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1、Chapter 2(9)多元函数的极值及应用多元函数的极值及应用教学要求：教学要求：1. 理解多元函数极值和条件极值的概念理解多元函数极值和条件极值的概念; 3. 会求二元函数的极值会求二元函数的极值, 会用拉格朗日乘数法求条件极值会用拉格朗日乘数法求条件极值; 2. 掌握多元函数极值存在的必要条件掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元函数极值存在的充分条件了解二元函数极值存在的充分条件; 4. 会求简单多元函数的最大值和最小值会求简单多元函数的最大值和最小值, 并会解决一些简单的应用问题并会解决一些简单的应用问题.1.二元函数极值的定义二元函数极值的定义极大值与极小值统称为极值极大值与极
2、小值统称为极值. 若引进点函数若引进点函数, 则则 (1)(2)(3)2.极值存在的必要条件和充分条件极值存在的必要条件和充分条件 定理定理1（极值存在的必要条件）（极值存在的必要条件）Proof.注意注意: (4)驻点驻点极值点（可偏导函数）极值点（可偏导函数）定理定理2（极值存在的充分条件）（极值存在的充分条件）Solution.(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 将函数将函数 f (x,y) 在在D内的所有驻点处的函数值与在内的所有驻点处的函数值与在D的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最大
3、值，最小的就是最小值大值，最小的就是最小值.(2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断实际问题则根据问题的实际意义来判断, 若问题若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点所求的最值点. Solution.ex3. 把一个正数把一个正数a表为三个正数之和，使其乘积最大，表为三个正数之和，使其乘积最大，求这三个数求这三个数.Solution.1. 条件极值条件极值自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制，自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制，这种情况下的极值称为这种情况下的极值称为条件极值条件极值.相应地，前面讨论的极值称为
4、相应地，前面讨论的极值称为无条件极值无条件极值.条件极值与无条件极值的区别和联系，例如条件极值与无条件极值的区别和联系，例如Solution.(1) 显然函数在（显然函数在（0，0）点处取得极小值）点处取得极小值.可见，两种极值不同，但条件极值可转化为无条件可见，两种极值不同，但条件极值可转化为无条件极值来求，极值来求，称为称为“降元法降元法”；并非所有条件极值都能用并非所有条件极值都能用“降元法降元法”解，解，为此必须介绍新的方法为此必须介绍新的方法.2. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 说明说明F(x, y, )的可能极值点为上述方程组确定的的可能极值点为上述方程组确定的(x, y).注意注意: (1) 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法: 解出解出(x,y)即为可能极值点即为可能极值点.判断是否为极值点通判断是否为极值点通常由实际问题来定常由实际问题来定.解出解出(x,y,z)即为可能极值点即为可能极值点.Solution.作业：作业： P123 ex1(1), ex3(1)
