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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 课程基本信息 课例编号 学科 数学 年级 高一 学期 第一学期 课题 函数的单调性(1) 教科书 书名： 普通高中教科书数学（B 版） 必修第一册 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年 7 月 教学人员 姓名 单位 授课教师 指导教师 教学目标 教学目标：通过本节的学习，初步了解增函数、减函数、函数的平均变化率的概念，掌握判断某些函数的增减性的方法，掌握用定义证明函数单调性的一般步骤。 教学重点： （1）单调区间是定义域的子区间，对于单调性，首先要考虑函数的定义域； （2）用定义法判
2、断或证明函数单调性的步骤. 教学难点： （1）单调区间是定义域的子区间，对于单调性，首先要考虑函数的定义域； （2）用定义法判断或证明函数单调性的步骤. 教学过程 40分 教学环节 一、引入： 二次函数：122xxy， 当1x时，函数值随自变量的增大而减小； 当1x时，函数值随自变量的增大而增大. 反比例函数：2yx ， 当0x时，函数值随自变量的增大而增大； 当0x时，函数值随自变量的增大而增大. 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 再看一个函数的图像： 观察以上图像，按照函数值的增减与自变量的增减的关系，可以将这些区间分为两类
3、： 6, 4， 2,1，3,6一类； 4, 2 ，1 3，一类.那么，怎么用数学语言来刻画这个特点呢？ 二、新课讲解 1单调性定义 一般地，设函数)(xfy 的定义域为D，且ID： (1) 如果对任意12,x xI，当12xx时，都有12( )()f xf x， 则称( )yf x在I上是增函数(也称在I上单调递增)，如图（1）所示； (2) 如果对任意12,x xI，当12xx时，都有12( )()f xf x， 则称( )yf x在I上是减函数(也称在I上单调递减)，如图（2）所示. 两种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递
4、减区间）. Oxy642136yxx=1OyxO欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 由定义知，前面给出的例子中， 二次函数 221f xxx的增区间为）， 1 ，减区间为 1 ,(； 反比例函数 2f xx 的增区间为)0 ,(和), 0( ，没有减区间. 想一想：能否说 2f xx 在定义域内是增函数？为什么？ 注： (1)单调区间是定义域的子区间， 对于单调性， 首先要考虑函数的定义域。因此，单调性是函数的局部性质. (2)对于某个具体函数，单调区间可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域的一部分(如二次函数)，也可以没有
5、单调区间(如常函数). (3)函数的单调性是对于区间而言的，对于某一点无所谓单调性。为了统一起见，单调区间一般均取闭，除非端点无定义。 (4)单调区间一般不能取并。如函数2yx 的增区间为)0 ,(和), 0( ，但不能说其增区间为), 0()0 ,(。因为，若取21x，22x，则21xx 。于是1121yy，这与单调递增矛盾. 例 1判断函数 35,1,6fxxx 的单调性，并证明。 解：任取12,1,6x x 且12,xx则120xx，那么 121212353530fxfxxxxx 所以，这个函数在1,6上是增函数. yx（2）f(x1)f(x2)x1x2Oyx（1）f(x2)f(x1)x
6、2x1O欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 在这个例题中，由不等式的知识得到：因为16x ，所以， 3318,23523xx 即 16ffxf 2最值的定义 一般地，设函数)(xfy 的定义域为D，且0xD： 如果对任意xD，都有 0f xf x，则称 fx的最大值为 0fx，而0x称为 f x的最大值点；如果对任意xD，都有 0f xf x，则称 fx的最小值为 0fx，而0x称为 f x的最小值点。最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点. 不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性
7、求出函数的最值点和最值. 如例 1，函数 35,1,6fxxx 是单调增函数，因此，当16x 时，有 16ffxf，从而这个函数的最小值为12f ，最大值为 623f. 3函数的平均变化率 我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立.一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点),(),(2211yxByxA，当12xx时，称 2121yyxx. 为直线AB的斜率；当12xx时，称直线AB的斜率不存在. 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度. 若记21xxx ，相应的21yyy ，则当0x 时，斜率可记为yx.下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性. 欢迎您阅读并
8、下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 由函数的定义可知，任何一个函数图像上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在. 由图像可以看出， 函数递增的充要条件是其图像上任意两点的连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于 0. 一般地，若I是函数 yfx的定义域的子集，对任意12,x xI且12xx， 记 1122,yfxyfx1212xxyyxy（即 2121f xf xfxxx） ，则： （1） yfx在I上是增函数的充要条件是0yx在I上恒成立； （2） yfx在I上是减函数的充要条件是0yx在I上恒成立. 一般
9、地，当12xx时，称 2121f xf xfxxx 为函数( )yf x在区间12122121,x xxxxxxx时 或时上的平均变化率. 例 2.求证：函数1yx在区间,0和0 +，上都是减函数. 证法 2：设12xx，那么 212112111xxyxxxx x . yx（1）xyf(x2)f(x1)x2x1COAByx（2）yxf(x1)f(x2)x1x2OAB欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 如果12,0x x ， 则1 20x x ， 此时0yx， 所以函数在,0上是减函数.同理，函数在0 +，上也是减函数. 例 3.判
10、断一次函数0ykxb k的单调性. 解：设12xx，那么 2121kxbkxbykxxx 因此，一次函数的单调性取决于k的符号：当0k 时，一次函数在R上是增函数；当0k 时，一次函数在R上是减函数. 例 4.证明函数 22fxxx在, 1 上是减函数，在1, 上是增函数，并求这个函数的最值. 证明：设12xx，则 22221121122121222xxxxfxfxfxxxxxxx 因此： 当12, 1x x 时 ， 有122,xx从 而0fx， 因 此 fx在, 1 上是减函数； 当12,1,x x 时 ， 有122,xx从 而0fx， 因 此 fx在1, 上是增函数. 由函数的单调性知，函
11、数没有最大值；而且，当, 1x 时，有 1fxf， 当1,x 时，不等式也成立，因此 11f 是函数的最小值. 试试用类似的方法判断并证明二次函数 20fxaxbxc a的单调性，并求它的最值. 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ （1）当0a时， fx在,2ba 上单调递_，在,2ba上单调递_，函数没有最_值，但有最_值_； （2）当0a时， fx在,2ba 上单调递_，在,2ba上单调递_，函数没有最_值，但有最_值_. 三、总结 用定义证明函数的单调性的基本步骤： (1)在定义域的子区间内任取12,x x，且12xx; (2)对 1f x和 2f x进行作差，记作 12f xf x； (3)对差 12f xf x进行变形、因式分解； (4)判断差的符号； (5)得出结论. 用平均变化率的正负性证明函数单调性的基本步骤： （1）在定义域内的子区间内任意取12,x x且12xx； （2） 作商：1212xxyyxy并化简、变形； （3）判断yx的正负性； （4）得出结论. 四、课后作业 1. 证明函数212)(xxxf在)2 ,(上是减函数. 2.判断函数yx的单调性，并证明. 3.求 226 ,5,3f xxx x 的单调区间，并求这个函数的最值.
