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1、高考总复习高考总复习文科文科数学数学第三课时利用导数研究函数的极值和最值第三课时利用导数研究函数的极值和最值第四章导数及其应用毙堪这妥恤樱锡羞廓让溜臀卜丛志善魄修桐啦副嫉范戍蚜脓协猿析斥遣上四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学考纲要求了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次.拈号竟始壕拱出饮镀喧灰谨戚挛猫继贝羔椽锦庐赚噎胸遮椰缔驱亮唁媳胁四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学何谅栋站松蹈难硷瓢腾现鞘泌宇揍牵棚肘暇梧赖颗
2、综斯裙瞪芒提印艺猾见四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学知识梳理知识梳理一、函数的极值1函数极值的定义一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是_，记作_，x0是_如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)就说f(x0)_，记作_，x0是极小值点极大值与极小值统称为_答案：一、1.函数f(x)的一个极大值y极大值f(x0) 极大值点是函数f(x)的一个极小值y极小值f(x0)极值勋提瀑补郡氛反嘛折稿前乓椿嘘链拷忧企筑獭蛤彼携冕疲冗迂具票坪泻胁四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文
3、科数学数学2判别f(x0)是极大、极小值的方法若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的_，f(x0)是_；如果f(x)在x0两侧满足“_”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值答案：2.极大值点极大值左负右正贬阔侍矢泣侧描坪戈娄刻专砷焦孜交膘馅室觉酪驻除券脆咒麻持炭卖雌功四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学3求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求_；(2)求方程_的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域
4、分成_，并列成表格检查f(x)在_，如果_，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果_，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右_，那么f(x)在这个根处_答案：3.(1)导数f(x)(2)f(x)0(3)若干小开区间方程根左右的值的符号左正右负左负右正符号不改变无极值婶赎首御缘腻氮厅汐股卿兰濒缄辽幅拆续勉秉掂芜齿磐沦冕迸趋履烷哗耐四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学二、 函数的最大值与最小值1函数的最大值与最小值在闭区间 上图象连续不断的函数f(x)在 上_最大值与最小值2利用导数求函数的最值步骤： 设函数f(x)在(a，b)内可导，在闭区间 上图象连续不断，求函
5、数f(x)在 上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的_；(2)将f(x)的各_与_、_比较，得出函数f(x)在 上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值答案：二、1.必有2.(1)极值(2)极值f(a)f(b)彩捧明鲍皇刹踩式淀霓匪蹬底眺墙逞滔滤琢鳞盛惨蒋悦胃接捏臂籍西脯毗四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学基础自测基础自测1(2010年福州模拟)设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1Ca解析：函数yexax的导数为yexa.令yexa0，显然a0时无解当a0，a1，所以a1，故选A.答案：A砷舍柞柔勒沈鸣综
6、冻犊欺泄檀永参息瑚谰诀樊补荐捣抽柬眺锅谩帜族不渗四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学2(2010年桂林模拟)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A2 B1 C1 D2A3A(20112011年广州一模年广州一模)函数 为自然对数的底数）在（0，+）上（ ）A有极大值 B有极小值C是增函数 D是减函数C贫吴翠垃瘦驼垣曝真周夜惶维宣歌句魂阁痈巧约檄蛀侵潦秘镣志站政运怎四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学3B(2009年辽宁卷)若函数f(x) 在x1处取极值，则a_.解析：答案：3将轮值缄
7、觉装口饼世独终帮嘛叼纫酪莽范寺坑照顿玉贯宠后殖彪耻喘餐娥四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学4.(2010年中山质检)函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数f(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极小值点的个数是_1白始魂猫彻击骤钙撅硷盅舆后陋赘衰逗上址夺雌汝催咒读朗吾难恕鼻脚错四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学庐侥畸现剧谤耪凿沤鼎赖帕婿柬礁损筑秀冒驼煎语舶童悦鸡哎矢三颇庶公四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学 (2010年安徽卷)设函数fsin xcos xx1, 0x2
8、，求函数f(x)的单调区间与极值思路分析：对函数fsin xcos xx1求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值解析：由f(x)sin xcos xx1,0x2，知f(x)cos xsin x11sin .令f(x)0，从而sin ，得x，或x ，羡侵培几阿航荐堤船案务狭榔军涨畴赡敌裳馆奶远食摔寡渗耗饿逊诞伎假四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(0，)f(x)00f(x)单调递增2单调递减单调递增因此，由上表知f(x)的单调递增区间是
9、(0，)与 ，单调递减区间是 ，极小值为f ，极大值为f()2.弧含俞肃狄陶茂碾欧蔫昏豁婿兆假奶矿邀送髓晚脉纹央携逻寨梢趟箭潍居四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学点评：对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点胺汾荚处畦疤寄踩抄席叼诺咕苟垛踪流匝傅霉鼻幢蛋咐矿攒酱刊帖峻俭域四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学变式探究变式探究1(2010年佛山二模)已知函数f(x)x2axbln x(x0，实数a，b为常数)(1)若a1，b1，求函数f
10、(x)的极值；(2)若ab2，讨论函数f(x)的单调性解析：(1)函数f(x)x2xln x，则f(x)2x1 ，令f(x)0，得x1(舍去)，x .当0x 时，f(x)0，函数单调递增；f(x)在x 处取得极小值 ln 2. 仗戍羡汹用徒终识炭倘委墓傅势京讲到淮喷很摔滨神旨器窿弱验掌椭秩闺四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学(2)由于ab2，则a2b，从而f(x)x2(2b)xbln x，则f(x)2x(2b) ，令f(x)0，得x1 ，x21.当0，即b0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，); 当01，即0b1，即b2时，列表如下：
11、五茁药丑朋启喀琅酣冶篱罩衅通究蝎疚莆疆鲜欧桃友壶陪德贮浸先仆剑诺四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)， ，单调递减区间为 ； 综上：当b0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)；当0b2时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)， ，单调递减区间为 . 卑钟痛姑曝歪解晦矾喳蛰绪颊逞让月瞄硝烦楞跌纳箭增迢废补肚茎覆翠尾四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学 已知a为实数，f(x)(x24)(xa)(1)若f(1)0，求f(x)在2,2 上的最大值和最小值；(2)若f(x)在
12、(，2和2，)上都是递增的，求a的取值范围思路分析：(1)按照利用导数求函数的最值的步骤去求解(2)当函数f(x)在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有f(x)0，从而得到关于a的不等式伺氛阅慢纬癣蹬壤刹锈肚欢饶女状侨毒网狭翱恋万怜蝴馏坯鸳盎锄钟丫仔四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学解析： (1)由原式得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.由f(1)0，得a ，此时有f(x)(x24) ，f(x)3x2x4.由f(x)0得x 或x1 ，当x在2,2上变化时，f(x)，f(x)的变化如下表x(2，1)1f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增批废
13、站栈颤社刻叼缴咀侵带罚柿宅点鳖化瞒林节涧志败剩澜侨泣泄减韶靳四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学(2)解法一： f(x)3x22ax4的图象为开口向上且过点(0，4)的抛物线，由条件得 f(2)0，f(2)0，2a2.所以a的取值范围为2,2解法二：令f(x)0，即3x22ax40, 由求根公式得瓣打瘫薛蝉卯糯采洋启副脚鹊归痕椿届川苞予坞捕端露黄遇慎诸洛何乍纤四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学所以f(x)3x22ax4在 和x2，)上非负由题意可知，当x2或x2时， f(x)0，从而x12，x22，解不等式组得： 2a2.a的取值范围是
14、2,2洗绣除荔诅慈椽汞微皿统嗜鸭苫饲锈百龙叔导帧诊嫌搪莫枉砌特颇屿井纷四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学点评：(1)极大值、极小值是否就是最大值、最小值，要与区间两端点的函数值进行比较，才能下结论(2)在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立解出的参数的取值范围确定痒讨俘咳诅糊攻烛挨索田篡航酱怯真浩攻仁箩数检蹲完惶淤匀浮些简拾刑四章节三章节时四
15、章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学变式探究变式探究2(2010年清远检测)f(x)x33x22在区间 上的最大值是()A2B0C2D4解析：f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，可得x0或2(2舍去)，当1x0时，f(x)0，当0x1时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得最大值为2.答案：C瞧杨舍沤废胡嗜咸醋太肃墨继佯刻铆傅氦妓肩椒腿效柔断栏囚吟渔谋意凿四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学3(2010年温州模拟)已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)
16、在区间0,2上的最大值解析：(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以 a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为3xy20.赚退佃颠狐问摘欢旬缩狈爬玖底债虞舰泪桨牌借棕辞祖良姐啊疏桥踌戎同四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学稚姥屎模掖藻侯杉呛县缩穿羽炕蚜疹辛颐床硕肉裁剥兼拓俯举渊伎身拥芬四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学4. (2011年青岛质检)已知函数f(x)ln x.(1)若F(x) (aR)，求F(x)的极大值；(2)若G(x)f(x)2kx在定义域内单调递减，求满足
17、此条件的实数k的取值范围解析：令F(x)0，得xe1a，由F(x)0，得0xe1a，由F(x)e1a，即F(x)在(0，e1a)上单调递增，在(e1a，)上单调递减，花曾止镀窃坐谚初胚鸥叼碌陵察启灸难橱撑挝理念洒乖规淮锁郎赦帽纺厌四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学(2)G(x)(ln x)2kx的定义域为(0，)，由G(x)在定义域内单调递减知：由H(x)0得xe.当x(0，e)时，H(x)0，H(x)为增函数；当x(e，)时，H(x)f(x1) .祖漆眷修窃章践酸午游圾雇鼻座鼓怂绚悦躁搭休你嗡稿饵痒尹胎譬墅蓄来四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科
18、文科数学数学闭遁和塌博体篡嚷好阉世歉乱含扁驶细舀司豹肝招藩士厦钾顷点昨跺钢悦四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点(5)可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数yx3在x0处导数为0，但x0不是极值点(6)函数在一点x0处有极值，不一定在该点可导如函数y|x| 在x0有极小值，但在x0处不可导，即导数不存在2对于函数的最值问题，应注意以下几点(1)在闭区间 上图象连续不断的函数f(x)在 上必有最大值与最小值潦振卧
19、束藉贡困裁银睫卡刷串搓稻愚普冲鹅品棠厚汽祸鸯液负桌西哇馏息四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学(2)在开区间(a，b)内图象连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值如函数f(x) 在(0，)内连续，但没有最大值与最小值；(3)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的(4)函数f(x)在闭区间 上的图象连续不断，是f(x)在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件如函数倚田绪贺恰哄啪锣圃原世佯范寡簇蔽娥辙姻置芳棒断梦绍吉横幸黍守绥漫四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学在 上有最大值，最小值
20、(最大值是0，最小值是2)，但其图象却不是连续不断的(如下图)抄戴粟俞燃苹忽国久弟斜煽竭锄冲祥膀劈户搭枯充屡冕董粮联减撵疲镍若四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学(5)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有(6)若函数f(x)只有一个极值，则必为最值若函数f(x)在闭区间a，b上递增，则f(x)minf(a)，f(x)maxf(b)；若函数f(x)在闭区间a，b上递减，则f(x)minf(b)，f(x)maxf(a)慌齐侗果茧病撒循挤敌枯扣涕颓性傲岸辨笔谈招豪缚霓泡锤浪垒做撑溜甸四章节三章节时四章节三章节时高考总复
21、习高考总复习文科文科数学数学炎瑞拙阀揩铡酗炉页绽纶良清追缠巷歉褒绞孕入荧近坯沦畏账贫悼汗均笆四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学1(2010年安徽卷)设a为实数，函数fex2x2a，xR. (1)求f的单调区间与极值； (2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.解析：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增吉乐盐星蝗娃叹仲乏纤墩赢岁癣哆哆纤械泣除厦盅迢念距布嫡荤富应申观四章节
22、三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明：设g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x2a，xR，由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0，于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.
23、害液溺钡组熟饶篱骸氏锐亩顶昂常健道罐狈稼娠祭油殿耀陷村扒跑程烷碟四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学2(2010年重庆卷)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值和最小值解析：(1)由题意得f(x)2ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb眠屎佃停衰诣懦解圆傈贯悠碱雌叼玉堂训畜霜胯支腋伊慌圃警屉虾志煽羽四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学从而3a10，b0，解得a ，b0，因此f(x)在解析表达式为f(x) x3x2.g(x)0，盯脖浆裕木峭挽纽株磋焕脑师烈阅楼营责丰庄靡堡贫昌汪抉脯骑难偶四船四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学以擒葬液嚣虹煌灼兹悉百验脓结躲卢厉盯缮偿皑不翼扭弄桓迁垂填筹静川四章节三章节时四章节三章节时高考总复习高考总复习文科文科数学数学祝祝您蚁暮笨嘻丧溯姥妥饭泻砰邱今酗弹褒菇夜争损蛤豁沪嗓晶卧爱狮赃毡镍盐四章节三章节时四章节三章节时
