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1、【课标要求】 1理解等比数列的性质并能应用 2了解等比数列同指数函数间的关系 3会用等比数列的性质解题【核心扫描】 1等比数列的性质及应用(重点) 2等比数列与等差数列的综合应用(重点) 3与函数、方程、不等式等结合命题(难点)第第2课时课时 等比数列的性质及应用等比数列的性质及应用等比数列的项与序号的关系以及性质设等比数列an的公比为q.(1)两项关系：an_(m，nN*)(2)多项关系：若mnpq(m，n，p，qN*)，则aman_.(3)若m，n，p(m，n，pN*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两自学导
2、引自学导引12amqnmapaqan1ank1等比数列的“子数列”的性质若数列an是公比为q的等比数列，则(1)an去掉前几项后余下的项仍组成公比为_的等比数列；(2)奇数项数列a2n1是公比为_的等比数列；偶数项数列a2n是公比为_的等比数列；(3)在数列an中每隔k(kN*)取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk1.3qq2q2 ：如果等比数列an中，mn2k(m，n，kN*)，那么amanak2是否成立？反之呢？提示：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应的项成等比数列事实上，若mn2k(m，n，kN*)，则aman(a1qm1)(a1qn1)a12qmn
3、2a12(qk1)2ak2.在等比数列an中，若amanapaqak2，不一定有mnpq2k，如非零常数列等比数列的单调性(1)当q1，a10或0q1，a11，a10或0q0时，等比数列an是递减数列(3)当q1时，等比数列an是常数列(4)当q0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；(2)若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式思路探索 应用等比数列的性质：a2a4a32，a4a6a52，a1a3a22，化简已知，可求解解(1)法一an0，a10，q0.又a2a42a3a5a4a636，a1qa1q32a1q2a1q4a1q3a1q536，即a12q42a12q6
4、a12q836，【例例1】a12q4(12q2q4)36，即a12q4(1q2)236，a1q2(1q2)6，a3a5a1q2a1q4a1q2(1q2)6.法二a2a42a3a5a4a636，a322a3a5a5236，(a3a5)236，a3a56.(2)a22a1a3代入已知，得a238，a22. 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果 在递增等比数列an中，a1a964，a3a720，求a11的值解在等比数列an中，a1a9a3a7，由已知可得：
5、a3a764与a3a720联立得：an是递增等比数列，a7a3.取a34，a716，164q4，q44.a11a7q416464.【变式变式1】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数思路探索 根据等差数列和等比数列的性质，设出未知数，结合题中条件求解即可题型题型二二等差数列与等比数列的综合应用等差数列与等比数列的综合应用【例例2】所以，当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.当a8，q2时，所求四个数为
6、0,4,8,16；故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数【变式变式2】 某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.审题指导 本题主要考查构建数学模型解决实际
7、问题，通过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等差数列和等比数列题型题型三三等比数列的实际应用等比数列的实际应用【例例3】规范解答 (1)设中低价房面积构成数列an，由题意可知，an是等差数列，其中a1250，d50， (2分)令25n2225n4 750，即n29n1900，解得n19或n10，而n是正整数n10. (4分)故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米 (6分)(2)设新建住房面积构成数列bn，由题意可知，bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400(1.08)n1， (8分)由题意可知an0.85bn，即250(n1)5040
8、0(1.08)n10.85满足上述不等式的最小正整数n6. (10分)故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. (12分)【题后反思】 本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算不要在运算中出现问题 始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机受此拖累，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(
9、即每桶34美元)?解设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列an，记：a1147(7月份价格)，则8月份价格：a2a1(1x)147(1x)；9月份价格：a3a2(1x)147(1x)2.147(1x)297，解得x18.8%.设an34，则34147(118.8%)n1，解得n8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶【变式变式3】 A(n1)2 Bn2C(n1)2 Dn(2n1)错解 易得an2n，且log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2213(2n1)误区警示误区警示因没数清数列的项数致误因没数清数列的项数致误【示示例例】 对等差数列1,3，2n1的项数没数清正解正解 a5a2n522nan2，an0，an2n，log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2213(2n1)log22n2n2.故选故选B.答案答案B 解决此类问题时，可根据通性通法，但有时用等比数列的性质，能加快解题速度，提高解题效率，达到事半功倍的效果
