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1、6.3 多服务台指数分布排队系统多服务台指数分布排队系统 （ M/M/C排队模型）排队模型） 基本的排队模型基本的排队模型 M/M/C/N/FCFSM/M/C/N/FCFS混合制排队系统混合制排队系统1一一. M/M/C/N/FCFS多服务台混合制排队模型多服务台混合制排队模型1、系系统统意意义义：顾顾客客按按泊泊松松流流输输入入，到到达达率率为为；服服务务时时间间服服从从负负指指数数分分布布，服服务务率率为为；有有C个个服服务务台台，先先到到先先服服务务，系系统统容容量量为为N(NC), 顾客源无限的混合制排队系统。顾客源无限的混合制排队系统。 顾顾客客到到达达系系统统时时，若若无无空空闲闲
2、服服务务台台，系系统统中中顾顾客客数数小小于于N，则则排排队队等等待待服服务务；若若系系统统中顾客数等于中顾客数等于N，则离开系统，另求服务。，则离开系统，另求服务。22、系统状态转移速度图和状态转移速度矩阵：、系统状态转移速度图和状态转移速度矩阵：22cccccccc33(c-1)(c-1) 2 1 0cN-1c-1N33、稳态下的状态概率方程：、稳态下的状态概率方程：由此，可得稳态概率应满足的关系：由此，可得稳态概率应满足的关系： 当当nc时时, 4令令 ，称为系统负荷强度，可得，称为系统负荷强度，可得Pn的的一般表达式：一般表达式： 5当当cnN时，时， 也也可可以以根根据据“系系统统处
3、处于于稳稳态态时时，每每个个状状态态的的转入率等于转出率转入率等于转出率”求得求得Pn的一般表达式的一般表达式。64、系统的基本数量指标：、系统的基本数量指标：(公式组（公式组（6-16）789例例6-4 某某汽汽车车加加油油站站有有2台台油油泵泵为为汽汽车车加加油油，站站内内可可容容纳纳4辆辆汽汽车车，当当站站内内停停满满车车时时，后后来来的的汽汽车车只只能能到到别别处处加加油油。若若需需加加油油的的汽汽车车按按泊泊松松流流到到达达，平平均均每每小小时时4辆辆。每每辆辆车车加加油油所所需需时时间间服服从从负负指指数数分分布布，平平均均每每辆辆需需12min，试试求求系系统统有有关关运行指标。
4、运行指标。（例（例6-1将服务台改为将服务台改为2个）个）10该系统是该系统是M/M/2/4混合制排队系统，混合制排队系统，其中其中=4(辆辆/h)，=5(辆辆/h)， ？c=2，=/c=0.4 ；1112根根据据（6-16）的的一一组组公公式式，可可以以计计算算出出系系统统的的其他运行指标：其他运行指标：13141、系统意义：、系统意义： 顾客按泊松流输入，到达率为顾客按泊松流输入，到达率为； 服务时间服从负指数分布，服务率为服务时间服从负指数分布，服务率为； 有有C个服务台；个服务台； 先先到到先先服服务务，系系统统无无容容量量限限制制，顾顾客客到到达达系系统时，若无空闲服务台，则排队等待
5、服务。统时，若无空闲服务台，则排队等待服务。二二. M/M/C/FCFS多服务台等待制排队模型多服务台等待制排队模型152、系统的状态转移速度图：、系统的状态转移速度图： c-1 2 1 0 c c+1 2 3 (c-1) c c c 3、 状态转移速度矩阵：状态转移速度矩阵：16174、 状态概率方程：状态概率方程： 该该系系统统是是M/M/C/N系系统统当当N时时的的极极端端情情况况，故故可可利利用用M/M/C/N系系统统的的数数量量指指标标计计算算公公式式取取极极限限N得得到到相相应应的各项数量指标的各项数量指标。 18 由由于于系系统统中中顾顾客客无无限限制制,考考虑虑到到服服务务与与
6、顾顾客客到到达达的的随随机机性性,在在讨讨论论系系统统达达到到稳稳态态时时的情况的情况,必须要求必须要求=/c小于小于1。 称称为为系系统统的的负负荷荷强强度度,它它表表征征了了顾顾客客的的服务需求强度与系统服务能力的比值。服务需求强度与系统服务能力的比值。注注 意意19注意：注意： 要求要求=/c小于小于1。 M/M/C等待制排队系统特征量计算公式等待制排队系统特征量计算公式 20例例6-4 将例将例6-2改为有两台加油泵的情况，改为有两台加油泵的情况，则该系统转化为则该系统转化为M/M/2等待制系统。计算等待制系统。计算有关数量指标有关数量指标 . 已知相关参数已知相关参数=4（辆（辆/h
7、）, =5（辆（辆/h），则），则=/2=0.4 ;21P1=2P0=0.34288P2=0.13715P3=0.05486P4=0.02194 22e =4;23222222课堂练习课堂练习6-2 试画出试画出M/M/2/ / /FCFS等待制系统等待制系统的状态转的状态转移速度图移速度图 nn-1 2 1 024 三、三、M/M/C损失制排队系统损失制排队系统 M/M/C损损失失制制排排队队系系统统可可以以看看作作M/M/C/N/混合制排队系统中混合制排队系统中N=C时的特例时的特例。1、系统意义：、系统意义： 顾顾客客按按泊泊松松流流输输入入，到到达达率率为为；服服务务时时间间服服从从负
8、负指指数数分分布布，服服务务率率为为；有有C个个服服务务台台，先到先服务，顾客源无限。先到先服务，顾客源无限。 顾顾客客到到达达系系统统时时，若若无无空空闲闲服服务务台台，顾顾客客则则离开系统，另求服务。离开系统，另求服务。252、系统状态转移速度图和状态转移速度矩阵：、系统状态转移速度图和状态转移速度矩阵： c-1 2 1 0 c 2 3 (c-1) c 26c+1阶矩阵阶矩阵273、稳态下的状态概率方程：、稳态下的状态概率方程： 稳态概率应满足的关系：稳态概率应满足的关系： n=1，2, , c；284、系统的基本数量指标：、系统的基本数量指标：29例例6-5 某某电电话话总总机机系系统统
9、有有5条条中中继继线线，电电话话呼呼叫叫服服从从参参数数为为1.5的的泊泊松松分分布布，通通话话时时间间为负指数分布，平均每次通话为为负指数分布，平均每次通话为2.5分钟。分钟。试求：（试求：（1）系统空闲的概率；）系统空闲的概率； （2）一条线被占用的概率；）一条线被占用的概率； （3）顾客损失的概率；）顾客损失的概率；30题意分析题意分析l 顾顾客客为为电电话话呼呼叫叫，输输入入为为Poisson流流，平平均均到到达率达率=1.5次次/分分；l 服服务务台台为为中中继继线线，共共5条条，即即为为5个个服服务务台台，平均服务率平均服务率=1/平均服务时间平均服务时间=1/2.5=0.4次次/
10、分分；l 故该系统是故该系统是M/M/5损失制排队系统。损失制排队系统。l =/c=(1/c)(/)=(1/5)(1.5/0.4) =（1/5）3.75=0.75。31（1）系统空闲的概率：）系统空闲的概率：（2）一条线被占用的概率：）一条线被占用的概率：32（3）顾客损失的概率）顾客损失的概率 5条线全部被占用的概率条线全部被占用的概率课课堂堂练练习习 6-3 比较比较单队多服务台单队多服务台等待制等待制系统系统多个多个单队单服务台单队单服务台等待制等待制系统系统33 某织布车间有两个布机维修组，分别负责某织布车间有两个布机维修组，分别负责该车间的两个织布组的布机维修工作。设每该车间的两个织
11、布组的布机维修工作。设每组布机平均每天有组布机平均每天有4台布机需要维修，每个维台布机需要维修，每个维修组每天平均可修复修组每天平均可修复5台布机。台布机。 试比较试比较维持现状维持现状好还是好还是将两个维修组合并将两个维修组合并共同负责全车间的布机维修工作效率高？共同负责全车间的布机维修工作效率高？ 维持现状：维持现状：两个单队单服务台两个单队单服务台 合并维修组：合并维修组：单队两服务台系统单队两服务台系统34维修组维修组维修组维修组 =5=5维修组维修组维修组维修组 =5=5维修组维修组维修组维修组 =5=5维修组维修组维修组维修组 =5=5单队两个服务台单队两个服务台单队两个服务台单队
12、两个服务台 =8=8两个单队单服务台两个单队单服务台两个单队单服务台两个单队单服务台 =4=4 =4=435对对对对于于于于两两两两个个个个单单单单队队队队单单单单服服服服务务务务台台台台系系系系统统统统,=4,=4台台台台/ /天天天天,=5,=5台台台台/ /天天天天，于于于于是是是是：P0=1-/=1-4/5=0.2；36单队单队2个服务台的系统个服务台的系统 变成变成42=837 两者相比，单队两者相比，单队2个服务台系统比个服务台系统比2个单队个单队单服务台系统单服务台系统效率明显提高效率明显提高，体现在，体现在平均排平均排队长队长和和平均等待时间平均等待时间大大缩短。大大缩短。 3
13、82个单队单服务台个单队单服务台 单队单队2个服务台个服务台 P0 0.2 0.1112 Wq 0.8 (天天) 0.3560 (天天) Lq 3.2 (台台) 2.8475 (台台) Ls 4 (台台) 4.4475 (台台) Ws 1 (天天) 0.5560 (天天) 两个单队单服务台两个单队单服务台和和单队两服务台系统的单队两服务台系统的 数数 量量 指指 标标 比比 较较39 第十五次作业第十五次作业 习题习题6：（P197）9； 补充题：补充题：40补充题：补充题：某厂医务室有某厂医务室有某厂医务室有某厂医务室有2 2名同等医疗水平的大夫。名同等医疗水平的大夫。名同等医疗水平的大夫。
14、名同等医疗水平的大夫。已知患病者按泊松流来医务室求诊，平均每小时到已知患病者按泊松流来医务室求诊，平均每小时到已知患病者按泊松流来医务室求诊，平均每小时到已知患病者按泊松流来医务室求诊，平均每小时到达达达达1515人；诊病时间平均每人人；诊病时间平均每人人；诊病时间平均每人人；诊病时间平均每人6min6min，且服从负指数分，且服从负指数分，且服从负指数分，且服从负指数分布；医务室最多能容纳布；医务室最多能容纳布；医务室最多能容纳布；医务室最多能容纳6 6位病人，若已有位病人，若已有位病人，若已有位病人，若已有6 6位病人，位病人，位病人，位病人，后来的病人会到别处就诊，后来的病人会到别处就诊，后来的病人会到别处就诊，后来的病人会到别处就诊，问：问：问：问：（1 1）医务室空闲的概率；）医务室空闲的概率；）医务室空闲的概率；）医务室空闲的概率；（2 2）在医务室逗留的病人及排队等待就诊的病人）在医务室逗留的病人及排队等待就诊的病人）在医务室逗留的病人及排队等待就诊的病人）在医务室逗留的病人及排队等待就诊的病人各为多少？各为多少？各为多少？各为多少？（3 3）每位病人平均在医务室等待的时间是多少？）每位病人平均在医务室等待的时间是多少？）每位病人平均在医务室等待的时间是多少？）每位病人平均在医务室等待的时间是多少？41
