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1、浙江专用 专题八 运动型问题 所谓“运动型问题”是探究几何图形 (点、直线、三角形、四边形 )在运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度、线段、周长、面积及相关的关系)的变化或其中存在的函数关系的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题 “运动型问题”题型繁多、题意创新 ，考查学生分析问题、解决问题的能力，是近几年中考题的热点和难点 在运动过程中观察图形的变化情况 ，理解图形在不同位置的情况 ，做好计算推理的过程在变化中找到不变的性质是解决数学“运动型”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质 解题方法 对于图形运动型试题 ，要注意用运动与变化
2、的眼光去观察和研究图形 ，把握图形运动与变化的全过程 ，抓住其中的等量关系和变量关系 ，并特别关注一些不变的量 ，不变的关系或特殊关系 ，善于化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等 )逐步过渡到一般情形 ，综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时 ，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解 21(2016包头)如图，直线 y x4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，3点 C，D 分别为线段 AB，OB 的中点，点 P为 OA 上一动点，
3、PCPD值最小时点 P的坐标为( C ) A(3，0) B(6，0) 35C( ，0) D( ，0) 2232(2016西宁)如图，在ABC 中，B90，tanC ，AB6 cm，4动点 P从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1 cm/s的速度移动，动点 Q 从点 B开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s的速度移动若 P，Q 两点分别从 A，B 两点同时出发，在运动过程中 ，PBQ的最大面积是( C ) 22A18 cm B12 cm 22C9 cm D3 cm 3(2016龙东)如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形设
4、穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s(阴影部分)，则s与t的大致图象为( ) A 4(2016西宁)如图，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角ABC，使BAC90，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是( ) A 点拨：作 ADx 轴，作 CDAD 于点 D，如图所示，由已知可得，OBx，OA1，AOB90，BAC90，ABAC，点 C 的纵坐标是 y，ADx 轴，DAOAOB180，DAO90，OABBADBADDAC90，OABDAC，在OABAOBADC，?和DAC 中，OBCD，?OABDAC，OABDA
5、C(AAS )，?ABAC，CDx，点 C 到 x 轴的距离为 y，点 D 到 x 轴的距离等于点 A 到 x轴的距离为 1，yx1(x0)故选 A. 65(2016眉山)如图，已知点 A 是双曲线 y在第三象限分支上的一个x动点， 连结 AO 并延长交另一分支于点 B， 以 AB 为边作等边三角形 ABC，点 C 在第四象限内 ，且随着点 A 的运动，点 C 的位置也在不断变化 ，但k3 6 点 C 始终在双曲线 y 上运动，则 k 的值是_x6点拨：双曲线 y的图象关于原点对称 ，点 A 与点 B 关于原点对x称，OAOB，连结 OC，如图所示，ABC 是等边三角形 ，OAOCOB， OC
6、AB， BAC60， tanOAC 3， OC 3OA，OA过点 A 作 AEy 轴，垂足为 E，过点 C 作 CFy 轴，垂足为 F，AEOE，CFOF，OCOA，AEOOFC，AOE90FOCSOFCOCOCF，OFCAEO，相似比 3，面积比3，点OASAEO6A 在第三象限，设点 A 坐标为(a，b)，点 A 在双曲线 y上，SAEOx1613 6 ab，SOFC FCOF，设点 C 坐标为(x，y)，点 C 在2222k双曲线 y 上，kxy，点 C 在第四象限，FCx，OFy，xFCOFx(y)xy3 6，故答案为： 3 6 动点问题 【例 1】 (2016苏州)如图，在平面直角坐
7、标系中 ，已知点 A，B 的坐标分别为(8，0)，(0，2 3)，C 是 AB 的中点，过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，动点 P 从点 D 出发，沿 DC 向点 C 匀速运动，过点 P 作 x轴的垂线，垂足为 E，连结 BP，EC.当 BP 所在直线与 EC所在直线第一(1， 3) 次垂直时，点 P的坐标为_ 解：点 A，B 的坐标分别为 (8，0)，(0，2 3)， 1BO2 3， AO8， 由 CDBO， C 是 AB 的中点， 可得 BDDO BO21 3PE，CD AO4，设 DPa，则 CP4a，当 BP 所在直线与2EC 所在直线第一次垂直时 ，FCPDBP，又EPCP，P
8、DBD，DPDBa3EPCPDB90，EPCPDB，即，PEPC34a解得 a11，a23(舍去)，DP1，又PE 3，P(1， 3) 【点评】 本题主要考查了坐标与图形性质，解决该动点几何问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质 对应训练 1(2016舟山)如图，在直角坐标系中 ，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为(1，0)，ABO30，线段 PQ的端点 P从点 O 出发，沿OBA 的边按 OBAO 运动一周，同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动 ，如果 PQ 3，那么当点 P运动一周时，点 Q 运动4 的总路程为_点拨： 在 RtAO
9、B 中， ABO30， AO1， AB2， BO2212 3，当点 P从 OB 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的路程为3，当点 P 从 BC 时，如图 3 所示，这时 QCAB，则ACQ90，ABO30，BAO60，OQD906030，CQCQcos30，AQ2，OQ211，则点 Q 运动的路AQcos30程为 QO1， 当点 P从 CA 时， 如图 3 所示， 点 Q 运动的路程为 QQ2 3，当点 P从 AO 时，点 Q 运动的路程为 AO1，点 Q 运动的总路程为312 314，故答案为 4 线动问题 【例2】 (2016广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC2，边BC
10、在其所在的直线上平移 ，将通过平移得到的线段记为 PQ，连结PA，QD，并过点Q作QOBD，垂足为O，连结OA，OP. (1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ (2)请判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)在平移变换过程中，设ySOPB，BPx(0x2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值 解：(1)四边形 APQD 为平行四边形 (2)OAOP，OAOP.理由如下：四边形 ABCD 是正方形，ABBCPQ，ABOOBQ45，OQBD，PQO45，ABOOBQPQO45，?ABPQ，?OBOQ，在AOB 和POQ 中，?ABOPQO，A
11、OB?BOQO，POQ(SAS )，OAOP，AOBPOQ，AOPBOQ90，OAOP (3)如图，过点 O 作 OEBC 于点 E.如图 1，当 P 点在 B 点右侧时，则x21x2112BQx2， OE， y x， 即 y (x1) ， 又0x2，22244当 x2 时，y 有最大值为 2；如图 2，当 P点在 B 点左侧时，则 BQ2x12x1122x， OE，y x，即 y (x1) ， 又0x2，222441当 x1 时，y 有最大值为 .综上所述，当 x2 时，y 有最大值为 2 4【点评】 本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识，利用等腰直角三角
12、形的性质求出OE的长是解题关键 对应训练 2(2016大连)如图1，ABC中，C90，线段DE在射线BC上，且DEAC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DFDB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G.设BDx，四边形DEGF与ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示(其中0x1，1xm，mx3时，函数的解析式不同) 3 ； (1)填空：BC的长是_(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围 解；(1)由图象可知 BC3.故答案为 3 (2)如图 1 中，当 0x1 时，作 DMAB 于 M， 由题意
13、BC3， AC2， C90， ABAC2BC2DM 13，BB，DMBC90，BMDBCA，ACBMDB2x3x，DM，BM，BDDF，DMBF，BMBCAB131362EGBEEGx22MF，SBDFx ，EGAC，EG (x13ACBC233122)， S四边形ECAG 2 (x2)(1x)， SSABCSBDFS四边形ECAG23621252443x 2 (x2)(1x)x x . 13233933如图 2 中，作 ANDF 交 BC 于点 N，则 BNANm，在 RtANC1313222222中， AN CN AC ， m 2 (3m) ， m， 当 1x时，6662SSABCSBDF
14、3x ， 133xCM13CDCM如图 3 中，当x3 时，DMAN，6CNCA1323612162 CM (3 x) ， SCDCM (3 x) . 综 上 所 述S525?5x24x4（0x1），?3933?6213 ?313x （1x6），?6（3x）2（13x3）.6?5形动问题 【例 3】 (2016益阳)如图，在ABC 中，ACB90，B30，AC1， D 为 AB 的中点， EF 为ACD 的中位线， 四边形 EFGH为ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在 ACD 的边上) (1)计算矩形 EFGH的面积； (2)将矩形 EFGH沿 AB 向右平移，F 落在 BC 上时停止移动在
15、平移过程3中，当矩形与CBD 重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离； 16(3)如图，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形 E1F1G1H1绕 G1点按顺时针方向旋转 ，当 H1落在 CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形 E2F2G1H2，设旋转角为 ，求 cos的值 解：(1)如图，在ABC 中，ACB90，B30，AC1，1AB2，又D 是 AB 的中点，AD1，CD AB1，又EF 是21ACD 的中位线，EFDF ，在ACD 中，ADCD，A60，23ADC60，在FGD 中，GFDFsin60，矩形 EFGH 的4133面积 SEFGF ； (2)如
16、图，设矩形移动的距离为 x，则2481110x ，当矩形与CBD 重叠部分为三角形时 ，则 0 (舍去)，当矩形与CBD 重叠部分为直角梯形时 ，则164441311333x ，重叠部分的面积 Sx ，x ，即矩形移动2424416833的距离为 时，矩形与CBD 重叠部分的面积是； 8161(3)作 H2QAB 于 Q，图略，设 DQm，则 H2Q 3m，又 DG1 ，41 13112122H2G1 .在 RtH2QG1中，( 3m) (m ) ( ) ，解之得 m242161 1311643 13QG1(负的舍去)cos. H2G1182【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质
17、和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键 对应训练 3(2016扬州)已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45角绕点A旋转，角的两边分别与边BC，DC的延长线交于点E，F，连结EF.设CEa，CFb. (1)如图1，当EAF被对角线AC平分时，求a，b的值； (2)当AEF是直角三角形时，求a，b的值； (3)如图3，探索EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由 解： (1)四边形 ABCD 是正方形， BCD90， AC 是正方形 ABCD的对角线 ，ACBACD45，ACFACE，EAF 被对 角 线 AC 平 分 ， CAF CAE
18、， 在 ACF 和 ACE 中 ，ACFACE，?ACFACE(ASA )，CFCE，CEa，CF?ACAC，?CAFCAE，b，ab，ACFACE，AEFAFE，EAF45，AEFAFE67.5，CECF，ECF90，AECAFC22.5，CAFCAE22.5，CAECEA，CEAC4 2，即 ab4 2 (2)当AEF 是直角三角形时 ，当AEF90时，EAF45，AFE45，AEF 是等腰直角三角形 ，AEEF，AEBBEF90，AEBBAE90，BEFBAE.在ABE 和ECF 中，?BAECEF，?BECF90，ABEECF(AAS )，ABEC，BECF，?AEEF，即 aAB4，
19、bBEBCCE8，当AFE90时，同的方法得 ，CF4，CE8，a8，b4 (3)ab32.理由：如图，AC 是正方形 ABCD 的对角线，EAF45，ACD45，ACF135，ACE135，又ACDCAFAFC， EAFEACFAC， AFCEAC， ACFACEACCF135，ACFECA，ECCFAC22AB232，ECACab32. 39.没有对点所在象限进行分类讨论而漏解 试题 关于x的二次函数yx2(k24)x2k2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方 (1)求此抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的草图； (2)设A是y轴右侧抛物线上一个动点，过点A作AB垂直于x轴
20、于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过点D再作DC垂直x轴于点C，得到矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l与x的函数关系式； (3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形若能，求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由 k24错解 (1)由题意得 ，抛物线的对称轴0，k240，k2（1）2.又抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，2k20，即 k1，k22，yx 2，图象如图所示： (2)由(1)得，A(x，x22)，根据矩形 ABCD 的对称性，得 D(x，x22)，矩形 ABCD 的周长 l2(ADAB)22x(x22)2x24x4
21、. (3)若矩形 ABCD 为正方形，则 ABAD，即 2xx22，解得 x1 3或 x1 3(不合题意，舍去)，正方形 ABCD 的周长 l4AD8x8 38. 剖析 第(1)问比较容易，解答过程是正确的；在第(2)问中，求矩形ABCD周长l关于x的函数关系式，点A是抛物线y轴右侧上一动点，即A点可能在第一象限，也可能在第四象限，而上述解法中仅考虑点A在第一象限的情形，没有分两种情况讨论；同样，第(3)问中也应分A点在第一象限和第四象限两种情况研究 正解 (1)yx22.(过程同错解) 2(2)令x 20，得 x 2.当 0x 2时，点 A 在第一象限，如图，22A1D12x，A1B1x 2
22、，l2(A1B1A1D1)2x 4x4；当 x2 2时，A 点在第四象限 ，如图，A2D22x，A2B2x 2，l2(A2D22 A2B2) 2x 4x 4. 综 上 ， l关 于x的 函 数 关 系 式 是2?l2x 4x4（0x 2），? 2?l2x 4x4（x 2）.(3)当 0x 2时，令 A1D1A1B1，得 2xx22，解得 x1 3或 x1 3(不合题意， 舍去)， 把 x1 3代入 l2x24x4，2得 l8 38；当 x 2时，令 A2B2A2D2，得 2xx 2，解得 x1 3或 x1 3(不合题意，舍去)，把 x1 3代入 l2x24x4，得 l8 38.综上，矩形 ABCD 能成为正方形 ，即当 x 31 时，正方形的周长为 8 38；当 x 31 时，正方形的周长为 8 38
