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1、高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民证明：证明：一、链锁法则一、链锁法则第四节第四节 复合函数微分法复合函数微分法定理定理设设u= (t)及及v= (t)在点在点t可导，可导，z=f (u, v)在其对应在其对应点点(u, v)具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数z=f( (t), (t)在点可在点可导，导，且有下列公式计算：且有下列公式计算：则则又因又因z=f (u, v)在在 (u, v)具有连续偏导数，具有连续偏导数，7/23/20241 1高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民注：注：以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数。全导数。7/2
2、3/20242 2高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民定理结论的多种推广：定理结论的多种推广：zuvwt(1)zu v(2)x yzuw v(3)xy7/23/20243 3高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民(4)zux yxyx, y为自变量为自变量x, y为中间变量为中间变量7/23/20244 4高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例4 设设u=f (x, y)具有具有连续的连续的二阶偏导数二阶偏导数, 求下列表达式在求下列表达式在极坐标系下的形式：极坐标系下的形式：解：解：(1)7/23/20245 5高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨
3、益民7/23/20246 6高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民注意利用注意利用已有公式已有公式7/23/20247 7高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民7/23/20248 8高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性1. 设z=f (u, v)具有具有连续偏偏导数，数，则 此时此时u、v为自变量。为自变量。2. 设z=f (u, v)具有具有连续偏偏导数，且数，且u= (x,y), v= (x,y)也也具有具有 连续偏导数，连续偏导数，则 z=f ( (x,y), (x,y) 的全微分为：的全微分为：全微分形式不变性：
4、全微分形式不变性：无论无论u, v是自变量还是中间变量，是自变量还是中间变量， z=f (u, v)的全微分形式完全一样。的全微分形式完全一样。7/23/20249 9高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民解：解：7/23/20241010高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民课外作业课外作业7/23/20241111高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式本节讨论本节讨论 :1) 方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数 。例如例如, 方程方程当当 C 0 时时, 不能确定隐函数不能确定隐函数;2)
5、 在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时,研究其研究其连续性、可微性连续性、可微性 及及求导方法求导方法问题问题 。7/23/20241212高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民一、一个方程的情形一、一个方程的情形证明：仅形式推导证明：仅形式推导7/23/20241313高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民若若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续, ,则还有则还有二阶导数二阶导数 :7/23/20241414高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例1 验证方程验证方程在在 (0,0)某邻域某邻域可确可确定定一个一个单值可导隐函数单
6、值可导隐函数y=f (x)，并求并求 。解：解：连续连续 ,由由 定理定理1 可知可知,在在 (0,0)的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值可导的隐函数导的隐函数 则则令令7/23/20241515高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民另解另解 ( (利用隐函数求导法利用隐函数求导法) )例例2 求曲线求曲线 xy2x + 2y = 0在在(0, 0)处的切线方程。处的切线方程。隐函数存在定理隐函数存在定理2（略）（略） 形式推导公式：形式推导公式：7/23/20241616高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民解法解法1 利用隐函数求导法利用隐函数求导法解法解法
7、2 利用公式利用公式例例 5连续偏导数连续偏导数, 求：求： 。已知已知z=f (x, y)由由方程方程 确定，其中确定，其中F具有具有7/23/20241717高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民二、方程组的情形二、方程组的情形确定了确定了问：问：隐函数存在定理隐函数存在定理3（自学）（自学）由克莱姆法则解此方程组即可。由克莱姆法则解此方程组即可。7/23/20241818高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民7/23/20241919高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例7 已知已知z=F(x, y), G(x, y, t)=0，其中，其中F和和G具有连续的偏导具有连续的偏导 数，求：数，求： 。注意注意：自变量个数：自变量个数 = 变量总个数变量总个数 方程总个数方程总个数谁是自变量？谁是自变量？谁是谁是因变量？由题设所求对象判定。因变量？由题设所求对象判定。7/23/20242020高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民课外作业课外作业7/23/20242121
