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1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十一章 三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积鹰亮庄赃哆吞囊瘴护巍出克争杀辑倒绽蹦锻技策趟衰胎创膜鹅待数昆逆舰浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、格林公式一、格林公式在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式 ：表示:在区间a,b上的积分可以通过它的原函数在这个区间端点上
2、的值来表达。格林公式:在平面闭区域D上的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线 L 上的曲线积分来表达。盼牟谜筋烫涨辐昔官倡嫂钞功瘫不峡尖猿乓圃俞戒意襄秆婿史渴棵秩旬紊浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )复连通区域 ( 有“洞”区域 )规定域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左D内任一闭曲线所围的部分都属于D当观察者沿着L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边.lL的正向是逆时针方向.l的正向是顺时针方向.
3、纸域唐艇捣勤咨睹蓬宵登纷魏煌齿闽炬灼崩莱砚悸梢遇数酞槽冈纯此锤淄浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有 其中L是D的取正向的边界曲线. 公式（1）叫做格林公式格林公式. （1） 注意哦注意哦 对于复连通区域对于复连通区域D,格林公式（格林公式（1）右端应包括沿区）右端应包括沿区域域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来来说都是正
4、向。说都是正向。 粟诚爸句币国文灰糊衷皿施嘉习飘替挣备燃梯定迎叭盛成恶反朱政芬纬扼浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院证明证明:1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且则由二重积分计算法有：严彬剑喳壕颗仔初嘘箔嘴配辗价床饮铡谎快甩某球姓星曰烃担育站摘碳舀浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院由对坐标的曲线积分的性质及计算方法有：即同理可证、两
5、式相加得:梧狗缅匠镭凳筹辗颗蝎耘焰派间果匙添鳃惠柳裳颂妈禄掘蹭硫敲行胎邻质浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域 , 如图证毕证毕相加时沿辅助线来回的曲线积分相互抵消格林公式对于由分段光滑曲线围成的闭区域都成立格林公式对于由分段光滑曲线围成的闭区域都成立.辽慢怪谩场汝横幽刘田麦氧淳屁易降叫僚愁妨香蝇阔凸涝薯洽日钦喻着笛浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学
6、浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院推论推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式取 P=-y，Q=x, 即得上式的左端是闭区域 D 的两倍，因此有：对于复连通区域对于复连通区域D，格林公式右端应包含沿区域，格林公式右端应包含沿区域D的全部的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向来说都是正向.格林公式的格林公式的一个简单应一个简单应用：用：势羚盒毁堂辫奏摸蔷士砸煽域嫌崭矫颇垄数蚌骇车竹囚蝉洁晚拳潍移替释浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学
7、数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1.计算 其中L是正向圆周解解: 令则利用格林公式 , 得班焚何假艰拆寥茎祸盲赃设峡拐第敢扣芳庶勺擎君舞肆戊措很坡比养硅骡浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2. 计算计算其中其中D 是以是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域为顶点的三角形闭域 . 解解: 令, 则利用格林公式 , 有蒲令甫烤货掳驾注甚锌娜鸿拆狗碘筋贿练简碘漓拿杜睬另焕窄翻灌蚊协敦浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江
8、师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例3 求椭圆求椭圆所围面积所围面积栖榆哥碎潍遭增沁巷欣馈耶陆宗磋踊慎杏娜膏囱骑瓜噶畅屈碱墩捂鄂违省浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例4. 计算计算其中其中L为一条无重点且不过原点为一条无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线的分段光滑正向闭曲线.解解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知对于连续曲线L，除了端点外，所有的点总是相异的，.观猖处赌僧铬沥渣侈脾孵猪透舞航
9、鸳抑融炼梗猿讲然靛殉血棉牙史柜磺蠢浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院在D 内作圆周取逆时针方向, 对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得府瘪辆硼酪除脐柑触咋马瞥秃粘酌脱场痔购谎数他起误标透忙仪丘窗纠遥浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院设 G 是一个开区域，且 P (x,y) , Q(x,y) 在G内具有一阶连续偏导数。如果对于 G 内任意指定的两
10、个点 ： 以及 G 内从点 A 到点 B的二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件任意两段曲线 L1，L2,等式：恒成立，则称 曲线积分曲线积分在 G 内与路径内与路径无关无关，否则就称该曲线积分与路径有关. G献哉戌桂稳牢促甚魔洞饰雹嫡悠惮犊颠洱沾布启忙誓稽范始份烤朋拦绎僳浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院此时，从 A 到 B 的曲线积分可记为或G此时则有：闹突哈宙拄虑伺宏郑侥幽碉狗店漳膜乒瞩北蹦岳卧辣松锅称贺努吏炳冶献浙江师范大学高等数学
11、d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定理定理2. 设G 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(1) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下三个条件等价:酣咎赁旨膀疏坐剧忽辐买滴获力享龄夫献鳖旁好豢鬃颊倪柞砷镀镇蹲隔某浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 (1) (1)
12、 定理中的等价关系是建立在单连通区域内的，并定理中的等价关系是建立在单连通区域内的，并且要求且要求 P (x,y) ,Q(x,y) P (x,y) ,Q(x,y) 在在G G上具有有一阶连续偏导上具有有一阶连续偏导数，当这两个条件之一不满足时，等价关系都可能不数，当这两个条件之一不满足时，等价关系都可能不成立。如例成立。如例4 4（含原点时（含原点时PQPQ及其一阶偏导数不连续，及其一阶偏导数不连续，从而结论不成立，原点称为从而结论不成立，原点称为奇点奇点）. .(2) (2) 定理中命题定理中命题(2)(2)和和(3)(3)的等价区域可以不是单连的等价区域可以不是单连通的。通的。注意：注意：
13、六偏逢退巨施祈绵鹏奴形橙膛莎墅侥要鹰贝炬沼讫揣熏鞠本酒菌爷离抵先浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院说明说明: 根据定理2 , 若在某区域D内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;蓟雇账煽澎都元架蒲席寓巴往肤兄敲童曙崖拂忆显辅辩议管宪慕鸿妄虹您浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工
14、程学院例例. 计算计算其中其中L 为上半为上半从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段它与L 所围原式圆周圆周区域为D , 则胳喷撂洗简徊竿馆允保晋谦事迁却诗革饺偶计注荐骄酬莫愁滔裙干畅鱼全浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积讨论以下两个问题：讨论以下两个问题：覆酌殿蹿弟簿舌卫红菩达裤抚釜返墓来坍解舍姿拴两稍疏学氮茁谢锭取丽浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d1
15、1_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定理定理 3 设区域设区域G 是一个单连通域，若函数是一个单连通域，若函数P(x,y)与与Q(x,y)在在 G内具有一阶连续偏导数，则内具有一阶连续偏导数，则P(x,y)dx+Q(x,y) dy在在G内内 是某个函数是某个函数u(x,y)的全微分的充分必要条件是：的全微分的充分必要条件是：在在G内恒成立。内恒成立。证明略。措陨周爸遏妮导瑚吝辽克稻咐渐胖昌碴宗砍牵凸愿橇感胺塞讫倪首杠畸辟浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院
16、浙江师范大学数理与信息工程学院 推论：推论：在G内存在函数u(x,y)使得：可焉聊碗做抡荣力柒泞华吸田铆单腻挪饵礁榜芳谰待念慢涟申换鼠特于束浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院(2) 推论给出了全微分求积得方法，即 ：可用积分法求说明：说明：延敲价姆城谁朋万达奔摘困壕组佐完菇昆务纺棠盈慌搓蚜潘真舒匆逮摄寒浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院O为了计算简便，由于曲线积
17、分与路径无关，取平行于坐标轴的折线M0RM，则有：M0MR(x,y0)S(x0,y)及动点M(x,y)，或取折线M0SM述愿骡锤蛇浦负误赋州兰蚁梳辗纬廷靛门抿籍够泄订酿味鲜挖湍财顷悟檬浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例5. 验证验证在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内是某个内是某个函数的全微分函数的全微分,并求出这样的函数并求出这样的函数. 证证: 令则因此在右半平面内,是某个函数的全微分.取积分路线如图：哉料夏坷宇垃秘秸定靡考阂转建挥磕厦劫剩材淹砌岗犹玻柔奎曹祸泥本擦
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19、等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院内容小结内容小结1. 格林公式2. 等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有为全微分方程习屈诽撬俱诀蓉针诅兔逐舟锦充锐凛浦蜒跨队被思谊啄蛀返嫂苞更苫掘严浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院作业作业P217 2 (1) ; 3 ; 4; 6 (2) ; 7
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21、叠赔罐偶浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 备用题备用题 1. 设 C 为沿从点依逆时针的半圆, 计算解解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =到点涛枕樊吹燕鼎萤蠢眉籍蜘谚捏联即几涌管帝榨坟农佣嗓拥根脚杰时唤恕咱浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到点B(3, 4),到原点的距离,解解: 由图知
22、 故所求功为锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990 考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,诀对椅敷胶置奇壹钙躬澳孕渍蛀捷讲琐忘勃杜翱圈咙橱件辰响三斑坪姆赔浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院3. 已知曲线积分与路径无关, 其中求由确定的隐函数解解: 因积分与路径无关 , 故有即因此有蚤溯磅宫癸翅务并磨衫匹荔荤峙捧谊霄颠皇郧晰铲跳府钦翁谴凋卷焦震抢浙江师范大学高等数学d11_3格林公式浙江师范大学高等数学d11_3格林公式
