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1、第十三章推理与证明高考文数高考文数(课标专用)考点一合情推理与演绎推理考点一合情推理与演绎推理1.(2017课标全国,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩五年高考A组 统一命题课标卷题组答案D本题考查逻辑推理.由甲的说法可知,乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁一人优秀一人良好,乙看到丙的成绩就能知道自己的成绩,丁
2、看到甲的成绩就能知道自己的成绩,故选D.2.(2014课标,14,5分,0.924)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案A解析由三人去过同一城市,且甲没去过B城市、乙没去过C城市知,三人去过的同一城市为A,因此可判断乙去过的城市为A.3.(2016课标全国,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说
3、:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.答案1和3解析丙的卡片上的数字之和不是5,则丙有两种情况:丙的卡片上的数字为1和2,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和3,满足题意;丙的卡片上的数字为1和3,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和2,这时甲与乙的卡片上有相同的数字2,与已知矛盾,故情况不符合,所以甲的卡片上的数字为1和3.疑难突破先对丙分类讨论,确定出丙卡片上的数字情况再确定乙、甲是解决问题的关键.评析本题主要考查推理,考查学生分析、解决问题的能力,先确定丙卡片上的数字情况再确定乙、甲是问题的突破口,注意对丙的分类讨论.考点一合情推理与演绎
4、推理考点一合情推理与演绎推理1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.B组 自主命题省（区、市）卷题组学生序号12345678910立定跳远(单位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位:次)63a7560637270a-1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入
5、30秒跳绳决赛答案B因为这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人,故立定跳远成绩排名最后的9号和10号学生就被淘汰了.又因为同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则18号学生中必有2人被淘汰,因为a-1a,其余数字最小的为60,故有以下几种情况:若a-163,此时淘汰的不止2人,故此种情况不可能;若a-1a60,此时被淘汰的为2号和8号;若60a-1xy4,x的最大值为7,y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.xyz,当x=3时,条件不成立,当x=4时,条件不成立,当x=5时,5yz,此时z=3,y=4.该小组人数的最小值为12.考点二直接证明与间接证明考点二直接证明与间接证明1.(
6、2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案A因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,所以要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.2.(2014天津,20,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n.
7、(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中ai,biM,i=1,2,n.证明:若anbn,则st.解析(1)当q=2,n=3时,M=0,1,A=x|x=x1+x22+x322,xiM,i=1,2,3.可得,A=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)证明:由s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,biM,i=1,2,n及anbn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1(q-1)+(q-1)q+(q-1)qn
8、-2-qn-1=-qn-1=-10.所以,st.考点一合情推理与演绎推理考点一合情推理与演绎推理1.(2013陕西,13,5分)观察下列等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此规律,第n个等式可为.C组 教师专用题组答案(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)解析由前三个式子观察归纳可得结论.2.(2013湖北,14,5分)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为=n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)
9、=n2+n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=n2-n,六边形数N(n,6)=2n2-n,可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.答案1000解析由N(n,3)=n2+n,N(n,4)=n2+n,N(n,5)=+n,N(n,6)=n2+n,推测N(n,k)=n2-n,k3.从而N(n,24)=11n2-10n,N(10,24)=1000.3.(2016江苏,20,16分)记U=1,2,100.对数列an(nN*)和U的子集T,若T=,定义ST=0;若T=t1,t2,tk,定义ST=+.例如:T=1,3,66时,ST=a1+a3+a66.现设an(nN*)是公比
10、为3的等比数列,且当T=2,4时,ST=30.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意正整数k(1k100),若T1,2,k,求证:ST0,nN*,所以STa1+a2+ak=1+3+3k-1=(3k-1)3k.因此,STak+1.(3)下面分三种情况证明.若D是C的子集,则SC+SCD=SC+SDSD+SD=2SD.若C是D的子集,则SC+SCD=SC+SC=2SC2SD.若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=CUD,F=DUC,则E,F,EF=.于是SC=SE+SCD,SD=SF+SCD,进而由SCSD得SESF.设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k1,l1,kl.由(2)知,SE
11、ak+1.于是3l-1=alSFSEak+1=3k,所以l-1k,即lk.又kl,故lk-1.从而SFa1+a2+al=1+3+3l-1=,故SE2SF+1,所以SC-SCD2(SD-SCD)+1,即SC+SCD2SD+1.综合得,SC+SCD2SD.4.(2014江西,21,14分)将连续正整数1,2,n(nN*)从小到大排列构成一个数,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123456789101112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n2014时,求F(n)的表达式;(3)令g(n)为这个数中
12、数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S=n|h(n)=1,n100,nN*,求当nS时p(n)的最大值.解析(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=.(2)F(n)=(3)当n=b(1b9,bN*)时,g(n)=0;当n=10k+b(1k9,0b9,kN*,bN)时,g(n)=k;当n=100时,g(n)=11,即g(n)=同理有f(n)=1k8,0b9,kN*,bN,由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以当n100时
13、,S=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.当n=9时,p(9)=0;当n=90时,p(90)=;当n=10k+9(1k8,kN*)时,p(n)=,由于y=关于k单调递增,故当n=10k+9(1k8,kN*)时,p(n)的最大值为p(89)=.又b,则f(f(b)f(b)b,与题意不符,若f(b)b,则f(f(b)f(b)0,关于x的不等式:x+|x-2c|2的解集为R.求实数c的取值范围;(2)在(1)的条件下,若c的最小值为m,又p、q、r是正实数,且满足p+q+r=3m,求证:p2+q2+r23.解析(1)不等式x+|x-2c|2的解集为R函数y=x+|x-2c|在R
14、上恒大于或等于2,x+|x-2c|=函数y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c,2c2c1,所以实数c的取值范围为1,+).(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又p,q,r是正实数,所以(p+q+r)2=9,而(p+q+r)2=p2+q2+r2+2pq+2pr+2qrp2+q2+r2+p2+q2+p2+r2+q2+r2=3(p2+q2+r2),即p2+q2+r23,当且仅当p=q=r=1时,等号成立.B组20162018年高考模拟综合题组(时间:40分钟分值:45分)一、选择题一、选择题(每题每题5分分,共共10分分)1.(2018青海西宁一模)某学校计划在周一至周四的艺术节上展演雷雨茶馆
15、天籁马蹄声碎四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧雷雨不能在周一和周四上演,茶馆不能在周一和周三上演,天籁不能在周三和周四上演,马蹄声碎不能在周一和周四上演,那么下列说法正确的是()A.雷雨只能在周二上演B.茶馆可能在周二或周四上演C.周三可能上演雷雨或马蹄声碎D.四部话剧都有可能在周二上演答案C由题目可知,周一上演天籁,周四上演茶馆,周三可能上演雷雨或马蹄声碎,故选C.2.(2018宁夏银川4月质量检测)周末,某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情,看书、写信、听音乐、玩游戏,下面是关于他们各自所做事情的一些判断:甲不在看书,也不在写信;乙不在写信,也不在听音乐;如果甲不在听音乐,
16、那么丁也不在看书;丙不在看书,也不在写信.已知这些判断都是正确的,那么请问乙同学正在做的事情是()A.玩游戏B.写信C.听音乐D.看书答案D由知乙在看书或写信,结合可知乙在看书,故选D.二、填空题二、填空题(每题每题5分分,共共15分分)3.(2017陕西咸阳二模)观察下列式子:2,+,+8,+,根据以上规律,第n个不等式是.答案+2的x的取值集合M;(2)求证:当xRM时,|a+b|+|a-b|a|f(x)对满足条件的所有a,b都成立.解析(1)f(x)=由f(x)2得或解得x.所以所求实数x的取值集合M=.(2)证明:由(1)知,当xRM时,f(x)2,另一方面,|a+b|+|a-b|a|f(x)且a0成立,等价于f(x)成立.又因为=2,所以|a+b|+|a-b|a|f(x)在xRM上恒成立.7.(2016陕西西北工大附中第六次训练卷)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若abcd,则+;(2)若+,则|a-b|cd得,因此+.(2)若+,则,即a+b+2c+d+2,因为a+b=c+d,所以abcd,于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2,因此|a-b|c-d|.
