第一章 状态空间法#高等教育

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1、自动控制原理自动控制原理第一章第一章 状态空间法状态空间法一一. .问题的引出问题的引出 1 -1 -古典控制理论的局限性古典控制理论的局限性 1 1、仅适用于、仅适用于SISOSISO的线性定常系统的线性定常系统( (外部描述，外部描述，时不变系统时不变系统) ) 2 2、古典控制理论本质上是复频域的方法、古典控制理论本质上是复频域的方法.(.(理理论论) ) 3 3、设计是建立在试探的基础上的、设计是建立在试探的基础上的.(.(应用应用) ) 4 4、系统在初始条件为零、系统在初始条件为零, ,或初始松驰条件下或初始松驰条件下, ,才能采用传递函数才能采用传递函数. .控制系统的状态空间描

2、述控制系统的状态空间描述而实际上大多数系统表现为而实际上大多数系统表现为: : 1 1、多输入，多输出、多输入，多输出. .（抽象定义，系统具有（抽象定义，系统具有合格性）合格性） 2 2、时变、时变. .（总是可找到一些参数是随时间变（总是可找到一些参数是随时间变化的）化的） 3 3、非线性、非线性. .（泛指运动本身的非线性特征）（泛指运动本身的非线性特征） 4 4、复杂性，复杂任务和高精度、复杂性，复杂任务和高精度. . 因此古典控制理论解决问题受到限制因此古典控制理论解决问题受到限制, ,需要寻找需要寻找新的解决方法新的解决方法. .这种方法或理论应要求这种方法或理论应要求: : 1

3、1、描述多输入、描述多输入/ /输出复杂系统的方法和理论基输出复杂系统的方法和理论基础础. . 2 2、具有可计算的形式、具有可计算的形式. . 3 3、解析式设计、解析式设计 4 4、能描述系统内部状态和终端行为、能描述系统内部状态和终端行为( (内部描述内部描述).). 5 5、系统、系统t=0t=0松驰状态松驰状态, ,非松驰状态非松驰状态, ,或非线性时或非线性时变等情况下的适用性变等情况下的适用性. . 结论结论 -对研究内容的界定和限制对研究内容的界定和限制 所以对于一个多输入所以对于一个多输入/ /输出系统来说输出系统来说: : 1 1、采用在时域内进行建模，且由于是对实际物、采

4、用在时域内进行建模，且由于是对实际物理系统进行模型描述，因而模型中的所有变量和理系统进行模型描述，因而模型中的所有变量和函数均假定为实数函数均假定为实数 x x 。 2 2、数学描述的主要手段是微分方程，并应充、数学描述的主要手段是微分方程，并应充分利用系统的内部描述法来建立微分方程，以分利用系统的内部描述法来建立微分方程，以充分表述系统的内部特性充分表述系统的内部特性. . 3 3、适用于非初始松驰或非零初始条件的系统、适用于非初始松驰或非零初始条件的系统状态状态. . 4 4、主要研究线性连续时不变系统、主要研究线性连续时不变系统. .二二. .问题的引出问题的引出 2 -2 -状态空间分

5、析方法状态空间分析方法 通过一个实例引出状态空间分析方法的基本概通过一个实例引出状态空间分析方法的基本概念念. . 例例: :设有如图所示网络设有如图所示网络 显然显然, ,若流经电感的初始电流及电容两端的初始若流经电感的初始电流及电容两端的初始电压已知电压已知, ,则在任何电压驱动下则在任何电压驱动下, ,网络的行为能唯一网络的行为能唯一地确定。地确定。 从从u u到到y y的网络传递函数求得为的网络传递函数求得为: : (1) 故该网络的脉冲响应为故该网络的脉冲响应为: :(1) 现将输入电压现将输入电压u ,)u ,)施加于网络施加于网络, ,且网络设定且网络设定为时不变的为时不变的.

6、. (1) (1)若在若在 时刻系统是松驰的时刻系统是松驰的, ,则其输出为则其输出为: : (2) (2)(2)若在若在 时刻非松驰（时刻非松驰（ 前有输入，系统有能量储前有输入，系统有能量储存），则系统输出为存），则系统输出为: : (3) 显然在显然在 以前施加于系统的输入能通过电容和以前施加于系统的输入能通过电容和电感的能量存储对电感的能量存储对 之后的输出产生影响之后的输出产生影响. . 现在我们考虑由未知输入现在我们考虑由未知输入u(-, u(-, 对对y ,)y ,)的影响的影响, ,即即 （4） 其中其中: : 注意到注意到 和和 与与t t无关无关, ,因此如果因此如果 和和

7、 已已知知, ,则由未知的输入则由未知的输入u(-, u(-, 引起的在引起的在t t 之之后的输出就完全可以确定。后的输出就完全可以确定。由式（由式（3 3）得到）得到 并利用式（并利用式（4 4）的结果，得）的结果，得 （5） 对式对式(3)(3)取关于取关于t t的导数的导数, ,并利用并利用得到得到: :连同连同g(0)=0,g(0)=0,就意味着有就意味着有(6)(6)联立式联立式(5)(5)和式和式(6),(6),得到得到 从而若网络在从而若网络在 时刻非松驰则输出由下式给出时刻非松驰则输出由下式给出: : 结论结论: :若若 和和 已知已知( ( 时刻系统的一种状态时刻系统的一种

8、状态),),即使网络在即使网络在 时刻非松驰时刻非松驰, ,它在它在t t u ,) u ,) 之后的输出也能唯一的被确定之后的输出也能唯一的被确定. .显然是由显然是由 和和 ，u ,)u ,)共同唯一地确定共同唯一地确定. .因此因此 和和 可以作为网络的状态可以作为网络的状态, ,同样也可用同样也可用 和和 作为网络的状态作为网络的状态, ,而这两组数的原函数是微分而这两组数的原函数是微分方程的变量方程的变量. .从例子中也可以看出来从例子中也可以看出来, ,在无限区间在无限区间(-, (-, 上上的输入的输入, ,其作用效果已综合在其作用效果已综合在 , , 和和 , , 两个数中两个

9、数中, ,因此状态概念非常有意义和有因此状态概念非常有意义和有效效. .从上述例子可得到如下结论: 1 1、系统状态不是唯一的、系统状态不是唯一的. . 2 2、状态的选择与物理量有关、状态的选择与物理量有关, ,一般应该是相互一般应该是相互 独立的储能元件的物理量独立的储能元件的物理量. . 3 3、每一瞬时的状态可以是仅由有限个数的集合、每一瞬时的状态可以是仅由有限个数的集合组成组成. . 定义定义1.1.状态状态 系统在时刻系统在时刻 的状态乃是时刻的状态乃是时刻 的一种信息量的一种信息量, ,它与输入它与输入u ,)u ,)唯一地确定系统唯一地确定系统 t t 时的时的行为。行为。 注

10、：系统行为指包括状态在内的系统的所有响应。注：系统行为指包括状态在内的系统的所有响应。 状态即指某一时刻的状态即指某一时刻的, ,可以表征系统特征或行为可以表征系统特征或行为的数。而该数的原函数则可称为状态变量的数。而该数的原函数则可称为状态变量, ,而这种而这种函数不但可以描述某一时刻的行为，并可在函数不但可以描述某一时刻的行为，并可在 ,) ,)内描述行为内描述行为, ,为此定义状态变量是为此定义状态变量是: : 定义定义2.2.状态变量状态变量 状态变量是确定系统状态的最小一组变量状态变量是确定系统状态的最小一组变量, ,如果以如果以最少的最少的n n个变量个变量 可以完全描述系统的行为

11、可以完全描述系统的行为 ( (即当即当t t 时输入和时输入和在在t= t= 初始状态给定后初始状态给定后, ,系统的状态完全可以确定系统的状态完全可以确定),),那那么么 是一组状态变量是一组状态变量. . 定义定义3.3.状态向量（有限个数的状态变量的集合）状态向量（有限个数的状态变量的集合） 如果将状态变量如果将状态变量 作为向量作为向量x(tx(t) )的各个分量的各个分量, ,则称则称x(tx(t) )为状态向量为状态向量, ,一旦给定一旦给定 时刻的状态向量时刻的状态向量, , 则它与输入则它与输入u ,)u ,)唯一地确定唯一地确定系统在系统在t t 时的状态时的状态x(tx(t

12、) )。 定义定义4.4.状态空间状态空间 若状态向量若状态向量x(tx(t),),可唯一地由可唯一地由 空间中一组规范空间中一组规范正交基底正交基底( (单位坐标向量单位坐标向量) )线性组合表示线性组合表示, ,则状态向则状态向量量x(tx(t) )是是n n维状态空间维状态空间( ,n)( ,n)中的一个向量中的一个向量, ,所有所有状态向量状态向量x(tx(t) )集合组成集合组成n n维的状态空间维的状态空间( ,n)( ,n) 或定义为或定义为: : 通常状态变量均为有实际意义的实通常状态变量均为有实际意义的实数值数值, ,因此状态向量的取值空间是有限维实向量空因此状态向量的取值空

13、间是有限维实向量空间间, ,称为状态空间。称为状态空间。 总结总结: : (1)(1)根据状态变量的定义根据状态变量的定义, ,状态变量应选取系统中状态变量应选取系统中相互独立储能元件的物理量相互独立储能元件的物理量, ,独立储能元件的个数即独立储能元件的个数即为状态变量个数为状态变量个数. . (2) (2)状态变量选取不唯一状态变量选取不唯一, ,有时选取状态变量仅为有时选取状态变量仅为数学描述所需数学描述所需, ,而非明确的物理意义。而非明确的物理意义。 (3)(3)状态变量是系统的内部变量状态变量是系统的内部变量, ,一般情况下输出一般情况下输出是状态的函数是状态的函数, ,但输出总是

14、希望可量测的。但输出总是希望可量测的。 (4)(4)仅讨论有限个状态变量的系统。仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)(5)有限个数的状态变量的集合有限个数的状态变量的集合, ,称为状态向量。称为状态向量。 (6)(6)状态向量的取值空间称为状态空间。状态向量的取值空间称为状态空间。 例例2,2,设下图的设下图的RLCRLC网络网络, ,如果电流如果电流i( ),i( ),电容电压电容电压 ( )( )的初始值和的初始值和t t 时的输入电压均已知时的输入电压均已知, ,则则t t 时网络的状态完全由时网络的状态完全由i(ti(t), (t), (t)确定确定. .因因此可将此可将i(ti(t)

15、 )和和 (t)(t)作为这个系统的一组状态变作为这个系统的一组状态变量量. . ( (注意注意: :这个系统这个系统, ,也可将也可将 (t)(t)和和R*R*i(ti(t) )选为选为一组状态变量一组状态变量) ) 设设i(ti(t) )和和 (t)(t)作为一组状态向量作为一组状态向量, ,则描述则描述系统的动力学方程系统的动力学方程: :用向量矩阵形式表示用向量矩阵形式表示, ,则上述方程可表示为则上述方程可表示为: : (1) (1) 若设若设 , ,则上式可简化为则上式可简化为: : , 当输出选定后当输出选定后, ,则可以量测的输出则可以量测的输出, ,总是可以通总是可以通过状态

16、变量和输入的线性组合得到过状态变量和输入的线性组合得到. . y=Cx+Du (2) 此例中此例中 D=0, ,D=0, ,即即由此，我们可以得出，现代控制理论或状态空由此，我们可以得出，现代控制理论或状态空间分析方法是建立在系统采用有限个一阶微分间分析方法是建立在系统采用有限个一阶微分方程描述的基础上，而有限个一阶微分方程组方程描述的基础上，而有限个一阶微分方程组成了向量成了向量矩阵方程，因而从本质上来说，现矩阵方程，因而从本质上来说，现代控制理论的分析方法是时域分析方法代控制理论的分析方法是时域分析方法. .控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述-线性系统的状态空间表达线性系统的状态

17、空间表达式式状态空间表达式是描述系统行为的数学模型状态空间表达式是描述系统行为的数学模型, ,它包括它包括输出方程和状态方程输出方程和状态方程, ,状态方程由有限个一阶微分方状态方程由有限个一阶微分方程组成程组成, ,而输出方程则是状态向量和输入的函数而输出方程则是状态向量和输入的函数. .1.1.状态方程状态方程x(t)是n*1维向量,A(t)是n*n维向量,B(t)是n*r维向量,u(t)是r*1维向量,(1)(1)如果是线性定常系统如果是线性定常系统, ,则则 是常系数矩阵是常系数矩阵, ,则状态方程可写为则状态方程可写为: :(2)(2)如果是单输入系统如果是单输入系统, ,则则状态方

18、程描述了状态方程描述了 时刻和状态时刻和状态 和输入和输入 所决定的系统在所决定的系统在 的行为的行为. .2.2.输出方程输出方程输出方程是在指定输出变量情况下输出方程是在指定输出变量情况下,(,(输出变量输出变量往往是选取可以量测的物理量往往是选取可以量测的物理量) )其输出变量与其输出变量与状态变量以及输入变量之间的关系状态变量以及输入变量之间的关系. . 用用其中其中: : 是是m*1m*1维向量维向量, , , 是是m*nm*n维向量维向量, , , 是是m*rm*r维向量维向量, , , 3.3.状态空间表达式状态空间表达式 1)1)线性时变系统线性时变系统: : 2) 2)线性时

19、不变系统线性时不变系统: : 在通常情况下，大多数还是研究线性是不变在通常情况下，大多数还是研究线性是不变 系统，即线性定常系统，因此本课程的主要研究系统，即线性定常系统，因此本课程的主要研究对象是线性定常系统。对象是线性定常系统。4.4.状态空间描述的结构图状态空间描述的结构图( (或称状态变量图或称状态变量图) )例例: :根据上例画出结构图根据上例画出结构图. .解解: :先将例子写成下述形式先将例子写成下述形式 则结构图为则结构图为: :画法: 1)1)根据状态方程从方程右边开始画起根据状态方程从方程右边开始画起. . 2) 2)通过通过积分环节得到状态积分环节得到状态. . 3) 3

20、)通过状态反馈的组合得到状态的微分通过状态反馈的组合得到状态的微分 4)4)通过状态的组合得到输出通过状态的组合得到输出. .5.5.输入输入/ /输出描述和状态变量描述的比较输出描述和状态变量描述的比较 (1)(1)系统的输入系统的输入/ /输出描述仅揭示系统在初始输出描述仅揭示系统在初始松驰的假定下输入松驰的假定下输入输出间的关系输出间的关系. .因此对非松因此对非松驰系统不能采用这种描述驰系统不能采用这种描述. .尤为重要的问题尤为重要的问题, ,此此描述不能揭示非初始松驰时系统将发生的行为描述不能揭示非初始松驰时系统将发生的行为, ,也不能揭示系统的内部行为也不能揭示系统的内部行为.

21、. (2) (2)对于甚为复杂的线性系统对于甚为复杂的线性系统, ,求其动态方程求其动态方程描述是很繁的描述是很繁的, ,在此情况下在此情况下, ,借助于直接测量求借助于直接测量求取输入取输入/ /输出描述可能稍容易一些输出描述可能稍容易一些. . (3)(3)状态变量法中的各种结果均能以传递函数法状态变量法中的各种结果均能以传递函数法得到得到. . (4) (4)状态空间表达式能够推广到时变情形状态空间表达式能够推广到时变情形, ,且这且这种状态空间描述方程可适用于多种现代设计方种状态空间描述方程可适用于多种现代设计方法法. . (5) (5)在非线性系统的研究中在非线性系统的研究中, ,可

22、以根据不同的方可以根据不同的方法法, ,而采用上述两种描述方法中的一种而采用上述两种描述方法中的一种. . (6) (6)采用状态空间描述的形式采用状态空间描述的形式, ,可方便地进行计可方便地进行计算机仿真算机仿真. . 三三. .状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立根据系统的物理机理根据系统的物理机理, ,直接写出状态空间表达式直接写出状态空间表达式, ,如例如例2.2.方法方法: :依据有关物理定律依据有关物理定律, ,或直接建立所选择状或直接建立所选择状态变量的一阶微分方程组态变量的一阶微分方程组. .或将得到的微分方或将得到的微分方程化为所选状态变量的一阶微分方程组程化为所选状态

23、变量的一阶微分方程组. . 讨论: : (1)(1)这种方法要求系统是完全可数学描述的这种方法要求系统是完全可数学描述的, ,即结构和参数必须是确定的物理系统即结构和参数必须是确定的物理系统. . (2) (2)系统是能描述的简单物理系统系统是能描述的简单物理系统. .在一般情在一般情况下况下, ,只有简单的物理系统才能直接建立按所只有简单的物理系统才能直接建立按所选择状态变量的一阶微分方程选择状态变量的一阶微分方程. . (3) (3)复杂物理系统复杂物理系统, ,在这种情况下在这种情况下, ,对系统的对系统的描述可能是描述可能是n n阶的线性微分方程阶的线性微分方程, ,故而需将高阶故而需

24、将高阶微分方程转成一阶微分方程形式微分方程转成一阶微分方程形式. .根据系统微分方程建立状态空间表达式根据系统微分方程建立状态空间表达式. .1.1.输输入入项项中中不不含含输输入入导导数数项项的的线线性性系系统统空空间间状状态态表达式表达式系统描述为系统描述为: : (1) 讨论讨论: :状态如何选择状态如何选择对方程对方程(1),(1),若已知若已知 和和 则可完全确定系统在则可完全确定系统在 的行为的行为, ,故而可故而可选取选取 n n个状态作为状态变量个状态作为状态变量. .注意到注意到, ,从数学上讲从数学上讲, ,这种方法是方便的这种方法是方便的, ,但在实际但在实际情况下情况下

25、, ,输出中可能存在噪声效应输出中可能存在噪声效应, ,因而高阶微分是因而高阶微分是不准确的不准确的, ,这是需要注意的这是需要注意的. .解解: :设设则方程则方程(1)(1)可写成可写成: :(2) 或写成矩阵形式或写成矩阵形式: :其中其中输出方程输出方程: :显然这种结果很容易地推广到显然这种结果很容易地推广到r r个输入个输入( (但不含输但不含输入的导数项入的导数项) )的情形中的情形中, ,以一个例子说明以一个例子说明. .例例: : 设设 为系统的微分方程为系统的微分方程其中其中y y为输出为输出, , 为输入为输入, ,试求状态空间表达式试求状态空间表达式. .解解: :设设

26、则则及及即即: :其中其中 2.2.输入中含有导数项的输入中含有导数项的n n阶线性系统的状态空间阶线性系统的状态空间表达式表达式. .系统方程系统方程: : (3)讨论讨论: : 1) 1)选择状态变量选择状态变量 显然显然 以及以及 和和 就可唯一确定就可唯一确定 时的行为时的行为. . 2) 2)不能单纯将输入不能单纯将输入, ,输出作为状态变量输出作为状态变量, ,必须用必须用输入输入/ /输出的线性组合作为状态变量输出的线性组合作为状态变量, ,且为了得且为了得到状态空间的简约形式到状态空间的简约形式, ,状态变量的选择必须状态变量的选择必须能消去状态方程中输入能消去状态方程中输入u

27、 u的导数项的导数项. .用两个方法来解决问题用两个方法来解决问题: : (1) (1)将方程将方程(3)(3)写成微分算子的形式写成微分算子的形式, ,即令即令 为微分算子为微分算子, ,则原方程可写成则原方程可写成 （4 4）y(ty(t) )亦可表示为亦可表示为: : （5） 设一新变量设一新变量v(tv(t),),并令并令 (6)(6) 将上式写成微分形式将上式写成微分形式, ,则为则为: :(7) 取状态变量取状态变量则上式又可写成状态方程则上式又可写成状态方程 (8) 将式将式(6)(6)代入式代入式(5)(5)得到输出方程得到输出方程即即 或或 (9)(9)式式(8)(8)和式和

28、式(9)(9)组成状态空间表达式组成状态空间表达式显然显然, ,上述结果亦可方便地推广到多输入上述结果亦可方便地推广到多输入, ,多输多输出的情形出的情形. .(2)(2)选取合适的状态变量以消去输入项中的导选取合适的状态变量以消去输入项中的导数形式数形式. .设状态变量为设状态变量为: : 式中式中这样微分方程式这样微分方程式(3)(3)可以写成下述状态空间表可以写成下述状态空间表达式达式. .上述两情况下上述两情况下, ,具有具有A A阵形式的矩阵称为相伴标阵形式的矩阵称为相伴标准形矩阵或称友阵准形矩阵或称友阵. .四四. .状态空间表达式状态空间表达式( (或动态方程或动态方程) )的线

29、性变的线性变换换. .对于状态空间表达式来说对于状态空间表达式来说, ,由于状态变量选择由于状态变量选择的非唯一性的非唯一性, ,因此所得到的动态方程形式是不因此所得到的动态方程形式是不一样的一样的, ,但由于是描述的同一系统但由于是描述的同一系统, ,故而动态方故而动态方程不论形式如何程不论形式如何, ,它们对系统行为的描述应该它们对系统行为的描述应该提供同样多的信息。提供同样多的信息。1.1.系统状态空间表达式的非唯一性系统状态空间表达式的非唯一性. .对于选定的状态变量对于选定的状态变量x,x,则线性定常系统为则线性定常系统为: : (11)若存在非奇异矩阵若存在非奇异矩阵P, ,P,

30、,使使 或或 则式则式(11)(11)变为变为 (12) (12) 其中其中 , ,初始条件变换初始条件变换式式(12)(12)表明了状态空间表达式的非唯一性表明了状态空间表达式的非唯一性, ,而其根本而其根本原因在于原因在于 , ,即状态选取的非唯一性，因为即状态选取的非唯一性，因为总是可找到非奇异的总是可找到非奇异的P,P,使得使得讨论讨论: : (1)x (1)x和和 为同一向量在线性空间是关于不同基底为同一向量在线性空间是关于不同基底的不同表示的不同表示, ,其中其中P P也称为基底变换矩阵。也称为基底变换矩阵。 (2)A(2)A也被称为线性算子也被称为线性算子( (自身映射自身映射)

31、,),对于同一算对于同一算子子A,A,对于不同基底也有不同表示对于不同基底也有不同表示( (如如 ) )，但，但A A和和 是相似的是相似的, ,即满足即满足 显而易见显而易见, ,同一算子关于不同基底的所有矩同一算子关于不同基底的所有矩阵表示都是相似的阵表示都是相似的. . 问题问题: : (1) (1)既然一个线性算子有多种表示既然一个线性算子有多种表示, ,是否有可能选是否有可能选一组基底以使算子一组基底以使算子A A的表达最为简洁的表达最为简洁. . (2) (2)在不同基底下在不同基底下, ,线性算子具有不同的表示线性算子具有不同的表示, ,那那么它们的特征值是否发生了变化么它们的特

32、征值是否发生了变化. .2.2.系统特征值的不变性系统特征值的不变性(1)(1)特征值定义特征值定义, ,特征向量的定义特征向量的定义定义定义: :设设A A为将为将 映射到自身的线性算子映射到自身的线性算子 若存在若存在C C 中的非零向量中的非零向量X X 及及C C 中的标量中的标量, , 使得使得 则称则称为为A A的特征值的特征值, , 任何满足任何满足 的非零向量的非零向量X X称为称为A A的特征向量的特征向量. . 按定义按定义, ,为了寻找关于为了寻找关于A A的特征值的特征值, , 将将 写成写成 其中其中I I 是是 的单位阵的单位阵, , 对于方程对于方程 是齐次方程组

33、，且是齐次方程组，且 也是也是 的，该方程当且仅当的，该方程当且仅当 方程才有非零解。故当且仅当方程才有非零解。故当且仅当 是是 的根时的根时, ,标量标量 才是才是A A的特征值的特征值, ,显然显然A A阵共有阵共有n n个个特征根特征根, ,当然它们未必是相异的当然它们未必是相异的. .(2)(2)特征值的不变性特征值的不变性 易证明这一结论易证明这一结论3.3.化化A A阵为对角阵阵为对角阵( (化状态方程为对角线规范形化状态方程为对角线规范形) )( (特征值互异的情况下特征值互异的情况下) )这里这里, ,实际上是为回答上述的第一个问题实际上是为回答上述的第一个问题-使使A A表示

34、最简洁表示最简洁. .首先研究在首先研究在A A的特征值是互异的情形下的特征值是互异的情形下: : 不加证明地给出下述结论不加证明地给出下述结论. .若线性算子若线性算子A A或或A A阵具有互异的特征值阵具有互异的特征值, ,则在选则在选择特征向量作为基底的情况下择特征向量作为基底的情况下, ,算子算子A A或或A A阵的阵的表示是一对角阵表示是一对角阵, ,对角线上的元素即为其特征对角线上的元素即为其特征值值. .具体来说具体来说: :对于状态方程对于状态方程 若若A A的特征值互异的特征值互异, , 互异互异, ,则存在则存在非奇异矩阵非奇异矩阵P,P,进行变换进行变换 , ,变换后的状

35、态变换后的状态方程为方程为其中其中A A为对角阵为对角阵, ,即即且且P P由由A A阵的特征向量阵的特征向量 组成组成 满足满足易证易证 组成的向量是线性无关的组成的向量是线性无关的. .上述方法成立的一个重要基础是需证明上述方法成立的一个重要基础是需证明 线性无关线性无关, ,若作为基底若作为基底, ,则则 是是A A关关于基底的表示。于基底的表示。一种特殊情况一种特殊情况, ,若若A A为友阵时为友阵时, ,则可直接给出变则可直接给出变换阵换阵P P称称P P 为范德蒙矩阵为范德蒙矩阵, ,它能使友阵它能使友阵A A, ,作相似变换作相似变换后得后得4.4.化状态方程为约当规范形化状态方

36、程为约当规范形( (化化A A阵为约当形矩阵阵为约当形矩阵) )这这种种情情形形实实际际是是A A阵阵特特征征值值有有重重根根的的情情形形.-.-如如果果A A阵有重根则只能化成约当形矩阵阵有重根则只能化成约当形矩阵约当规范形的推导比较复杂约当规范形的推导比较复杂, ,我们这里不加证明地我们这里不加证明地给出下述结论给出下述结论: :设设A A的特征值有的特征值有q q个重根个重根, ,其余其余( (n-qn-q) )个根为互异根个根为互异根, ,将将A A阵化为约当规范形的形式为阵化为约当规范形的形式为: :相应的变换矩阵相应的变换矩阵 其中其中 是对应于是对应于n-qn-q个互异单根的特征

37、向个互异单根的特征向量量, ,求法同对角规范形。求法同对角规范形。 是对应于是对应于q q个重根的各特征向量个重根的各特征向量, ,它们它们的计算按下式的计算按下式. .其中其中. . 是是 的特征根对应的特征向量的特征根对应的特征向量, , 称为广义特征向量称为广义特征向量显而易见在这种变换下显而易见在这种变换下, ,状态方程的约当规范状态方程的约当规范形为形为五五. .状态空间表达式与传递函数阵间的变换状态空间表达式与传递函数阵间的变换注意注意: :该变换仅适用于零初始松驰的线性定常该变换仅适用于零初始松驰的线性定常系统系统. .传函矩阵的概念传函矩阵的概念显而易见显而易见, ,单输入单输

38、入/ /单输出定常系统的传函概念单输出定常系统的传函概念和方法和方法, ,亦可推广到多输入亦可推广到多输入/ /多输出的定常线性多输出的定常线性系统系统, ,此时传函则是以一个矩阵来表示此时传函则是以一个矩阵来表示, ,该矩阵该矩阵称为传函矩阵称为传函矩阵. . 例如下例例如下例, ,例了描述了两个输入例了描述了两个输入/ /输出系统的传输出系统的传递函数表示法递函数表示法. .根据上图根据上图, ,可以写出系统的输入可以写出系统的输入/ /输出描述的数输出描述的数学模型学模型. .写成矩阵形式写成矩阵形式或简写为或简写为称称 为输出向量为输出向量 与输入向量与输入向量 之间之间的传函矩阵的传

39、函矩阵, ,显然我们可以将显然我们可以将 推广到推广到m*rm*r的的情形情形, ,即即r r个输入个输入,m,m个输出个输出. .状态空间表达式与传函阵之间的关系状态空间表达式与传函阵之间的关系 (1)(1)线性定常系统单输入线性定常系统单输入/ /单输出的传递函数单输出的传递函数 设动态方程设动态方程对动态方程作零初始条件下的拉氏变换得到对动态方程作零初始条件下的拉氏变换得到令令 ，并解方程，并解方程, ,得到得到由于由于 则则讨论讨论: : 1). 1).如果如果 中不存在零点对消中不存在零点对消, ,则则A A的特征值是的特征值是 的极点。的极点。 2).2).此时此时 是一维的是一维

40、的. . (2)(2)线性定常多输入线性定常多输入/ /多输出系统的传函矩阵多输出系统的传函矩阵仿前例仿前例, ,对动态方程进行拉氏变换对动态方程进行拉氏变换( (零初始条件零初始条件) )从而得到从而得到显然传函矩阵显然传函矩阵 (3)(3)多输入多输入/ /多输出传函的特点多输出传函的特点 （a a）输入）输入/ /输出传函描述的最大特点是清输出传函描述的最大特点是清楚地反映了每个输入分量对输出分量的影响楚地反映了每个输入分量对输出分量的影响, ,如果如果 是对角形的是对角形的, ,则称系统是解耦的。则称系统是解耦的。 （b b）传函矩阵的不变性）传函矩阵的不变性 对同一系统对同一系统, ,尽管状态空间表达式可以有多尽管状态空间表达式可以有多样性或非唯一性样性或非唯一性, ,但传函是唯一的。但传函是唯一的。