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1、 3.1 3.1 投影法及其分投影法及其分类类 3.2 3.2 点的投影点的投影 3.3 3.3 直线的投影直线的投影 3.4 3.4 平面的投影平面的投影 3.5 3.5 直线与平面及两平面的直线与平面及两平面的 的相对位置的相对位置 本章小结本章小结结束放映结束放映平行投影法平行投影法中心投影法中心投影法2.1 2.1 投影法及其分类投影法及其分类投影法投影法投射线投射线物体物体投影面投影面投影投影 投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法该面上得到图形的方法投影法投影法。投射中心投射中心斜投影法斜投影法正投影法正投影法中心投
2、影法中心投影法 投投射中心、物体、投影面三者之间的相射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。对距离对投影的大小有影响。 度量性较差。度量性较差。投投 影影 特特 性性物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变。小也改变。投射线投射线物体物体投影面投影面投影投影投射中心投射中心平行投影法平行投影法投投 影影 特特 性性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法画透视图画透视
3、图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图 P Pb A AP P采用多面投影采用多面投影。 过空间点过空间点A的的投射线投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。B B3 3B B2 2B B1 1 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a 3.2 3.2 点的投影点的投影解决办法？解决办法？H HW WV V二、点的三面投影二、点的三面投影投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V V面）面）水平投影面（简称水水平
4、投影面（简称水 平面或平面或H H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W W面）面）投影轴投影轴O OX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y YW WH HV VO OX XZ ZY Y空间点空间点A A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A A的正面投影的正面投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影注意：注意：空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用
5、小写字母表示。小写字母表示。a aa A AX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开W WV VH HaaxazZ Zaa yayaX XY Y Y YO O X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a 点的投影规律点的投影规律: a aOXOX轴轴 aax= a ax=aay=xaazayY YZ Zaza X XY YayO Oaaxaya a a OZOZ轴轴=y =A Aa （A A到到V V面的距离）面的距离）a az=x =A Aa （A A到到W W面的距离面的距离）a ay=z =A
6、 Aa（A A到到H H面的距离面的距离）a aza aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前z 坐标大的在上坐标大的在上B点在点在A点之点之前、之右、之前、之右、之下。下。b aa a b bX XY
7、YY YZ Zo o( )a cc 空间两点在某空间两点在某一投影面上的一投影面上的投影投影重合为一点重合为一点时，则时，则称此两点为称此两点为该投影该投影面面的重影点。的重影点。a a c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？A、C为为H面的重影点面的重影点重影点：重影点：aa a b b b 两点确定一条直线，将两点确定一条直线，将两点的两点的同名投影同名投影用直线连接，用直线连接，就得到直线的同名投影。就得到直线的同名投影。 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性 B BA Aab
8、直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABAB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABAB.cos A AB Bab A AM MB Babm3.3 直线的投影直线的投影 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于
9、面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般一般位置位置直线直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊统称特殊位置位置直线直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投影面其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。间的相对位置。 投影面平行线投影面平行线X XZ ZbaaabbO OY YY Y水平线水平线实长实长在其平行的那个投影面在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面反映直线与另两投影面 倾角的实大。倾角的实大。另两个投影面上的投影
10、另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴，平行于相应的投影轴， 其到相应投影轴距离反其到相应投影轴距离反 映直线与它所平行的投映直线与它所平行的投 影面之间的距离。影面之间的距离。投影特性：投影特性：V VH HabAaaBbbW W判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线与与H面的夹角面的夹角: : 与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长 实长实长 b a aba b b aa b ba 直线与投影面夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法： 反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。 投影面垂直线投影面垂
11、直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面在其垂直的投影面 上，上， 投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :a b a(b)a b c (d )cdd c e f efe (f ) 一般位置直线一般位置直线Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。的实长。投影特性投影特性H H
12、aaAb V VBbW Wa b 四、作图1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角 例题13. 一般位置线段的实长及其对投影面的倾角|zA-zB |AB(1) 求直线的实长及对水平投影面的倾角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab(2) 求直线的实长及对正立投影面的倾角 角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB|yA-yB|AB|yA-yB|(3) 求直线的实长及对侧立投影面的倾角 角ABbbabaa|xA-xB|xA-xB|”例题例题1 已知 线段AB的投影ab及b，又知AB的实长，
13、求其水平投影。a|zA-zB| abABab|zA-zB|cacX XabcY YY YbO OaZ ZbcAH HacaV VbBabcCbW W二、二、直线与点的相对位置直线与点的相对位置 若点在直线上若点在直线上, 则点的投影必在直线的则点的投影必在直线的同名投影同名投影上。上。 点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c :c b =a c :c b 定比定理定比定理例例2 2：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c a
14、a b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?例例3 3：已知点：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka b k k aa b bkk 三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉（异面）交叉（异面）。 两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。bcdH HAd aCcV VaDbB
15、acdbcdabO OX X例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行。平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。a b c d cbadd b a c b d c a abcdc a b d 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的
16、投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点ac V VX Xb H HDacdkCAkKd bO OBcabd b a c d kk cd k kd例例1 1：过：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c 例例2 2：判断直线：判断直线AB、CD的相对位置。的相对位置。ca bdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？ 交点不符交点不符合空间一个点合空间一个点的投影特性。的投影特性。判断方法？判断方法？ 应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影为什么？为什么？两直线相交吗？
17、两直线相交吗？不相交！不相交！ 交点不符合一个交点不符合一个点的投影规律！点的投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBb 两直线交叉两直线交叉accAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)1(2)2 21 1投影特性投影特性： 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一个不符合空间一个点的投影规律点的投影规律。 “交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其，用其可帮助判断两直线的空间位置。可帮助判断两直线的空间位置。2 21 11(2)1(2)4 43(4)3(4)3 33(4)3
18、(4)3 34 4 三、 直角投影定理一、垂直相交的两直线的投影定理一定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。二、交叉垂直的两直线的投影定理三定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。例题8例题9例题101、垂直相交的两直线的投影cXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有a
19、b acAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac2、交叉垂直的两直线的投影例题例题8 8 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。bbf例题例题9 9 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。feeb 例题例题1010 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB =23。bcABab|yA-yB|bc=BCcaa一、一、平面的表示法平面的表示法不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线平面平面图形图形c abca b caba b c baca b c 3
20、.4 平面的投影平面的投影二、平面的投影特性二、平面的投影特性垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性平面平行投影面平面平行投影面投影就把实形现投影就把实形现平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平行平行 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面垂直于某
21、一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面c c 投影面垂直面投影面垂直面为什么？为什么？是什么位置的是什么位置的平面？平面？abca b b a 类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。与另外
22、两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。a b c a c b abc 一般位置平面一般位置平面三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：a c b c a abcb 例例：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为454
23、5，已知其水平投影，已知其水平投影 及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面的正面投影及侧面 投影。投影。思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？4545 三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：位于平面上的直线应满足的条件： 平面上取任意直线平面上取任意直线M MN NA AB BM M若一直线过平面上若一直线过平面上的两点，则此直线的两点，则此直线必在该平面内。必在该平面内。若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点且平行于该平面一点且平行于该平面上的另一直线，则此上的另一直线，则此直线在该平面内。直线在该平面内。abcb c
24、a d d例例1 1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试在所确定，试在 平面内任作一条直线。平面内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：有多少解？有多少解？有无数解！有无数解！n m nmabcb c a 例例2 2：在平面：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm10mm。n m nm10 10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？ 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定
25、点的位置。例例1 1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。baca k b c 面上取点的方法：面上取点的方法：d d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线首先面上取线kabca b k c kbckada d b c k b例例2 2：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c 三、属于平面的投影面平行线属于平面的水平线和正平线 例题4 例题5PPVPH属于平面的水平线和正平线例题例题4 已
26、知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。mnnm例题例题5 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。mnmnrsrs1015ee1平面上的投影面最大斜度线平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。3平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。（1）平面上对水平投影面的最大斜度线（2）平面上对正面投影面的最大斜度线（3）平面上对侧面投影面的最大斜度线 例题6 例题7 例题
27、8 例题9四、属于平面的最大斜度线PCDaE1 SAE（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF AB平行于 H， EF垂直于 ABPEFBA（2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD AB平行于V， CD垂直于 ABPCDBA（3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN AB 平行于W， MN垂直于ABPBAMN例题例题6 求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线BE 。bddee例题例题7 求 ABC平面与水平投影面的夹角 。be BE例题例题9 已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。aa给题3.5 3.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括
28、相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包包括括 直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一直线平行于平面内若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。的某一直线，则该直线与该平面平行。n a c b m abcmn例例1 1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？d d正平线正平线例例2 2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。唯一解唯一解c b a m abcmnn d d 两平面平行两平面平行 若一
29、平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线分别平行于另分别平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。c f b d e a abcdeff h abcdefha b c d e acebb a d dfc f e khk h O OX Xm m由于由于ek不不平行于平行于ac, ,故两平面故两平面不平行。不平行。例：判断平面例：判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否是否平行，平行， 已知已知ABCDE
30、FMHABCDEFMH 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平交点是直线与平面的共有点。面的共有点。直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。处于特殊位置的情况。二、相交问题二、相交问题例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析
31、平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。点的水平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。作图作图用线上用线上取点法取点法 平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m k k1 1 ( (2 2 ) )2 21 11 1 ( (2 2 ) )km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影
32、分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 2 为不可见为不可见。k 221 1作图作图用面上取点法用面上取点法 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面的共有线，面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交
33、线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处于特只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。殊位置的情况。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f d b e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都为都为正垂面正垂面，它们的，它们的交线为一交线为一条正垂线条正垂线，两平面，两平面正面投正面投影的交点即为交线的正面影的交点即为
34、交线的正面投影，投影，交线的水平投影垂交线的水平投影垂直于直于OX轴轴。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看从正面投影上可看出，在交线左侧，平面出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可见。可见。nm能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MN并判别可见性。并判别可见性。能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？abcdefc f d b e a m (n )例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MN并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看从正面投影上
35、可看出，在交线左侧，平面出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可见。可见。mn 平面平面ABC与与DEF都为都为正垂面正垂面，它们的，它们的交线为一交线为一条正垂线条正垂线，两平面，两平面正面投正面投影的交点即为交线的正面影的交点即为交线的正面投影，投影，交线的水平投影垂交线的水平投影垂直于直于OX轴轴。aa bd( (e) )ebdh( (f) )cfch1 1( (2 2 ) )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFH是一铅是一铅垂面，它的水平投影有垂面，它的水平投影有积聚性，其与积聚性，其与ac、bc的的交点交点m 、n 即为两个共即为两个共有点的水平投影，故有
36、点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投的水平投影影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，上，点点在前，在前，点点在后，故在后，故mc 可见。可见。作图作图2 21 1mmnnabd( (e) )ebdh( (f) )cfchmnnm空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFH是一铅是一铅垂面，它的水平投影有垂面，它的水平投影有积聚性，其与积聚性，其与ac、bc的的交点交点m 、n 即为两个共即为两个共有点的水平投影，故有点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投的水平投影影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点上，点在
37、在FH上，上，点点在前，在前，点点在后，故在后，故mc 可见。可见。作图作图c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于def 的外面，的外面，说明点说明点N位于位于DEF所所确定的平面内，但不确定的平面内，但不位于位于DEF这个图形这个图形内。内。 所以所以ABC和和DEF的交线应为的交线应为MK。 nn m kmk 互交互交c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于def 的外面，的外面，说明点说明点N位于位于DEF所所确定的平面内，但不确定的平面内，但不位于位于DEF这个图形内。这个图形内。 所
38、以所以ABC和和DEF的交线应为的交线应为MK。互交互交mkk m 五、一般位置直线与一般位置平面相交 以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图ABCQ过MN作正垂面QMN以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图12以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：1过EF作正垂平面Q。2求Q平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。示意图12以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1步骤：1过EF作铅垂平面P。2求P平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。kk2 示意图CAB过MN作铅垂面PNMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图fee直线E
39、F与 ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性1243（ ）kk34示意图( )21直线EF与平面 ABC相交，判别可见性示意图1 (2)(4)3利用重影点。判别可见性六、两一般位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线 示意图判别可见性例题6 两一般位置平面相交，求交线步骤：1用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。求两平面的交线llnmmnPVQV1221kkee2连接两个共有点，画出交线KE。示意图两一般位置平面相交求交线的方法 示意图 利用求
40、一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3 4 ( )3 4 21( )1 2例题例题6 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交 。分析 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH作图mnhhnmPV11221过点K作平面KMN/ ABC平面。2求直线EF与平面KMN的交点H 。3连接KH，KH即为所求。2.5.3 直线与平面垂直、两平面垂直直线与平面垂直、两平面垂直一、直线与平面垂直 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 例题10
41、二、两平面垂直 几何条件 例题11 例题12 例题13一、直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则 必垂直于属于该平面的一切直线。定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。knkn定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。例题例题7 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。acacnnkkh例题例题8 试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhh（a）（c）（b）例题例题9 平面由两平行线AB、C
42、D给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。efef例题例题11 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 ，与H面的夹角为45 。分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角直径任取NM 作图过程|yM-yN|zM-zN|mhm nmk|zM-zN|yM-yN|3045m nmnkhnn两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。两平面垂直两平面不垂直g例题例题12 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。hacachg例题例题13 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。ffdd结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。例题例题14 试过定点A作直线与已知直线EF正交。EQ分析 过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。FAK作图21aefafe1221PV12kk
