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1、一、定积分一、定积分(jfn)(jfn)问问题举例题举例1. 曲边梯形(txng)的面积设曲边梯形是由连续(linx)曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .矩形面积梯形面积第1页/共25页第一页，共26页。解决解决(jiju)步骤步骤:1) 大化(d hu)小.用直线(zhxin)将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变.作以为底 ,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得在区间 a , b 中 插入 n 1 个分点任意在第i 个窄曲边梯形上任取第2页/共25页第二页，共26页。3)近似近似(jns)和和.4) 取极限(jxin).令则曲边梯形(txng)面积第3页/
2、共25页第三页，共26页。2.变速变速(bins)直线运直线运动的路程动的路程设某物体(wt)作直线运动,且求在运动时间(shjin)内物体所经过的路程 s.解决步骤:1) 大化小.将它分成在每个小段上物体经2) 常代变.得已知速度n 个小段过的路程为第4页/共25页第四页，共26页。3)近似近似(jns)和和.4) 取极限(jxin) .上述两个(lin )问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限第5页/共25页第五页，共26页。二、定积分二、定积分(jfn)定义定义任取一点(y din)总趋于确定(
3、qudng)的极限 I , 则称此极限 I 为函数在区间即记作任意一种分法上的 ,定积分此时称 f ( x ) 在 a , b 上 .可积(P194 )第6页/共25页第六页，共26页。积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数(hnsh)及积分区间有关 ,而与积分(jfn)变量用什么字母表示(biosh)无关 ,即第7页/共25页第七页，共26页。定积分的几何定积分的几何(jh)意义意义:曲边梯形(txng)面积曲边梯形面积(min j)的负值各部分面积的代数和第8页/共25页第八页，共26页。可积的充分条件可积的充分条件(chnfntiojin):取定理(dngl)
4、1 定理(dngl)2 且只有有限个间断点 (证明略)例1解 将 0,1 n 等分, 分点为利用定义计算定积分第9页/共25页第九页，共26页。注 当n 较大时, 此值可作 为的近似值注：第10页/共25页第十页，共26页。例例2解 用定积分(jfn)表示下列极限:第12页/共25页第十二页，共26页。三、定积分三、定积分(jfn)的性质的性质(设所列定积分(jfn)都存在)( k 为常数(chngsh)证 = 右端规定定积分的线性性质第13页/共25页第十三页，共26页。证时,因在上可积 ,所以在分割区间(q jin)时, 可以永远取 c 为分点 ,于是(ysh)当积分(jfn)对积分(jf
5、n)区间具有可加性第14页/共25页第十四页，共26页。当当a,b,c的相对的相对(xingdu)位位置任意时置任意时,例如例如则有综上可得, 对任意(rny)位置的 c ，都有第15页/共25页第十五页，共26页。5.则证 推论(tuln)1则若在 a , b 上若在 a , b 上证 推论2 即第16页/共25页第十六页，共26页。例例3证则在上, 有即故即试证: 设6. 则设第17页/共25页第十七页，共26页。7.积分积分(jfn)中值定理中值定理则至少(zhsho)存在一点使证 则由性质(xngzh)6 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.第18页/共25页第十八页，共
6、26页。说明说明(shumng): 可把故它是有限个数的平均值概念(ginin)的推广. 积分(jfn)中值定理对因第19页/共25页第十九页，共26页。例例4计算(j sun)从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度(sd). 解故所求平均速度(pn jn s d)已知自由落体速度为第20页/共25页第二十页，共26页。内容内容(nirng)小结小结1. 定积分(jfn)的定义 乘积(chngj)和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式线性性质不等式性质积分对区间的可加性测度性质第21页/共25页第二十一页，共26页。思考思考(sko)与与练习练习1
7、. 用定积分(jfn)表示下述极限 :解 或第22页/共25页第二十二页，共26页。思考思考(sko):如何用定积分(jfn)表示下述极限 提示(tsh):极限为 0 !第23页/共25页第二十三页，共26页。2.P202题题3，4，53. 证 设则即证明(zhngmng)第24页/共25页第二十四页，共26页。感谢您的欣赏(xnshng)！第25页/共25页第二十五页，共26页。内容(nirng)总结一、定积分问题举例。求其面积 A .。将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形。在区间 a , b 中 插入 n 1 个分点。总趋于确定的极限 I ,。则称此极限 I 为函数。定积分仅与被积函数及积分区间有关(yugun) ,。将 0,1 n 等分, 分点为。当n 较大时, 此值可作 为的近似值。( k 为常数)。所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,。积分对积分区间具有可加性。若在 a , b 上第二十六页，共26页。
