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1、2. 当当时, 特征方程有两个(lin )相等实根则微分方程(wi fn fn chn)有一个特解设另一特解( u (x) 待定)代入方程(fngchng)得:是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共19页第一页，共20页。3. 当当时, 特征方程有一对(y du)共轭复根这时原方程(fngchng)有两个复数解: 利用(lyng)解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共19页第二页，共20页。小结小结(xioji):特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论(jil
2、n)可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共19页第三页，共20页。若特征方程含 k 重复(chngf)根若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解(tngji)中必含对应项则其通解(tngji)中必含对应项特征方程: 推广推广:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共19页第四页，共20页。例例1.的通解(tngji).解: 特征方程特征(tzhng)根:因此(ync)原方程的通解为例2. 求解初值问题解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共19页第五页，
3、共20页。例例3.解:由第七节例1 (P293) 知, 位移(wiy)满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定(gdng)的弹簧上,在无外力作用下做自由(zyu)运动,初始求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为自由振动方程 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共19页第六页，共20页。方程(fngchng):特征方程:特征(tzhng)根:利用(lyng)初始条件得:故所求特解:方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共19页第七页，共20页。解的特
4、征解的特征(tzhng):简谐振动(zhndng) A: 振幅(zhnf), : 初相,周期: 固有频率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (仅由系统特性确定)第8页/共19页第八页，共20页。方程(fngchng):特征方程:特征(tzhng)根:小阻尼(zn): n k临界阻尼: n = k 解的特征解的特征解的特征机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共19页第九页，共20页。例例4.的通解(tngji). 解: 特征方程特征(tzhng)根:因此原方程(fngchng)通解为例5.解: 特征方程:特征根 :原方程通解:(不难看出, 原方程有特解推广 目录 上页 下页 返回 结束
5、 第13页/共19页第十三页，共20页。例例6. 解: 特征方程:即其根为方程(fngchng)通解 :机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第14页/共19页第十四页，共20页。例例7.解: 特征方程:特征(tzhng)根为则方程(fngchng)通解 :机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第15页/共19页第十五页，共20页。内容内容(nirng)小结小结特征(tzhng)根:(1) 当时, 通解(tngji)为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共19页第十六页，共20页。思考
6、思考(sko)与练习与练习 求方程(fngchng)的通解(tngji) .答案:通解为通解为通解为作业 P310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3第九节 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共19页第十七页，共20页。备用备用(biyng)题题为特解的 4 阶常系数(xsh)线性齐次微分方程,并求其通解(tngji) .解: 根据给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为即故所求方程为其通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共19页第十八页，共20页。感谢您的欣赏(xnshng)！第19页/共19页第十九页，共20页。内容(nirng)总结2. 当。第2页/共19页。特 征 根。若特征方程含 k 重复根。由第七节例1 (P293) 知, 位移满足。质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,。 : 初相,。随时间 t 的增大物体。1) 无振荡现象。即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.。最多只与 t 轴交于一点。2) 无振荡现象。为特解的 4 阶常系数(xsh)线性齐次微分方程,。第18页/共19页。感谢您的欣赏。第19页/共19页第二十页，共20页。
