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1、1数数 学学 建建 模模简单建模实例简单建模实例2024/7/232建建 模模 实实 例例n实例一：椅子能在不平的地面上放例一：椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上放，通常只有三只脚着把椅子往不平的地面上放，通常只有三只脚着地，放不地，放不稳，然而只需挪，然而只需挪动几次，就可以使四几次，就可以使四脚同脚同时着地，放着地，放稳了。了。这看来似乎与数学无关看来似乎与数学无关的的现象能象能够用数学用数学语言以表述，并用数学工具言以表述，并用数学工具来来证实吗？2024/7/233建建 模模 实实 例例n模型假模型假设：对椅子和地面椅子和地面应该作一些必要的假作一些必要的假设。1椅子四条
2、腿一椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触，椅脚与地面接触处可可视为一个点，四脚的一个点，四脚的连线呈正方形。呈正方形。n2地地面面高高度度是是连续变化化的的，沿沿任任何何方方向向都都不不会出会出现间断，即地面可断，即地面可视为数学上的数学上的连续曲面。曲面。n3. 对椅椅脚脚的的间距距和和椅椅脚脚的的长度度而而言言，地地面面是是相相对平平坦坦的的，使使椅椅子子在在任任何何位位置置至至少少三三只只脚脚着着地。地。 2024/7/234建建 模模 实实 例例n这里假里假设1显然是合理的，假然是合理的，假设2相相应于于给出了椅子能放出了椅子能放稳的条件，因的条件，因为如果地面如果地面高度不高度不连续，譬
3、如在有台，譬如在有台阶的地方是无法的地方是无法使椅子四脚同使椅子四脚同时着地的，至于假着地的，至于假设3是要是要排除排除这样的情况：地面上与椅脚的情况：地面上与椅脚间距和椅距和椅腿腿长度的尺寸大小相度的尺寸大小相应的范的范围内，出内，出现深深沟或凸峰，致使三只脚无法同沟或凸峰，致使三只脚无法同时着地。着地。 2024/7/235建建 模模 实实 例例n模型构成模型构成：n这里里首首先先要要解解决决的的中中心心问题是是用用数数学学语言言把把椅椅子四脚同子四脚同时着地的条件和着地的条件和结论表示出来。表示出来。n首先要用首先要用变量表示椅子的位置，注意到椅脚量表示椅子的位置，注意到椅脚连线呈正方形
4、，以中心呈正方形，以中心为对称点，正方形称点，正方形绕中心中心的旋的旋转正好代表了椅子位置的改正好代表了椅子位置的改变，于是可以，于是可以用旋用旋转角度角度这一一变量表示椅子的位置。量表示椅子的位置。 2024/7/236建建 模模 实实 例例n图中椅脚中椅脚连线为正正方形方形ABCD，对角角线AC与与x轴重合重合 椅子椅子绕中心点旋中心点旋转角度角度后，正方形后，正方形ABCD转至至ABCD的位置，的位置，所以所以对角角线AC与与x2024/7/237建建 模模 实实 例例n轴的的夹角角 表示了椅子的位置。表示了椅子的位置。n其其次次要要把把椅椅子子脚脚着着地地，用用数数学学符符号号表表示示
5、出出来来，如如果果用用某某个个变量量表表示示椅椅脚脚与与地地面面的的竖直直距距离离，那那么么当当这个个距距离离为零零时就就是是椅椅脚脚着着地地了了，椅椅子子在在不不同同的的位位置置椅椅脚脚与与地地面面的的距距离离不不同同，所所以以这个个距距离离就就是是位位置置变量量 的的 函数。函数。2024/7/238建建 模模 实实 例例n虽然椅子只有四个距离，但是由于正方形的中然椅子只有四个距离，但是由于正方形的中心心对称性，只要称性，只要设两个距离函数就行了，两个距离函数就行了，记A，C两脚与地面的距离之和两脚与地面的距离之和为f( )，B，D两脚两脚与地面的距离之和与地面的距离之和为g( )，f(
6、),g( )0，由假，由假设2，f与与g均是均是连续函数。由假函数。由假设3，椅子在任何，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以位置至少有三只脚着地，所以对于任意的于任意的 ，f( ), g( )中至少有一个中至少有一个为零，当零，当 =0时不妨不妨设g( )=0, f( )0。 2024/7/239建建 模模 实实 例例n这样，改改变椅椅子子的的位位置置，使使四四脚脚同同时着着地地，就就归结为证明如下数学命明如下数学命题： 已已知知f( )与与g( )是是 的的连续函函数数，对任任意意的的 ，f( )g( )=0且且g(0)=0，f(0)0 .则存存在在 0使使f( 0)=g( 0)=0.20
7、24/7/2310建建 模模 实实 例例n可以看到，引入了可以看到，引入了变量量 和函数和函数 就把模型的假就把模型的假设条件和椅脚同条件和椅脚同时着地的着地的结论用用简单、精确的数学、精确的数学语言表述出来，从言表述出来，从而构成了而构成了这个个实际问题的数学模型。的数学模型。n模型求解模型求解n上上述述命命题有有多多种种证明明方方法法，这里里介介绍其其中中的的一一种种，将将椅椅子子旋旋转900 ，对角角线AC与与BD互互换，由由于于 g(0)=0, f(0)0，可可知知g(90)0, f(90)=0.2024/7/2311建建 模模 实实 例例n令令h( )=f( )-g( ), 则h(0
8、)0, h(90)0, 由由于于f和和g的的连续性性可可知知， h也也是是连续函函数数，根根据据连续函函数数的的基基本本性性质可可知知，必必存存在在 0（0 00,这里里r相当于相当于x=0时的增的增长率，称率，称为固有增固有增长率率，它与指数模型中的增，它与指数模型中的增长率率r不同，不同，显然，然，对于任意的于任意的x0，增，增长率率r(x)r。为确定系数确定系数s的意的意义，引入自然，引入自然资源和源和环境条件所能容境条件所能容纳的的最大人口数量最大人口数量xm, 称称为最大人口容量最大人口容量。2024/7/2329建建 模模 实实 例例n当当x=xm时增增长率率为零，即零，即r(xm)=0,由此确定出由此确定出s，此，此时人口增人口增长率函数可以表示率函数可以表示为n （4） 其中其中r ,xm是根据人口是根据人口统计数据或数据或经验确定的常数，确定的常数，因子因子 体体现了阻滞增了阻滞增长作用，作用，2024/7/2330建建 模模 实实 例例n在（在（4）的假）的假设下指数增下指数增长模型（模型（2）应为n （5）n称称为阻滞增阻滞增长模型，非模型，非线性微分方程（性微分方程（5）可）可以用分离以用分离变量法求解，量法求解，结果果为n （6）
