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1、华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.5 6.5 DFTDFT与与FFT FFT 第六章、数字信号处理技术第六章、数字信号处理技术1 1、离散傅立叶变换、离散傅立叶变换 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。一个专用名词。 x(t)截断、周期延拓截断、周期延拓xT(t)周期信号周期信号x xT T(t)(t)的的傅里叶变换：傅里叶变换：华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院第六章、数字信号处理技术第六章、数字信号处理技术 对周期信号对周期信号
2、x xT T(t)(t)采样，得离散序列采样，得离散序列xT(n), ,将将积分转为集合：积分转为集合：展开，得连续傅立叶变换计算公式：展开，得连续傅立叶变换计算公式： 用计算机编程很容易计算出指定频率点值：用计算机编程很容易计算出指定频率点值： 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院f=？ /计算的频率点计算的频率点Fs=?N=1024dt=1.0/Fspi=3.1415926 XR=0XI=0 For n=0 To N-1 XR=XR+x(n)*cos(2*pi*f*n*dt)*dt XI=XI+x(n)*sin(2*pi*f*n*dt)*dtNextA=sqr(XR*XR+XI*XI)
3、 Q=atn(XI/XR)VBScript 样例样例6.5 DFT与与FFT 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.5 DFT与与FFT 连续傅立叶变换编程计算实验：连续傅立叶变换编程计算实验： 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 采采样样信信号号频频谱谱是是一一个个连连续续频频谱谱，不不可可能能计计算算出所有频率点值，设频率取样间隔为：出所有频率点值，设频率取样间隔为：f = fs / N 频率取样点为频率取样点为0,0,f,2f,3f,.f,2f,3f,.，有：有： 6.5 DFT与与FFT 该公式就是离散傅立叶计算公式该公式就是离散傅立叶计算公式( (DFT)DFT)华中科技
4、大学机械学院华中科技大学机械学院6.5 DFT与与FFT 2 2、快速傅立叶变换、快速傅立叶变换 快快速速傅傅立立叶叶变变换换( (FFT)FFT)是是离离散散傅傅立立叶叶变变换换的的一一种种有有效效的的算算法法，通通过过选选择择和和重重新新排排列列中中间间结结果果，减减小小运算量。运算量。展开各点的展开各点的DFTDFT计算公式：计算公式：XR(1)=x(0).cos(2pi*0*1/N)+x(1).cos(2pi*1*1/N)+x(2).cos(2pi*2*1/N).XR(2)=x(0).cos(2pi*0*2/N)+x(1).cos(2pi*1*2/N)+x(2).cos(2pi*2*2
5、 /N).华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.5 DFT与与FFT 有大量重复的有大量重复的cos、sin计算，计算，FFTFFT的作用就是用技的作用就是用技巧减少巧减少cos、sin项重复计算。项重复计算。 当采样点数为当采样点数为10241024点点, ,DFTDFT要求一百万次以要求一百万次以上计算量，而上计算量，而FFTFFT则只要求一万次。则只要求一万次。 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.6 6.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数 第六章、数字信号处理技术第六章、数字信号处理技术1 1、栅栏效应、栅栏效应 为为提提高高效效率率, ,通通常常采采用用FFTFFT算
6、算法法计计算算信信号号频频谱谱，设设数数据据点点数数为为N，采采样样频频率率为为Fs。则则计计算算得得到到的的离离散频率点为散频率点为: : Xs(Fi) ， Fi = i *Fs / N , i = 0，1，2，.，N/2 X(f)f0f 如果信号中的频如果信号中的频率分量与频率取样点率分量与频率取样点不重合，则只能按四不重合，则只能按四舍五入的原则，取相舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线邻的频率取样点谱线值代替。值代替。 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.5 DFT与与FFT 栅栏效应误差实验：栅栏效应误差实验： 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.6 栅栏效应与窗函数
7、栅栏效应与窗函数 2 2 能量泄漏与栅栏效应的关系能量泄漏与栅栏效应的关系 频频谱谱的的离离散散取取样样造造成成了了栅栅栏栏效效应应，谱谱峰峰越越尖尖锐，产生误差的可能性就越大。锐，产生误差的可能性就越大。 例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。无穷大。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数 实际应用中，由于信号截断的原因，产生了实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相能量泄漏，即使信号频
8、率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。等，也能得到该频率分量的一个近似值。 从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数 能能量量泄泄漏漏分分主主瓣瓣泄泄漏漏和和旁旁瓣瓣泄泄漏漏，主主瓣瓣泄泄漏漏可可以以减减小小因因栅栅栏栏效效应应带带来来的的谱谱峰峰幅幅值值估估计计误误差差，有有其其好好的的一一
9、面面，而而旁旁瓣瓣泄泄漏漏则则是是完完全全有有害害的。的。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数 3 3 常用的窗函数常用的窗函数 1 1）矩形窗）矩形窗 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数 2 2）三角窗）三角窗 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数 3 3）汉宁窗）汉宁窗华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数 常用窗函数常用窗函数华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.5 DFT与与FFT 窗函数在减小栅栏效应误差
10、中的作用实验：窗函数在减小栅栏效应误差中的作用实验： 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.5 DFT与与FFT 总结：总结：信号截断信号截断能量泄漏能量泄漏FFTFFT栅栏效应栅栏效应从克服栅栏效应误差角度看，能量泄漏是有利的。从克服栅栏效应误差角度看，能量泄漏是有利的。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.5 DFT与与FFT 通过加窗控制能量泄漏，减小栅栏效应误差：通过加窗控制能量泄漏，减小栅栏效应误差：加矩形窗加矩形窗加加汉宁窗汉宁窗华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数 动手做：动手做：设计一个离散傅立叶计算设计一个离散傅立叶计算
11、程序，计算方波的频谱。程序，计算方波的频谱。观察观察栅栏效应带来的计算栅栏效应带来的计算误差误差。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数 思考题：思考题：1.1.A/DA/D，D/AD/A转换器的主要技术指标有那些转换器的主要技术指标有那些 ？2.2.信号量化误差与信号量化误差与A/DA/D，D/AD/A转换器位数的关系转换器位数的关系 ？3.3.采样定理的含义，当不满足采样定理时如何计算采样定理的含义，当不满足采样定理时如何计算 混迭频率混迭频率 ？4.4.A/DA/D采样为何要加抗混迭滤波器，其作用是什麽？采样为何要加抗混迭滤波器，其作用是什麽？ 5.5.数字信号处理中采样信号的频谱为何一定会产生数字信号处理中采样信号的频谱为何一定会产生 能量泄漏能量泄漏 ？6.6.用用FFTFFT计算的频谱为何一定会存在栅栏效应误差计算的频谱为何一定会存在栅栏效应误差 ？ 7.7.窗函数的作用是什麽窗函数的作用是什麽 ？
