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1、一、本原多项式一、本原多项式 二、整系数多项式的因式分解二、整系数多项式的因式分解 1苍松课资问题的引入问题的引入 因式分解定理因式分解定理数域数域P P上次数上次数 的多项式都可唯一地的多项式都可唯一地分解成一些不可约多项式的乘积分解成一些不可约多项式的乘积数数 域域不可约多项式不可约多项式复复 数数 域域 C实实 数数 域域 R有理数域有理数域Q存在任意次不可约多项式存在任意次不可约多项式仅有一次多项式仅有一次多项式一次多项式和某些二次不可约多项式一次多项式和某些二次不可约多项式2苍松课资有理系数多项式的因式分解有理系数多项式的因式分解怎么分？怎么分？分成什么样？分成什么样？有理数有理数域
2、上多域上多项式不项式不可约性可约性的判定的判定整系数整系数多项式多项式的分解的分解问题问题化为化为3苍松课资一、本原多项式一、本原多项式 设设 定义定义若若 没有没有则称则称 为为本原多项式本原多项式异于异于 的公因子，即的公因子，即是互素的，是互素的，4苍松课资有关性质有关性质1 使使其中其中 为本原多项式为本原多项式（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的） 2Gauss引理引理定理定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式两个本原多项式的积仍是本原多项式5苍松课资设设 是两个本原多项式是两个本原多项式若若 不是本原的，则存在素数不是本原的，则
3、存在素数 证：证：又又 是本原多项式，所以是本原多项式，所以 不能整除不能整除 的的每一个系数每一个系数反证法反证法6苍松课资令令 为为 中第一个不能被中第一个不能被 整除的数，即整除的数，即 同理，同理， 本原，令本原，令 为为 中第一个不能被中第一个不能被 整除的数，即整除的数，即 又又矛盾矛盾在这里在这里 故是本原的故是本原的7苍松课资定理定理11若一非零的整系数多项式可分解成两若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积成两个次数较低的整系数多项式的乘积二、整系数多项式的因式分解二
4、、整系数多项式的因式分解 8苍松课资设整系数多项式设整系数多项式 有分解式有分解式其中其中 且且 证：证：令令 这里，这里， 皆为本原多项式，皆为本原多项式， 于是于是 由定理由定理10， 本原，本原，即即从而有从而有 得证得证 9苍松课资设设 是整系数多项式，且是整系数多项式，且 是本原是本原推论推论的，若的，若 则则必为整系数多项式必为整系数多项式 10苍松课资令令 本原，本原，即即 为整系数多项式为整系数多项式 证：证：于是有，于是有，11苍松课资定理定理12 设设是一个整系数多项式，而是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，是它的一个有理根， 其中其中 是互素的，则必有是互素的，则必
5、有 12苍松课资是是 的有理根，的有理根，从而从而 又又 互素，互素，比较两端系数，得比较两端系数，得 证：证： 在有理数域上，在有理数域上，由上推论，有由上推论，有本原本原所以，所以， 13苍松课资定理定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，是判断整系数多项式有理根的一个必要条件， 而非充分条件而非充分条件例例1求方程求方程 的有理根的有理根.可能有理根为可能有理根为用综合除法可知，只有用综合除法可知，只有1为根为根 注意注意解：解：14苍松课资例例2 证明证明: 在在 上不可约上不可约 若若 可约，可约， 但但 的有理根只可能是的有理根只可能是所以所以 不可约不可约证：证：则则 至
6、少有一个一次因式，至少有一个一次因式，也即有一个有理根也即有一个有理根而而 矛盾矛盾 15苍松课资定理定理13 艾森斯坦因艾森斯坦因Eisenstein判别法判别法设设 是一个整系数多项式，若有一个素数是一个整系数多项式，若有一个素数 使得使得则则 在有理数域上是不可约的在有理数域上是不可约的16苍松课资若若 在在 上可约，由定理上可约，由定理11，可分解为两次数较低的整系数多项式积可分解为两次数较低的整系数多项式积 证：证：又又不妨设不妨设 但但 或或不能同时整除不能同时整除 17苍松课资另一方面，另一方面，假设假设 中第一个不能被中第一个不能被 整除的数为整除的数为 比较两端比较两端 的系
7、数，得的系数，得 上式中上式中 皆能被整除，皆能被整除， 矛盾矛盾故不可约故不可约18苍松课资 Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件非必要条件注意注意也就是说，如果一个整系数多项式也就是说，如果一个整系数多项式不满足不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，判别法条件，则它可能是可约的，也可能是不可约的也可能是不可约的 有些整系数多项式有些整系数多项式 不能直接用不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的代换使满足代换使满足Eisenstein判
8、别法条件，从而来判定原多项式判别法条件，从而来判定原多项式不可约不可约19苍松课资例例3证明：证明： 在在 上不可约上不可约 证：（令证：（令 即可）即可） ( (可见存在任意次数的不可约有理系数多项式可见存在任意次数的不可约有理系数多项式) )例例4证明：证明： 在在 上不可约上不可约 取取 证：证： 作变换作变换则则在上不可约，在上不可约，所以所以 在上不可约在上不可约由由Eisenstein判别法知，判别法知，20苍松课资例例5判断判断令令 则则 为整系数多项式为整系数多项式 但但 （为素数）在（为素数）在 上是否可约上是否可约解：解：在在 上不可约，上不可约， 从而从而 在在 上不可约上不可约21苍松课资对于许多对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后上的多项式来说，作适当线性代换后再用再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的判别法判定它是否可约是一个较好的多项式无论作怎样的代换都不能多项式无论作怎样的代换都不能 使使 满足爱森斯坦因判别法的条件，满足爱森斯坦因判别法的条件， 即找不到相应的素数即找不到相应的素数 说明说明：办法，但未必总是凑效的也就是说，存在办法，但未必总是凑效的也就是说，存在 上的上的如，如， 22苍松课资
