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1、弹塑性力学部分习题解答弹塑性力学部分习题解答 第一部分 静力法内容7/23/20247/23/20241 1题题1-1将下面各式展将下面各式展开开（1）. （2）. （3）. e 为体积应变为体积应变7/23/20247/23/20242 2题题1-2证明证明下面各式成立，下面各式成立，题题1-3利用指标符号推导位移法基本方程利用指标符号推导位移法基本方程（1）. eijk ai aj = 0（2）.若若 ij = ji , ij = - j i , 则则 ij ij = 07/23/20247/23/20243 3题题1-3利用指标符号推导位移法基本方程利用指标符号推导位移法基本方程解：解：
2、位移法基本方程为用位移表示的平衡微分方程位移法基本方程为用位移表示的平衡微分方程7/23/20247/23/20244 4题题1-3而而则则7/23/20247/23/20245 5题题1-3注意哑标可换标注意哑标可换标7/23/20247/23/20246 6题题1-3代入代入得得7/23/20247/23/20247 7题题1-4等截面柱体在自重作用下，应力解为等截面柱体在自重作用下，应力解为 x= y= xy= yz= zx=0 , z= gz，试求位试求位移。移。xzlx y7/23/20247/23/20248 8题题1-5等截面直杆（无体力作用），杆轴等截面直杆（无体力作用），杆轴
3、方向为方向为 z 轴轴, ,已知直杆的位移解为已知直杆的位移解为其中其中 k 为待定常数，为待定常数， (xy)为待定函数为待定函数，试写出应力分量的表达式和位移法方程。试写出应力分量的表达式和位移法方程。7/23/20247/23/20249 9题题1-6半空间体在自重半空间体在自重 g 和表面均布压力和表面均布压力q 作用下的位移解作用下的位移解为为 u = v = 0,试求试求 x/ z ( (应力比应力比).).7/23/20247/23/20241010题题1-7图示梯形截面墙体完图示梯形截面墙体完全置于水中，设水的密度为全置于水中，设水的密度为 ，试写出墙体各边的边界条试写出墙体各
4、边的边界条件。件。题题1-8图示薄板两端受均匀拉力作用，试图示薄板两端受均匀拉力作用，试确定边界上确定边界上 A点和点和O点的应力值。点的应力值。 hy xOhABCDqx yq o A 7/23/20247/23/20241111题题1-9图示悬臂薄板，已知板内的应力分图示悬臂薄板，已知板内的应力分量为量为 x=ax、 y=a(2x+y-l-h)、 xy=-ax, , 其其中中a为常数为常数（设（设a 0）。）。其余应力分量为其余应力分量为零。求此薄板所受零。求此薄板所受的体力、边界荷载和应的体力、边界荷载和应变。变。x yo450lh解：解：1、求体积力求体积力7/23/20247/23/
5、20241212题题1-9x yo450lh2、求边界力求边界力 x=ax、 y=a(2x+y-l-h)、 xy= -ax在在 x=0 边界：边界：l1= -1 , l2 = 0 x= 0、 xy= 0在在 y=l 边界：边界：l1= 0 , l2 = 1 y=a(2x-h)、 xy= -ax7/23/20247/23/20241313题题1-9x yo450lh2、求边界力求边界力在在 x+y=l +h边界：边界：l1= l2 = cos450 x=ax、 y=ax、 xy= -ax3、求应变求应变 x=ax、 y=a(2x+y-l-h)、 xy= -ax可得应变表达式。可得应变表达式。7/
6、23/20247/23/20241414题题1-10图示矩形薄板，厚度为单位图示矩形薄板，厚度为单位1 1。已。已知其位移分量表达式为知其位移分量表达式为 式中式中E、 为弹性模量和泊松系数。为弹性模量和泊松系数。试（试（1）求应力分量和体积力分量；）求应力分量和体积力分量；（2）确定各边界上的面力。）确定各边界上的面力。lhyxOh解：解：1、求应变求应变7/23/20247/23/20241515题题1-10lhyxOh2 2、求应力（平面应力问题）、求应力（平面应力问题）7/23/20247/23/20241616题题1-10lhyxOh4 4、求、求边界边界力力3、求体积力求体积力左右
7、边界和下边界无面力；上左右边界和下边界无面力；上边界面力为均匀拉力边界面力为均匀拉力 g gl 。7/23/20247/23/20241717题题1-11设有一无限长的薄板，上下两端固设有一无限长的薄板，上下两端固定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。设：设： u = 0、 v = v(y) xyb go位移解为位移解为7/23/20247/23/20241818其中其中 V V 是是势函数，则应力分量亦可用应势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为力函数表示为 题题1-12试证明，如果体力虽然不是常量，试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即但却是有势力
8、，即 7/23/20247/23/20241919题题1-13试分析下列应力函数能解决什么试分析下列应力函数能解决什么问题？设无体力作用。问题？设无体力作用。2coxyl解：解：1、将将 代入代入 4 =0 满足满足, , 为应力函数。为应力函数。 2 2、求应力（无体力）、求应力（无体力）7/23/20247/23/20242020题题1-132coxyl3 3、求边界力、求边界力7/23/20247/23/20242121题题1-132coxyl在在 y= -c 边界：边界：l1= 0 , l2 = -1在在 y= c 边界：边界：l1= 0 , l2 = 17/23/20247/23/2
9、0242222题题1-132coxyl在在 x = 0 边界：边界：l1= -1 , l2 = 07/23/20247/23/20242323题题1-132coxyl在在 x = l 边界：边界：l1= 1 , l2 = 07/23/20247/23/20242424题题1-13在在 x = l 边界：边界：l1= 1 , l2 = 0oxylFlqqFF7/23/20247/23/20242525试（试（1 1）列出求解的待定）列出求解的待定系数的方程式，（系数的方程式，（2 2）写）写出应力分量表达式。出应力分量表达式。题题1-14图示无限大楔形体受水平的常体图示无限大楔形体受水平的常体积
10、力积力 q 作用作用, ,设应力函数为设应力函数为yxqo 解：解：1、将将 代入代入 4 =0 满足满足, , 为应力函数。为应力函数。 7/23/20247/23/20242626题题1-14yxqo 2 2、求应力（有常体积力）、求应力（有常体积力）体积力体积力7/23/20247/23/20242727题题1-14yxqo 3 3、由边界条件确定待定系数、由边界条件确定待定系数在在 y= 0 边界：边界： l1= 0 , l2 = -1a = 0、b = 07/23/20247/23/20242828题题1-14yxqo 在在 y= xtg 边界：边界：l1= cos(900+ )=
11、-sin , l2 = cos 7/23/20247/23/20242929题题1-14yxqo 应力分量表达式应力分量表达式 7/23/20247/23/20243030（1 1）题题1-15设弹性力学平面问题的体积力为设弹性力学平面问题的体积力为零，且设零，且设试（试（1 1）检验该函数是否可以作为应力）检验该函数是否可以作为应力函数；（函数；（2 2）如果能作为应力函数，求）如果能作为应力函数，求应力分量的表达式。应力分量的表达式。（2 2）7/23/20247/23/20243131试试由边界条件确定由边界条件确定 C1 和和 C2 。题题1-16圆环匀速（圆环匀速（ ）转动转动，圆盘
12、密度为圆盘密度为 ，且设且设 ur 表达式为表达式为x yb ra解：解：边界条件为：边界条件为： ( r）r=a=0, ( r）r=b=0 应力应力 r（平面（平面应力问题）应力问题）：7/23/20247/23/20243232由边界条件确定由边界条件确定 C1 和和 C2 ：题题1-16x yb ra应力应力 ：7/23/20247/23/20243333题题1-17图示图示无体力的矩形薄板，薄板内有无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔（圆孔半径一个小圆孔（圆孔半径a 很小），且薄板受很小），且薄板受纯剪切作用，纯剪切作用，试求孔边最大和最小应力试求孔边最大和最小应力。qx yq7/23
13、/20247/23/20243434题题1-18图示一半径为图示一半径为a 的圆的圆盘（材料为盘（材料为E E1 1, , 1 1）, , 外套外套以以a r b 的圆环（材料为的圆环（材料为E E2 2, , 2 2），），在在 r= b 处作用外处作用外压压q, ,设体积力为零设体积力为零, ,试写出该试写出该问题解的表达式以及确定表问题解的表达式以及确定表达式中待定系数的条件达式中待定系数的条件abq解：解：圆盘圆盘为单连域，为单连域，圆环圆环为多连域；为多连域；轴对称问题，且轴对称问题，且体积力为零。体积力为零。7/23/20247/23/20243535题题1-18abq1、写出、写
14、出圆盘和圆环圆盘和圆环的应力和位移的表达式：的应力和位移的表达式：（1 1）圆盘（平面应力问题）的）圆盘（平面应力问题）的应力和位移的表达式：应力和位移的表达式： r= =2C1 ，ur= 2C1 r (1- 1)/E1（2 2）圆环（平面应力问题）的）圆环（平面应力问题）的应力和位移的表达式：应力和位移的表达式： r= A2 /r 2+ 2C2 ， = - A2 /r 2+ 2C1 ，ur= - (1+ 2)A2 /r + 2C2 r (1- 2)/E27/23/20247/23/20243636题题1-18abq边界条件：边界条件： ( r）r=b= -q 连续连续条件：条件：2、利用边界
15、条件和连续条件确定待定利用边界条件和连续条件确定待定系数的公式系数的公式：r = a时时 ：ur1 = ur2 ， r1 = r2 A2 /b2+ 2C2 = - q (1)7/23/20247/23/20243737题题1-18abqr = a时时 ：ur1 = ur2 ， r1 = r2 A2 /b2+ 2C2 = - q (1)2C1a (1- 1)/E1 =- (1+ 2)A2 /a + 2C2 a (1- 2)/E2 (2)2C1 = A2 /a2+ 2C2 (3)7/23/20247/23/20243838 (r, )= r2(Asin2 + B )/2 题题1-19图示图示半无限
16、平面薄板不计体力。已半无限平面薄板不计体力。已知在边界上有平行边界的面力知在边界上有平行边界的面力q q 作用。应作用。应力函数取为力函数取为试试（1 1）列列出出求求解解待待定定系系数数 A、B 的的方方程程式，（式，（2 2）写出应力分量表达式。）写出应力分量表达式。oxyrq 7/23/20247/23/20243939 (r, )= Acos2 + Bsin2 + C 题题1-20图示图示无体力的楔形体无体力的楔形体，顶端受集顶端受集中力偶中力偶作用，应力函数取为作用，应力函数取为试试（1 1）列列出出求求解解待待定定系系数数A、B、C的的方方程程式式，（2 2）写写出出应力分量表达式
17、。应力分量表达式。ox yM /2 /27/23/20247/23/20244040题题2-1图图示示结结构构各各杆杆等等截截面面杆杆，截截面面面面积积为为A,结结点点C承承受受荷荷载载P作作用用,材材料料应应力力应应变变关关系系分分别别为为（1） =E ，(2) =E 1/2 。试试计计算算结结构构的的应应变变能能U 和和应应变变余能余能Uc。第二部分 能量法内容lPCBAx ylC7/23/20247/23/20244141题题2-2分别分别利用虚位移原理、最小势能原利用虚位移原理、最小势能原理、虚应力原理和最小余能原理求解图示理、虚应力原理和最小余能原理求解图示桁架的内力。已知桁架各杆桁
18、架的内力。已知桁架各杆EA 相同，材相同，材料的弹性关系为料的弹性关系为 = E 。解：解：（1）虚位移虚位移原理原理求解图示桁架的内力求解图示桁架的内力桁桁架架在在荷荷载载作作用用下下，各各杆杆产产生生内内力力NAC 、NBC 、NDC和和变变形形，引引起起C点点位位移移：uc 和 vc（内内力力、变变形形和和位位移移是真实的）。是真实的）。lPCBAx ylD7/23/20247/23/20244242题题2-2lPCBAx ylD虚位移方程虚位移方程根据几何关系根据几何关系设桁架有虚位移，桁架有虚位移，C点虚位移点虚位移 uc 和 vc7/23/20247/23/20244343题题2-
19、2lPCBAx ylD由于由于 uc 和和 vc 为任意为任意的的,因此方程中因此方程中 uc 和和 vc 的系数为零，得的系数为零，得代入虚位移方程，得代入虚位移方程，得7/23/20247/23/20244444题题2-2lPCBAx ylD而而代入上式，解得代入上式，解得7/23/20247/23/20244545题题2-2则则7/23/20247/23/20244646题题2-2（3）虚应力虚应力原理求图示桁架的内力原理求图示桁架的内力lPCBAx ylD桁桁架架在在荷荷载载作作用用下下，各各杆杆产产生生内内力力NAC 、NBC 、NDC和和变变形形，引引起起C点点位位移移：uc 和
20、vc（内内力力、变变形形和和位位移移是真实的）。是真实的）。设桁架有虚内力，对应于桁架有虚内力，对应于无荷载情况，无荷载情况， NAC 、 NBC 、 NDClCBAx ylD7/23/20247/23/20244747题题2-2应用应用虚应力方程虚应力方程lPCBAx ylD即 NAC AC+ NBC BC+ NDC DC=0lCBAx ylD而而代入上式，并注意代入上式，并注意7/23/20247/23/20244848题题2-2 NAC + NBC cos450 =0 , NDC + NBC cos450 =0且虚应力任意的，得且虚应力任意的，得利用平衡方程，有利用平衡方程，有NBC =
21、（ NAC + NDC ）/2 （1）lPCBAx ylDNBC cos450 +NAC =0 （2）NBC cos450 +NDC + P =0 （3）联立求解，得联立求解，得7/23/20247/23/20244949题题2-2lPCBAx ylD7/23/20247/23/20245050题题2-4利利用用最最小小余余能能原原理理求求左左图图示示梁梁的的弯弯矩。矩。题题2-3左左图示梁受荷载图示梁受荷载作用，试利用虚位移原作用，试利用虚位移原理理或最小势能原理导或最小势能原理导出梁的平衡微分方程和出梁的平衡微分方程和力的边界条件。力的边界条件。 y qEI x l M y qEI x l
22、7/23/20247/23/20245151（1 1）悬臂梁受两）悬臂梁受两个集中力个集中力 P 作用。作用。（2 2）简简支支梁梁受受均均布布荷载荷载 q 作用作用, ,设：设：v =B1x(x-l)+B2x2(x-l) 。题题2-5利用虚位移原理的近似法或利用虚位移原理的近似法或Ritz 法法求解图示梁的挠曲线。求解图示梁的挠曲线。x yPEIl/2l/2P qEI y x l7/23/20247/23/20245252（1 1）悬臂梁受两）悬臂梁受两个集中力个集中力 P 作用。作用。题题2-5利用虚位移原理的近似法或利用虚位移原理的近似法或Ritz 法法求解图示梁的挠曲线。求解图示梁的挠
23、曲线。x yPEIl/2l/2P解：解：利用利用Ritz 法求解图示梁的挠曲线。法求解图示梁的挠曲线。设挠曲线为设挠曲线为满足位移边界条件：满足位移边界条件：7/23/20247/23/20245353梁的应变能梁的应变能:题题2-5x yPEIl/2l/2P外力势能外力势能:确定确定b1 , b27/23/20247/23/20245454梁的总势能梁的总势能:题题2-5x yPEIl/2l/2P外力势能外力势能: =U +V 由总势能由总势能 的变分的变分 = 0，得得7/23/20247/23/20245555题题2-5x yPEIl/2l/2P解得解得梁的挠曲线梁的挠曲线近似解为近似解
24、为7/23/20247/23/20245656u=0, v =B1 y(y-b)，求其位移解答。求其位移解答。题题2-6设有一无限长的薄板，上下两端固设有一无限长的薄板，上下两端固定，仅受竖向重力作用。定，仅受竖向重力作用。利用利用Ritz 法法求求其位移解答。其位移解答。设位移的近似解为设位移的近似解为xyb go解：解：所设位移满足位移边界条件。所设位移满足位移边界条件。体积力体积力7/23/20247/23/20245757将将u=0, v =B1 y(y-b) 代入代入下式，且下式，且题题2-6xyb go薄板薄板的总势能的总势能 =U +V 取取y轴两侧各轴两侧各1/21/2单单位长
25、度计算位长度计算7/23/20247/23/20245858将将u=0, v =B1 y(y-b) 代入代入下式，且下式，且题题2-6xyb go薄板薄板的总势能的总势能 =U +V 取取y轴两侧各轴两侧各1/21/2单单位长度计算位长度计算由总势能由总势能 的变分的变分 = 0，得得7/23/20247/23/20245959题题2-6xyb go得得位移解为位移解为本题的近似解碰巧与解析解一致。本题的近似解碰巧与解析解一致。7/23/20247/23/20246060题题2-71.1.试写出伽辽金法在梁弯曲问题的试写出伽辽金法在梁弯曲问题的求解方程。求解方程。 2. 2. 利用伽辽金法求图示简支梁的近利用伽辽金法求图示简支梁的近似解，设梁挠度的近似解为似解，设梁挠度的近似解为v=B1 sin（ x/l） 。 qEI y x l7/23/20247/23/20246161
