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1、现代控制理论现代控制理论（第（第10讲讲 2007年年12月）月）状态观测器状态观测器带观测器的闭环系统带观测器的闭环系统分离原理分离原理自动化教研室自动化教研室 谭功全谭功全状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈Review反馈对系统能控和能观性的影响反馈对系统能控和能观性的影响定理：状态反馈不改变系统的能控性，但定理：状态反馈不改变系统的能控性，但可能可能改改变系统的能观性。变系统的能观性。定理：输出反馈定理：输出反馈不改变不改变系统的能控性和能观性。系统的能控性和能观性。Review反馈系统极点配置定理反馈系统极点配置定理状态反馈极点配置状态反馈极点配置：用状态反馈任意配：用状态反馈任意配
2、置闭环极点的充要条件是原系统能控。置闭环极点的充要条件是原系统能控。输出反馈极点配置输出反馈极点配置：对完全能控完全能：对完全能控完全能观测观测n维连续时间维连续时间LTI系统，设系统，设rank(B)=p和和rank(C)=q，采用输出反馈，采用输出反馈u=v-Fy可对数目为可对数目为Minn,p+q-1的闭环系统极点进行任意接近式配置。的闭环系统极点进行任意接近式配置。Review状态反馈任意极点配置状态反馈任意极点配置原系统原系统化为能控标准型化为能控标准型能控型状态反馈系统能控型状态反馈系统最后再变换回去最后再变换回去能控标准型系统能控标准型系统状态反馈系统状态反馈系统Review用能
3、观标准型进行极点配置算法用能观标准型进行极点配置算法Step 1：判断系统：判断系统(A,b)的能控性的能控性Step 2：计算矩阵：计算矩阵A的特征多项式的特征多项式Step 3：计算由期望闭环极点决定的特征多项式：计算由期望闭环极点决定的特征多项式Step 4：计算能控标准型状态反馈增益阵：计算能控标准型状态反馈增益阵Step 5：计算转换到能控标准型的变换矩阵：计算转换到能控标准型的变换矩阵Step 6：计算原系统等价的状态反馈增益阵：计算原系统等价的状态反馈增益阵ReviewAgenda全维状态观测器全维状态观测器带观测器的闭环系统带观测器的闭环系统状态重构和状态观测器概念状态重构和状
4、态观测器概念问题问题：状态反馈在性能上的不可替代性和物理上：状态反馈在性能上的不可替代性和物理上的不能实现性这一矛盾如何解决？的不能实现性这一矛盾如何解决？途径途径：是否可以构造或估计出系统的状态变量？：是否可以构造或估计出系统的状态变量？状态重构的状态重构的实质实质：对给定被观测：对给定被观测LTILTI系统系统，构，构造与造与具有相同属性的具有相同属性的LTILTI系统系统，利用，利用中中可直接测量的输出和输入作为可直接测量的输出和输入作为的输入，的输入，并使并使的状态在一定指标下等价于的状态在一定指标下等价于的状态的状态。称。称为被观测系统为被观测系统的一个状态观测器，的一个状态观测器，
5、称为被观测系统称为被观测系统状态的重构状态。状态的重构状态。观测被控系统的全部（或部分）状态时，称为全维观测被控系统的全部（或部分）状态时，称为全维（或降维）状态观测器。（或降维）状态观测器。开环状态观测器开环状态观测器真实系统真实系统计算机模拟的系统计算机模拟的系统条件：模型已知条件：模型已知用模拟系统的状态向量代替真实系统的状态向量用模拟系统的状态向量代替真实系统的状态向量问：这样可能出现什么问题？或者说有什么不同？问：这样可能出现什么问题？或者说有什么不同？渐近状态观测器渐近状态观测器途径途径：比较输出，引反馈！：比较输出，引反馈！渐近观测器的另一种图示渐近观测器的另一种图示关于状态估计
6、误差的方程关于状态估计误差的方程渐进状态估计应要渐进状态估计应要求什么条件呢？求什么条件呢？状态观测器存在的条件状态观测器存在的条件观测器要实用，必然要求观测器要实用，必然要求另外，状态估计误差应该以足够快的速度趋另外，状态估计误差应该以足够快的速度趋于零。于零。但这些都取决于但这些都取决于H的选择和的选择和A-HC特征值的配特征值的配置。这样的置。这样的H是否总是存在的呢？是否总是存在的呢？定理定理：如果系统的状态完全能观，存在矩阵：如果系统的状态完全能观，存在矩阵H，我们能够任意配置，我们能够任意配置A-HC的特征值。的特征值。状态观测器存在定理的证明状态观测器存在定理的证明定理：如果系统
7、定理：如果系统(A, B, C)状态完全能观，则可以由状态完全能观，则可以由H任意配置矩阵任意配置矩阵A-HC的特征值。的特征值。从而，可以引状态反馈，任意配置系统极点从而，可以引状态反馈，任意配置系统极点引入状态反馈后，系统特征多项式为引入状态反馈后，系统特征多项式为所以，只要取所以，只要取就有就有证明：考虑证明：考虑(A, B, C)的对偶系统的对偶系统根据对偶原理，根据对偶原理，能控能控这就意味着观测器的极点可以任意配置这就意味着观测器的极点可以任意配置状态观测器的直接设计步骤状态观测器的直接设计步骤已知系统已知系统(A, B, C)，设计观测器的步骤是：，设计观测器的步骤是：1、判断系
8、统的能观性。能观则一定可以设计、判断系统的能观性。能观则一定可以设计全维状态全维状态观测器。观测器。2、根据期望的观测器极点位置，计算期望的、根据期望的观测器极点位置，计算期望的观测器特征多项式观测器特征多项式3、计算观测器的特征多项式、计算观测器的特征多项式 detsI-(A-HC)4、比较系数，得到增益矩阵、比较系数，得到增益矩阵H例题：观测器设计例题：观测器设计要求设计观测器，观要求设计观测器，观测器的极点为测器的极点为 -3, -3已知已知1、系统是否能观？这需要计算、系统是否能观？这需要计算2、计算期望的观测器特征多项式、计算期望的观测器特征多项式满秩，能观满秩，能观3、计算观测器特
9、征多项式、计算观测器特征多项式例题例题（续（续1）：计算：计算要求设计观测器，观要求设计观测器，观测器的极点为测器的极点为 -3, -3已知已知4、比较系数即得反馈增益阵、比较系数即得反馈增益阵最后得到观测器的方程最后得到观测器的方程练习：观测器设计练习：观测器设计要求设计观测器，观要求设计观测器，观测器的极点为测器的极点为 -3, -3已知已知答案答案1、判断系统的能观性。能观则一定可以设计全维、判断系统的能观性。能观则一定可以设计全维观测器观测器2、根据已知的观测器极点位置，计算期望的观测、根据已知的观测器极点位置，计算期望的观测器特征多项式器特征多项式3、计算观测器的特征多项式、计算观测
10、器的特征多项式 detsI-(A-HC)4、比较系数，得到增益矩阵、比较系数，得到增益矩阵HAgenda全维状态观测器全维状态观测器带观测器的闭环系统带观测器的闭环系统带状态观测器的闭环系统带状态观测器的闭环系统带观测器的闭环系统方程带观测器的闭环系统方程原系统方程原系统方程观测器方程观测器方程状态反馈状态反馈闭环系统方程为闭环系统方程为数数维数吧！数数维数吧！引入状态估计误差，化简闭环系统引入状态估计误差，化简闭环系统闭环系统方程闭环系统方程状态变换后闭环系统方程状态变换后闭环系统方程带状态观测器闭环系统的特征多项式带状态观测器闭环系统的特征多项式注意：状态变换不改变系统矩阵的注意：状态变换
11、不改变系统矩阵的 闭环系统方程的特征多项式为闭环系统方程的特征多项式为状态反馈的极点状态反馈的极点和和观测器的极点观测器的极点相互独立相互独立闭环极点由两部分组成：直接状态反馈闭环极点由两部分组成：直接状态反馈A-BK的极的极点，状态观测器点，状态观测器A-HC的极点。的极点。分离原理分离原理观测器的引入不影响状态反馈增益矩阵观测器的引入不影响状态反馈增益矩阵K所所配置的系统极点；而状态反馈的引入也不影配置的系统极点；而状态反馈的引入也不影响反馈增益矩阵响反馈增益矩阵H所配置的观测器的极点。所配置的观测器的极点。这称为控制器与观测器的分离性，也叫分离这称为控制器与观测器的分离性，也叫分离原理。
12、即状态反馈控制律的综合与观测器的原理。即状态反馈控制律的综合与观测器的综合可以独立进行。综合可以独立进行。所以，只要系统是所以，只要系统是能控能观能控能观的，状态反馈的的，状态反馈的任意极点配置任意极点配置与观测器的与观测器的任意极点配置任意极点配置可以可以分别独立进行。分别独立进行。带状态观测器闭环系统的其他属性带状态观测器闭环系统的其他属性2、传递函数中发生了、传递函数中发生了零极点相消零极点相消。系统不再保持完。系统不再保持完全能控，其能控部分为全能控，其能控部分为A-BK，B，C。1、直接状态反馈和观测器状态反馈闭环系统的、直接状态反馈和观测器状态反馈闭环系统的传传递函数（矩阵递函数（
13、矩阵) 相同相同。即：。即：GK(s)=GHK(s)4、观测器观测器综合原则综合原则：把观测器特征值负实部取为：把观测器特征值负实部取为（A-BK）特征值负实部的）特征值负实部的2-3倍。倍。3、HK的鲁棒性的鲁棒性：一般地，观测器的引入会使状：一般地，观测器的引入会使状态反馈控制系统的态反馈控制系统的鲁棒性变坏鲁棒性变坏。改善的途径是使用。改善的途径是使用回路传递函数矩阵恢复回路传递函数矩阵恢复(loop transfer recovery)技术。技术。Recapitulation小结小结（全维）状态观测器的概念（全维）状态观测器的概念状态观测器的设计状态观测器的设计分离原理分离原理下次课内容：李亚普诺夫稳定性下次课内容：李亚普诺夫稳定性作业作业
