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1、一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、杂例 7.8 空间直线及其方程分析： 点M在直线L上点M同时在这两个平面上 点M的坐标同时满足这两个平面的方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看作是两个平面的交线 设直线L是平面1和2的交线 平面的方程分别为 A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20 这就是空间直线的一般方程 来表示 那么直线L可以用方程组二、空间直线的对称式方程与参数方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 v方向向量 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量 当直线L上一点M0(x
2、0 y0 x0)和它的一方向向量s(m n p)为已知时 直线L的位置就完全确定了 v确定直线的条件 v直线的对称式方程 求通过点M0(x0 y0 x0) 方向向量为s(m n p)的直线的方程 (xx0 yy0 zz0)/s 从而有这就是直线的方程 叫做直线的对称式方程 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数 向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦 则从M0到M的向量平行于方向向量: 设M(x y z)为直线上的任一点注通过点M0(x0 y0 x0) 方向向量为s(m n p)的直线方程:v直线的参数方程 此方程组就是直线的参数方程 提示： 先求直线上的一点 再求这直线的方
3、向向量s 提示：提示：提示：于是(1 2 0)是直线上的一点 在直线的一般方程中令x1 解 以平面xyz1和2xy3z4的法线向量的向量积作为直线的方向向量 s:4ij3ks(ijk)(2ij3k) 可得y2 z0 所给直线的对称式方程为 例1 所给直线的参数方程为 x14t y2t z3t 三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1(m1 n1 p1)和 s2(m2 n2 p2) 那么L1和L2的夹角j满足方向向量分别为(m1 n1 p1)和(m2 n2 p2)的直线的夹角余弦: 例2 解 两直线的方向向量分别为 设两直线的
4、夹角为j 则 (1 4 1)和(2 2 1) v两直线垂直与平行的条件 设有两直线 L1 L2m1m2n1n2p1p20; 则方向向量分别为(m1 n1 p1)和(m2 n2 p2)的直线的夹角余弦:提示：四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时 直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角 当直线与平面垂直时 规定直线与平面的夹角为90 设直线的方向向量为s(m n p) 平面的法线向量为n(A B C) 则直线与平面的夹角j 满足 方向向量为(m n p)的直线与法线向量为(A B C)的平面的夹角j 满足 v直线与平面垂直和平行的条件 设直线L的方向向量为s(m n p) 平
5、面 的法线向量为n(A B C) 则 L/ AmBnCp0 例3 求过点(1 2 4)且与平面2x3yz40垂直的直线的方程 平面的法线向量(2 3 1)可以作为所求直线的方向向量 由此可得所求直线的方程为 解 设直线L的方向向量为s(m n p) 平面 的法线向量为n(A B C) 则 L/ AmBnCp0 平面x4z3和2xy5z1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量 s 五、杂例 例4 求与两平面x4z3和2xy5z1的交线平行且过点(3 2 5)的直线的方程 解 因为所以 所求直线的方程为 x2t y3t z42t 代入平面方程中 得 2(2t)(3t)(42t)60 解上列方程 得
6、t1 将t1代入直线的参数方程 得所求交点的坐标为 x1 y2 z2 解 所给直线的参数方程为 例5 解 例6 的直线的方程 所求直线的方向向量为 s(1 2 2)(2 1 2)(1 1 0) 过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为 (x2)(y1)2(z2)0 即xy2z7 此平面与已知直线的交点为(1 2 2) 提示： 求出两直线的交点是关键 而交点就是过已知点且与已知直线相垂直的平面与已知直线的交点 解 例6 的直线的方程 所求直线的方向向量为 s(1 2 2)(2 1 2)(1 1 0) 过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为 (x2)(y1)2(z2)0 即xy2z7 此平面与已
7、知直线的交点为(1 2 2) 所求直线的方程为分析： 因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 所以对于任何一个l值 上述方程的系数不全为零 从而它表示一个平面 分析： 对于不同的l值 所对应的平面也不同 而且这些平面都通过直线L 即这个方程表示通过直线L的一族平面 分析： 另一方面 任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中 v平面束 考虑三元一次方程: A1xB1yC1zD1l(A2xB2 yC2zD2)0 即 (A1lA2)x(B1lB2)y(C1lC1)zD1lD20其中l为任意常数其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 设直线L的一般方程为 上述方程表示通
8、过定直线L的所有平面的全体 称为平面束 v平面束 考虑三元一次方程: A1xB1yC1zD1l(A2xB2 yC2zD2)0即 (A1lA2)x(B1lB2)y(C1lC1)zD1lD20其中l为任意常数其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 设直线L的一般方程为提示： 我们要在通过已知直线的平面束中找出与已知平面相垂直的平面 此平面与已知平面的交线就是所求的投影直线提示： 这是平面束的法线向量(1l 1l 1l)与已知平面的法线向量(1 1 1)的数量积 (xyz1)l(xyz1)0 即 (1l)x(1l)y(1l)z(1l)0 为了求得与已知平面xyz0垂直的平面 令 (1l)1(1l)1(1l)10 解 设通过已知直线的平面束的方程为 的方程 例7 即 yz10 2y2z20 于是得到与已知平面垂直的平面的方程为 解得l1 所以投影直线的方程为 (xyz1)l(xyz1)0 即 (1l)x(1l)y(1l)z(1l)0 为了求得与已知平面xyz0垂直的平面 令 (1l)1(1l)1(1l)10 解 设通过已知直线的平面束的方程为 的方程 例7
