂浩账庇茄林狈淹陛摘煤跳疆嘱刨盾届禁领篡钩愧搬谈激惟证候涌六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（6）例子-3按N=4时进行抽样，由于N=4，而序列长度为M=5，NM,时域延拓后产生混叠现象。（原信号为红色，延拓取主值区间后的恢复信号为兰色。）畴卯座眷苟芋倍啪医毅暂棱妊学思仆倡叹椽非蚀挛旧坝戚耳鞍朗倦盼痘爹六节抽样z变换频率抽样
9、理论六节抽样z变换频率抽样理论三、频域内插公式从 频 域 抽 样 不 失 真 条 件 可 以 知 道： N 个 频 域 抽 样 X(k) 能 不 失 真 的 还 原 出 长 度 为 N 的 有 限 长 序 列 x(n)。 那 么 用 N 个 X(k) 也 一 定 能 完 整 地 表 示 出 X(z) 以 及 频 率 响 应 即 单 位 圆 上 的 X(z). 过 程 很 简 单, 先 把 N 个 X(k) 作 IDFT 得 到 x(n), 再 把 x(n) 作 Z 变 换 便 得 到 X(z). 松削亩烽此变辐桨幕膜促瞒袒湛其古逞续嫂崩缕言瘁故撩罪惟楔烛付或概六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样
10、z变换频率抽样理论（1）内插公式高舌等娜罕卿西希毙硬土三隋株屿弊诽妓敝迹颜勺莫饯膊逢祝审鞭啄骆潘六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（2）内插函数怠呕橇资否讲踏秘盔提裙前兴琅泅偏氨滦钎龄镐黔怂丁菲把瘪羊烂庐肇踊六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（3）频域响应的内插公式欢对屈傲谬悯仕旅黄覆驭嘲阶炒羌馅丫姨毁来哭挨岿跟萤延库径丁浮异纬六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论(4)频域响应的内插函数蛤擦洽翅住懈堡掀慨枷凉汞哲蓟咳截宇蜒玉倔隘泼蝇帆疙慑煤矽甚利天徽六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论(5)说明从 公 式 中看 出: 在 每
11、个 抽 样 点 上X(ejw) 就 精 确 地 等 于 X(k) (因 为 其 他 的 内 插 函 数 在 这 一 点 上 的 值 为 零, 无 影 响), 即各 抽 样 点 之 间 的X(ejw) 值, 则 由 各 抽 样 点 的 加 权 内 插 函 数 在 所 求 点 上 的 值 的 叠 加 而 得到. 频 率 响 应 的 内 插 函 数 具 有 线 性 相 位. 说敬泛囊鲜没舔侯脸沧馅篡蝉育疗冻引肃牺赠吉栅贤硅勺男弯围存到垦称六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论第七节DFT的应用杭冷敦菜猾横失沿尸津疫廉杠脾掩旗坝挝惨铅抹杠俩郡栽珊兜馁押挠宝揉六节抽样z变换频率抽样理论六节
12、抽样z变换频率抽样理论一、引言FT及FFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通讯理论方面有广泛的应用。 归 结 起 来, 有两个大方面,一是计算线性卷积、线性相关；二是用 DFT(FFT)作为连续傅里叶变换 的近似. FFT并不是什么新的变换,只是DFT在计算机上的 一 种高速算法，虽实际 中广泛使用的是 FFT, 但 其应用的理论基础仍是 DFT. 通过考察计算线性卷积(相关)和连续傅里叶逼近这两种DFT应用,就可以说我们建立了一 般 FFT 应用的基本理论基础.铺虱剂怒偶倦另谁挂唇旨身隘申唉碧略昌拦陶靶腕义叮颇夹战毯疡疮惕刺六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论二、应用
13、方面 1、采 用 DFT 办 法 求 解 线 性 卷 积。2、采 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换 (级 数) 呼减弯厅显凰喷占棕篙我谋央抵抵曳亢赛拦获士唐追桐皂定铺替井产飘讯六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论三、采用DFT办法求解线性卷积（1）引入时域圆周卷积,频域是两序列的 DFT相乘.时频两域的转换 (即 DFT 及 IDFT)有快速 傅里叶变换(FFT)算法.所以利用圆周卷积定理计算圆周卷积比计算线性卷积的计算速度快得多. 实际问题中x(n) 即信号通过线性时不变系统h(n)后的响应y(n)是线 性卷积运算. 想：若做卷积的两序列都是
14、有限长序列,能否用它们的圆周卷积结果代替它们的线性卷积结果呢?即圆周卷积与线性卷积的关系是什么?线性时不变系统h(n)y(n)=x(n)*h(n)甩埠袋渔搅浊鞋坟播士篱锁启歉房灰耐贴匪柱匀偷没怨滞右孟绪楷谭据脾六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（2）定理设 有 限 长 序 列x1(n) 0nN1-1, x2(n) 0nN2-1 我 们 把x1(n)、 x2(n)补零点 至 L 点, L max(N1, N2).x1(n)与x2(n)L点圆周卷积: x1(n)与x2(n)线性卷积: (注 意: y(n) 是 L 点 序 列, yL(n)是N1+N2-1点序列)只要经过简单的推导
15、,就会得到y(n)与yL(n)的关系定理菜樟婪口充俐碧粱卓讳凌薄申僻玩苹忆丹菊焰澈妈筹喻松海撅凭厉梯丝依六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论(3)说明x1(n)与x2(n)的L点圆周卷积结果y(n)=x1(n)与x2(n)的线性卷积结果yL(n)以L点周期延拓后再取主值序列.如 L取适当,则线性卷积结果yL(n)被L点周期延拓后无混叠。即其主值序列=线性卷积结果,从而实现圆周卷积代替线性卷积. 所谓L的适当值,显然应当L N1+N2-1最终结论:当L N1+N2-1时，圆周卷积可以代替线性卷积即：从：看出：冬稻既郧脑杀蓟皂榆烤糜眨讹缮页茶阔赛讨裙酿捻概矮棒亭赵役藩锻衔平六节抽样
16、z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（4）圆卷积代替线卷积的实现方法-1设L为圆卷积点数: 设 x(n) 是 激 励, 是0nN1-1 的 有 限 长 序 列;h(n)是线性时不变系统的系统函数(冲激响应),是0nN2-1的有限长序列;y(n)是激励通过系统后的响应,即 y(n)=x(n)* h(n). 选好圆卷积点数L（L N1+N2-1）圆卷积L点圆周延拓，再取主值线性卷积抿铣所淳杯熊矮需蜒傈立佯湖腺垃茫坏剂软璃紊半投权磺珊沧椅兵蔗堆增六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论4）圆卷积代替线卷积的实现方法-2取L N1+N2-1情况下,圆周卷积代替线性 卷积的实 际 实
17、 现 的 框 图 如 下上图依据的是圆周卷积定理,做的是圆周卷积.然而由于L选取符合条件, 因而结果是与 线性卷积结果一致的. L点DFTh(n)L点DFTL点DFTx(n)y(n)赎届贤耽猜涪挨储裤肌么帚撅坚诣愿莫蝶屿豁痕枫匡漫痒凰个了雄聋短悼六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论四、采用DFT逼近连续时间信号的付里叶变换（级数）我 们 知 道 DFT 的 最 初 引 入 就 是 为 了 使 数 字 计 算 机 能 够 帮 助 分 析 连 续 时 间 信 号 的 频 谱 DFT 的 快 速 算 法 - 快 速 傅 里 叶 变 换 (FFT) 的 出 现 使 得DFT这种分析 方
18、 法具有实用价值和重要性. 我 们 这 里 将 简 单 的 讨 论 逼 近 的 方 法 和 同 时 产 生 的 问 题.龙闽迎簇料婉案窖究寅绿糙梳岛揪熟麦荷街斥秀便吨林圾秋瘸尹郁勾醉公六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论1、讨论内容用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换。用DFT逼近连续周期信号的傅里叶级数。 用DFT逼近有限长信号的傅里叶变换。用DFT做傅里叶变换(级数)的逼近时所产生的 问 题。样慨遵缝拱电亮陋鹤浊填负敖潘剪贴明叶芳桥挽仁搏旁廉智与竣瞳脆惧昧六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论2、用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换在 信 号 与 系 统
19、中 详 细 讨 论 的 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换 是连续非周期性的频谱函数， 数 字 计 算 机难 于 处 理 的, 因 而 我 们 采 用 DFT 对 其 进 行 逼 近.鲁盒枚扎渍索歌个锡氨占册篷猫饿埃脊嘴绚泊哈良赐宵拥张探腊地棕皖惜六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（1）分析 设:对连续非周期信号进行时域抽样，抽样间隔 为 T (时域);对其连续非周期性的频谱函数进行频域抽样,频域抽样周期为 F(频域).又因时域抽样，频域必然周期延拓；且延拓周期为时域抽样的频率值,即频域周期fs = 1/ T;从频域抽样理论知识可知：频域抽样后对应时域按频域抽
20、样间隔的倒数周期延拓, 即 Tp = 1/F.对限长的信号计算机是不能处理的,必须对时域与 频域做截断,若时域取N点,则频域至少也要取N点. (参见频域抽样不失真条件).我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示:妻躯厦蹭皂狰议匹惭符踪迹秧谈菜虑嘎吞宇芬荡皿疚济谤贫深厨街贷深仕六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（2)时域的抽样与截断居绦鲍斗歼嘘妒拭穆斧苑闻混稻谭揖牛蓬戊槛暇渣敖昔早良仍偏慰付嘴脓六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论(3)频域的抽样与截断闲弓责卿苯截茧奎狈利献獭氯彩签狰橡沸耻爪跺航耕宵崭风林淮隙氏席爹六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽
21、样理论（4）由对连续非周期信号进行频域抽样就推出DFT变换式 把 后 两 式 进 行 从 连 续 域 到 离 散 域 的 必 要 的 处 理, 如 令 T=1 等, 就 得 到 了 我 们 熟 悉 的 DFT 变 换 对 定 义 式. 厩形润悠毫惜记涎醛每硬玫泣甜姿弧蔷侦毒晶眷茅未优廉裔薯膊载暂顶狸六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（5）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换结论1从 以 上 分 析, 特 别 是 最 后 得 出 的 两 式, 不 难 看 出 ： 如 果 用 DFT 定 义 式 去 计 算 一 个非 周 期 的 信 号 的 傅
22、里 叶 变 换, 则 频 谱 的 正 常 电 平 幅 度 与 用 DFT 算 得 的 频 谱 幅 度 相 差 一 个 加 权 - T. 搽隆摸揪腿蜘唐亮晨里蓉娟虹诱裤越裤饼腕运险侄邀靡抵骑勺短菱湾措裕六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（6）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换结论2同 理, 用 IDFT 定 义 式 去 计 算 一 个 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 反 变 换, 则 需 再 加 权 一 个 N * F = fs. 由 于 fs = 1 / T, 所 以 一 个 时 间 信 号 从 时 域 到 频 域 再 到 时 域 的
23、整 个 变 换 过 程 中, 电 平 幅 度 并 未 受 到 影 响.倪烃咎瘸利播涩战郝李胆熟胖钮挡烬慎瘫何夺置类努芯问络开由昨岭哉卜六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论（7）用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换注意点用 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换 过 程 中 除 了 对 幅 度 的 线 性 加 权 外, 由 于 用 到 了 抽 样 与 截 断 的 方 法, 因 此 也 会 带 来 一 些 可可 能能 产产 生生 的的 问问 题题 (如如 : 混混 叠叠 效效 应应, 频频 谱谱 泄泄 漏漏, 栅栅 栏栏
24、 效效 应应 等等). 搔冷黎碴峰谊漱喝头烩套纫奔防蹦掀急碧酞轧苦妻躬巍桑边郝膜卖双卿晚六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论五、用DFT逼近连续周期信号的傅里叶级数在 信 号 与 系 统 中 详 细 讨 论 的 连 续 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数 是 数 字 计 算 机 所 难 于 处 理 的, 因 而 我 们 采 用 DFT 对 其 进 行 逼 近.胀孟侦梯浇讥苞圾虐恕将爹省邦漓类砧涕群诧计近蔡靶晴魄板嘛接轩硝赣六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论1、用 DFT 逼 近 连 续 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数的分析连 续 周 期 信 号 的
25、 时 域 是 连 续 的, 频 域 是 离 散 的. 若 用 DFT 逼 近, 则 先 要 对 时 域 抽 样 (抽 样 间 隔 为 T), 然 后 截 断 取 N 点 序 列 (类 似 DFT 逼 近 连 续 非 周 期 信 号 傅 里 叶 变 换 中 的 抽 样 与 截 断, 下 同) . 这 将 导 致 频 域 周 期 延 拓。榆垂寡己打所委映孜灌哈蚀惑哩镰比缝橙捐酣两集币膊邵旨试剪嘱置扯悬六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论2、对连续周期信号进行时域抽样谢吸餐训汞棍诵惰蟹另剁诬貌了硝壮美借惟幢湘毖寂柑偷起稀效怒皿迸缆六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论3
26、、对连续周期信号频域进行截断然 后 再 对 频 域 进 行 截 断, 若 截 断 后 有 限 长 序 列 长 度 正 好 是 一 个 周 期 (或 是 其 整 数 倍), 则钉谅非揍倒鄙谭姜坐套疆劳殴管榷灯坚竞逐豢诡桃置炯心鹰署埃塞养仿歹六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论4、用 DFT 逼 近 连 续 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数的结论从 上 面 得 到 的 公 式 可 以 看 出, 利 用 DFT 去 求 一 个 连 续 周 期 信 号 的 DFS与 正 常 级 数 之 间 相 差 加 权 1/N.同 理, 以 IDFT 计 算 的 傅 里 叶 级 数 反 变 换
27、 与 正 常 值 相 差 加 权 N. 所 以 一 个 时 间 信 号 从 时 域 到 频 域 再 到 时 域 的 整 个 变 换 过 程 中, 电 平 幅 度 并 未 受 到 影 响.窜矗应董膛窖吏寞御讯僵屯丝绳奥刁填览豪犁歌交孟孺逻狈聂疲暂秸蜡戳六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论5、用 DFT 逼 近 连 续 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数的注意点逼近值除了加权差别外,还有如下特别注意处:DFT逼近周期信号的DFS中,曾设频域的截断长度为其周期的整数倍.如果截断长度不等于周期的整数倍,则会造成离散和连续傅里叶变换之间出现显著差异,而不 是只相差一个加权因子.另外当
28、长度不是周期 的整数倍时,时域会表现为有间断点的周期函数,频域表现为频谱泄漏成分增大.由于DFT 逼 近 连 续 周 期 信 号 过 程 中 用 到 抽 样 与 截 断, 因 此 还 会 带 来 一 些 可 能 产 生 的 问 题 (如: 混 叠 效 应, 频 谱 泄 漏, 栅 栏 效 应 等). 雇胸帽哉浓白退植迢怕荐绢耗临嘴涧绳保刷够瓮趟育惶睡研辱袄待姜徒漆六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论六、用 DFT 逼 近 有 限 长 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换 对 于 有 限 长 的 时 域 信 号, 其 傅 里 叶 变 换 的 频 域 必 然 是 无 限 带 宽 的
29、.因 而 这 种 信 号 抽 样 后 频 域 的 混 叠 是 不 可 避 免 的. 混 叠 的 大 小 由 频 谱 高 频 分 量 衰 减 的 速 度 决 定: 衰 减 越 快 混 叠 越 小. 如 果 选 择 N 小 于 长 度 有 限 的 函 数 的 样 本 点 数, 则 误 差 仅 由 混 叠 效 应 造 成. 选 抽 样 间 隔 T 足 够 小, 可 减 少 这 种 效 应 所 引 起 的 误 差. 在 这 种 情 况 下, DFT 变 换 的 计 算 值 和 连 续 傅 里 叶 变 换 的 样 本 值 将 很 好 的 一 致 (相 差 一 个 系 数).往甄砾你屎邱个栈贷诊邦卖肘遭水
30、盘寓跳币卞虱蚜栋荡堡瓣惧琐氓箱表把六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论七、用 DFT 做 傅 里 叶 变 换 (级 数) 的逼 近 时 所 产 生 的 问 题为 了 能 在 数 字 计 算 机 上 分 析 连 续 信 号 的 频 谱, 常 常 用 DFT 来 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换, 但 同 时 也 产 生 以 下 问 题: 混 叠 现 象频 谱 泄 漏栅 栏 效 应铜殖涪棺猿夫砖天柒瘦电潮诫痢涂损蠢趣给埃腥冶彭张近独赌傀标仪嵌奄六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论1、混 叠 现 象利 用 DFT 逼 近 连 续 时 间 信 号
31、的 傅 里 叶 变 换 ,为 避 免 混 叠 失 真, 要求满足抽样定理，即奈奎斯特准则： fs2fh 其中fs为抽 样 频 率 , fh 为信号最高频率.但此条件只规定出fs的下限为fh , 其上限要受抽样间隔 F的约束. 抽 样 间 隔 F 即 频 率 分 辨 力, 它是 记 录 长 度的 倒 数, 即 Tp = 1 / F 若 抽 样 点 数 为 N, 则 抽 样 间 隔 与 fs 的 关 系 为 F = fs / N 2fh /N美娃绵禽僳唁喻刃谣髓睹随舟吧操轮歉舜不赞啃捎胚船堵埔僻镰省梭石签六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论混 叠 现 象的结论由F = fs / N
32、 2fh /N 看出： 在 N 给 定 时, 为 避 免混 叠 失 真 而 一 味 提 高 抽 样 频 率 fs , 必 然 导 致 F 增 加, 即 频 率 分 辨 力 下 降; 反 之, 若 要 提 高 频 率 分 辨 力 即 减 小 F, 则 导 致 减 小fs, 最 终 必 须 减 小 信 号 的 高 频 容 量.以 上 两 点 结 论 都 是 在记录长度内抽样点数 N 给 定 的 条 件 下 得 到 的. 所 以 在 高 频 容 量 fh 与 频 率 分 辨 力 F 参 数 中, 保 持 其 中 一 个 不 变 而 使 另 一 个 性 能 得 以 提 高 的 唯 一 办 法, 就 是
33、 增 加 记 录 长 度 内 的 点 数 N, 即 fh 和 F 都 给 定 时, 则 N 必 须 满 足 N 2fh /F这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，为实现基本DFT算法所必须满足条件。逗弟骨磷担窟摊讣捏衡摈把杏僻牵椎哉竞磐隅札恳碎佬锨倦郁哺冠锈夷撰六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论例子-1有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为：（1）频率分辨力10Hz(2)信号的最高频率4kHz试确定以下参量：（1）最小记录长度Tp；（2）抽样点的最大时间间隔T；（3）在一个记录中的最少点数N。伯桶哮韦
34、孜夕畔啸触罕什饯莫兵什栽坠略备舔士厦逮嚏翔旗搭硫香梳灶卷六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论例子-2解：（1）由分辨力的要求确定最小记录长度Tp.Tp=1/F=1/10=0.1(s)故最小记录长度为0.1秒。（2）从信号的最高频率确定最大的抽样时间间隔T. fs2fh, T=1/fs 1/2fh=0.125*10-3 (s)(3)最小记录点数N，它应满足N2fh /F=800该处理器所需最少采样点数为N=210=1024点。（因为N=29=512点不够）榷补昂膀角睦奎匝亢吊泉涟汹尉牵诸铸误运托豌骡猾妙袭架送秆霄寥你壕六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论作业-1第
35、105页，第14题。1.有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为：（1）频率分辨力10Hz(2)抽样时间间隔为0.1ms试确定以下参量：（1）最小记录长度Tp；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数N。骡壳弗区跑饿涉忆跌潘途滴戏场熬驻怜官艇擎拍偿冀鹰卞蛔额黔启升重苑六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论作业-2第105页第8题。频谱分析模拟信号以8kHz被抽样，计算512个抽样的DFT，试确定频谱的抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。涩挛煤爪诫月躬吠兢旨鼻亿偏憋邻消吗啦衅崎投鼓苑运摊慎熔阜候
36、耘府儒六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论2、频 谱 泄 漏在实际中，要把观测的信号x(n)限制在一定的时间间隔之内，即采取截断数据的过程。 时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上一个窗函数,使原连续时间函数成为两端突然截断,中间为原信号与窗函数相乘的结果.时域两函数相乘，在频域是其频谱的卷积.由于窗函数不可能取无限宽,即其频谱不可能为一冲激函数,信号的频谱与窗函数的卷积必然产生拖尾现象.造成 频谱泄漏. 所 以 在 截 取 (即 在 窗 函 数 的 选 取) 时, 应 尽 量 选 择 适 当 形 状 的 窗 函 数 对时域信号进行截断, 使频谱泄漏最小. 谤幽塔墅贸齐断
37、死纲祷醉金砂整帽曝妊君揭武倪辽睬茶坟粉袄童去鸵测媒六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论频 谱 泄 漏注 意 点由于我们无法取无数个点，所以在DFT时，时域的截断是必然的，因而泄漏也是必然存在的。为了减少频率泄漏可采用：（1）适当加大窗口宽度，增加M值；（2）采用适当形状的窗函数截断指出：泄漏是不能与混叠完全分开的。洁院举佛泄稗癣脂浦航美谷印荐瓶耗销姨龚巾龟单葱膛界油龟座挛棵技晃六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论例子-1设信号为x(n)=1/2,经过矩形窗函数截断，求信号经过矩形窗函数前后的频谱函数。解：设信号经过矩形窗函数后的信号为x1(n),矩形窗函数为W(
38、n),其频谱函数为X1(ejw) x1(n)=x(n)W(n) X1(ejw)=X(ejw)*W (ejw)很明显： X1(ejw) X(ejw) 相当于X(ejw)失真，这种失真是由于X(ejw)的频谱泄漏引起，其现象为“拖尾（扩展现象），称之频谱泄漏。因为X(ejw)=(w),矩形窗函数甥份淬总哑峡丽味潮萧佐苹系考隙熟樊汐股赏妊羡湃歪谎馏载笺况姻坚于六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论例子-2wX(ejw)X(ejw)w产生泄漏摘赣雕蜕蒜闸帕会虫倾迎弗褥猪正块赛臆彻稻恨踏膜睡贫锋抹快盈绽峪免六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论3、栅 栏 效 应 利 用 DF
39、T 逼 近 连 续 时 间 信 号 的 傅 里 叶 变 换, 其 频 谱 将 不 再 是 连 续 函 数 而 是 基 频 F 的 整 数 倍。用 DFT 计 算 频 谱, 就 如 通 过 一 个 栅栏观 看 一 个 景 色, 只 能 在 离 散 点 的 地 方 看 到 真 实 的 景 象, 从 而 产 生 栅 栏 效 应. 如 果 在 两 离 散 的 谱 线 间 频 谱 有 很 大 变 化, 不 作 特 殊 处 理, 则 无 法 将 其 检 测 出 来.妄岛缔总偶晃耳兔免盎想淤穴炭棋饿砂又煌欺蔫桔碱剖段淋寿喧秤隶锗踌六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论减 小 栅 栏 效 应方
40、法 减 小 栅 栏 效 应 的 一 个 方 法 是 在 所 取 数 据 的 末 端 加 一 些 零 值 点, 使 一 个 周 期 内 点 数 增 加, 但 是 不 改 变 原 有 的 记 录 数 据. 这种方法 等 效 于 加 长 了 周 期 Tp . 因 公 式 F = 1/ Tp (F是 抽 样 间 隔). Tp 增 加, 抽 样 间 隔 变 小, 从 而 能 保 持 原 来 频 谱 形 式 不 变 的 情 况 下 使 谱 线 变 密, 也 就 使 频 谱 抽 样 点 数 增 加. 这 样, 原 来 看 不 到 的 频 谱 分 量 就 有 可 能 看 到 了.的妖舶场灯韦凉弧呕胆家工绝络毖
41、孙试螟子尽可没殃念股妮泞内淀森肆众六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论补零加长使谱线细化在DFT与Z变换的关系一节中,我们也曾从另一角度阐明时域补加零值点后对频域的影响。下图从 该角度解释这一现象的.补零加长谱线细化跳觉厦丙援梭丙缸凛内哎驾彬习辗鸡卖酋蕾斌空团杰潜去胎崖冗儒吟乞搬六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论减 小 栅 栏 效 应 注 意 点补 加 零 点 以 改 变 周 期 时, 所 用 窗 函 数 宽 度 却 不 能 变, 亦 即 必 须 按 数 据 记 录 原 长 来 选 择 窗 函 数, 而 不 能 按 补 了 零 值 点 后 的 长 度 来 选
42、择 窗 函 数. 通 俗 地 说, 就 是 应 先先 加加 窗窗, 再再 补补 零零.眼喇烤额溶杆槛记悔契藕釜祸亨同挥钮沏甘霞芋链弹解朗甥棘墩谰姨毕澄六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论例子画出x(n)=1, 0 n 3, x(n)=0, 其它n时的4点DFT，8点DFT，16点DFT图形。败殷迪蚁故层凡寂击祁陵耽煮拌它您霓碧绅柜忧闺突虾二衬吞捕蔑怨毛瞎六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论小结本章主要讲几个问题：（1）付里叶变换的四种形式（2）离散付里叶级数（3）离散付里叶变换（4）离散付里叶变换的有关性质（5）频率抽样理论（6）离散付里叶变换的应用（7）DFT
43、逼近连续时间信号产生的问题奖空棉琼燃露啦耪错恒熊河铅硒诫揽丁汤涩术擅吹券库让辅孰俞择稚赃妙六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论四种不同付里叶变换对傅 里 叶 级 数(FS)：连 续 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 里 叶 变 换 。连 续 傅 里 叶 变 换(FT)：连 续 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换 。序 列 的 傅 里 叶 变 换(DTFT):离 散 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换.离 散 傅 里 叶 变 换(DFT):离 散 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 里 叶 变 换噎睬贸轧得彩磨运师见评拭储狸陡做壹较滁溉恋战趟厄昭
44、勿疽阂裸惶袭阳六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论傅 里 叶 级 数(FS)周期连续时间信号 非周期离散频谱密度函数。 周期为Tp的周期性连续时间函数 x(t) 可展成傅里叶级数X(jk0) ,是离散非周期性频谱 , 表 示为:FS揩频巳俱阳牧柯兽言演卯攘表澳疏山喀召愈费单巴蚌惮陛榷疾慷牡敷俐报六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论DFT正变换反变换X(k)、x(n)为有限长序列的离散付里叶变换对，已知其中一个序列就能确定另一个序列。勾掷隶昔揪盟惮棘缩剑登撞殊赤渭疮镑鬼侦塔忆隐塌撑缨感省诊歌随蜘胆六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论DFT性质一览表
45、1妨恋有扼缚度掐你倾吴迟谩啄炔代标顷狭聂门涌祭已淮狐倒忌渍疑剐札胃六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论DFT性质一览表2荒验赴枫概需籍锻磁债虚掳铣篓数悯钎蓖搜癌仙兵鹊诲昏垦操裂脏住双捕六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论频率抽样理论（1）频域抽样不失真条件:长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的条件： 频域抽样点数N要大于或等于序列长度M, 即满足NM.此时可得到（2）频域内插公式遇犯赤腺匡九陀胖枣萧屈腰纫啤拧肋绢便堡哨蛛刀功夏灯锄及慎驳芍搓材六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论DFT的应用（1）用DFT计算线性卷积（2）用DFT去逼近连续信号（3）用DFT进行谱分析虽畅写酿钾衡鹊彰北浇纲茧伙兜断抄完劣妄屎渠蔷疏井伊剑勘雪兰宵奔薯六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论 DFT 做 傅 里 叶 变 换 (级 数) 的逼 近 时 所 产 生 的 问 题混 叠 现 象:频 谱 泄 漏栅 栏 效 应零蚌蔑膨床造奄驮统迎运匠帆身喀某丸幸濒蛹业循侯程茅仰峪曼卷棠峰氓六节抽样z变换频率抽样理论六节抽样z变换频率抽样理论
