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1、小学奥数走停问题走停问题教学目标教学目标1、 学会化线段图解决行程中的走停问题2、 能够运用等式或比例解决较难的行程题3、 学会如何用枚举法解行程题知识点拨知识点拨本讲中的知识点较为复杂，主要讲行程过程中出现休息停顿等现象时的问题处理。解题办法比较驳杂。例题精讲例题精讲【例【例 1 1】龟兔进行龟兔进行10000米跑步比赛。兔每分钟跑米跑步比赛。兔每分钟跑400米，龟每分钟跑米，龟每分钟跑80 米，兔每跑米，兔每跑5分钟歇分钟歇25分钟，分钟，谁先到达终点？谁先到达终点？【解析】【解析】龟所用的时间是1000080 125（分钟），兔子跑的时间是10000400 25（分钟），歇了(2551)
2、25 100（分钟），共用25100 125（分钟）。所用的时间相同，因此同时到达。【巩固】【巩固】 龟兔赛跑，全程龟兔赛跑，全程 6 6 千米，兔子每小时跑千米，兔子每小时跑 1515 千米，乌龟每小时跑千米，乌龟每小时跑 3 3 千米，乌龟不停的跑，但兔子千米，乌龟不停的跑，但兔子边跑边玩，它先跑边跑边玩，它先跑 1 1 分钟后玩分钟后玩 2020 分钟，又跑分钟，又跑 2 2 分钟后玩分钟后玩 2020 分钟，再跑分钟，再跑 3 3 分钟后玩分钟后玩 2020 分钟分钟问它们谁胜利了？胜利者到终点时，另一个距离终点还有多远？问它们谁胜利了？胜利者到终点时，另一个距离终点还有多远？【解析】
3、【解析】乌龟不停的跑，所以乌龟跑完全程需要63 2(小时)，即 120 分钟，由于兔子边跑边玩，120 205 （ 1 23 45 ） 5，也就是兔子一共跑了1 23 455 20(分钟)，跑了206015 5(千米)，即乌龟到达终点时，兔子刚刚跑了 5 千米，所以乌龟胜利了，领先兔子65 1(千米)【例【例 2 2】甲、乙两人分别从相距甲、乙两人分别从相距 35.835.8 千米的两地出发，相向而行甲每小时行千米的两地出发，相向而行甲每小时行 4 4 千米，但每行千米，但每行 3030 分分钟就休息钟就休息 5 5 分钟；乙每小时行分钟；乙每小时行 1212 千米，则经过千米，则经过_小时小
4、时_分的时候两人相遇分的时候两人相遇【解析】【解析】经过 2 小时 15 分钟的时候， 甲实际行了 2 小时， 行了 42=8 千米，乙则行了1221 27千4米，两人还相距 35.8278=0.8 千米，此时甲开始休息，乙再行 0.81260=4 分钟就能与甲相遇所以经过 2 小时 19 分的时候两人相遇【巩固】【巩固】 甲乙两人同时从甲乙两人同时从 A A 地出发，以相同的速度向地出发，以相同的速度向 B B 地前进。甲每行地前进。甲每行 5 5 分钟休息分钟休息 2 2 分钟；乙每行分钟；乙每行 210210米休息米休息 3 3 分钟。甲出发后分钟。甲出发后 5050 分钟到达分钟到达
5、B B 地，乙到达地，乙到达 B B 地比甲迟了地比甲迟了 1010 分钟。已知两人最后一次分钟。已知两人最后一次的休息地点相距的休息地点相距 7070 米，两人的速度是每分钟行多少米？米，两人的速度是每分钟行多少米？【解析】【解析】50【例【例 3 3】在在 400400 米的环行跑道上，米的环行跑道上，A A，B B 两点相距两点相距 100100 米。甲、乙两人分别从米。甲、乙两人分别从 A A，B B 两点同时出发，两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 5 米，乙每秒跑米，乙每秒跑 4 4 米，每人每跑米，每人每跑 100100 米，都要停米，都要
6、停 1010 秒钟。秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？那么甲追上乙需要时间是多少秒？小学奥数小学奥数【解析】【解析】甲实际跑 100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑 100/5=20（秒） ，休息 10 秒； 乙跑 100/4=25（秒） ，休息 10 秒，甲实际跑 100 秒时，已经休息 4 次，刚跑完第 5 次，共用 140 秒； 这时乙实际跑了 100 秒，第 4 次休息结束。正好追上。【巩固】【巩固】 绕湖一周是绕湖一周是 2424 千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行，小王以每小时千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行，小王以每小时4 4 千米的速千米的速
7、度每走度每走 1 1 小时后休息小时后休息 5 5 分钟，小张以每小时分钟，小张以每小时 6 6 千米的速度每走千米的速度每走 5050 分钟休息分钟休息 1010 分钟，两人出发分钟，两人出发多长时间第一次相遇？多长时间第一次相遇？【解析】【解析】2 时 40 分【例【例 4 4】邮递员早晨邮递员早晨 7 7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走1212 千米上坡路，千米上坡路，8 8 千米下坡千米下坡路他上坡时每小时走路他上坡时每小时走 4 4 千米，下坡时每小时走千米，下坡时每小时走 5 5 千米，到达目的地停留千米，到达目的地停留 1 1
8、 小时以后，又从小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？【解析】【解析】从整体上考虑，邮递员走了128=20 千米的上坡路，走了128=20 千米的下坡路，所以共用时间为： 204205=9 (小时)，邮递员是下午 7+1012=5 (时) 回到邮局。【巩固】【巩固】 小红上山时每走小红上山时每走 3030 分钟休息分钟休息 1010 分钟，分钟， 下山时每走下山时每走 3030 分钟休息分钟休息 5 5 分钟分钟. .已知小红下山的速度是上已知小红下山的速度是上山速度的山速度的 2 2 倍，如果上山用了倍，如果上山用了 3 3 时时 5050
9、 分，那么下山用了多少时间？分，那么下山用了多少时间？【解析】【解析】上山用了 3 时 50 分，即603+50=230（分） ，由230（30+10）=530，得到上山休息了5 次，走了 230-105=180 （分） .因为下山的速度是上山的2 倍， 所以下山走了 1802=90 （分） .由 9030=3知，下山途中休息了 2 次，所以下山共用 90+52=100（分）=1 时 40 分.【巩固】【巩固】 某人上山时每走某人上山时每走 3030 分休息分休息 1010 分，下山每走分，下山每走 3030 分休息分休息 5 5 分。已知下山的速度是上山速度的分。已知下山的速度是上山速度的
10、1.51.5倍，如果上山用了倍，如果上山用了 3 3 时时 5050 分，那么下山用多少时间？分，那么下山用多少时间？【解析】【解析】2 时 15 分【例【例 5 5】一辆汽车原计划一辆汽车原计划 6 6 小时从小时从 A A 城到城到 B B 城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了 3030 分钟。分钟。如果按照原定的时间到达如果按照原定的时间到达 B B 城，汽车在后一半路程的速度就应该提高城，汽车在后一半路程的速度就应该提高 1212 千米千米/ /时，那么时，那么 A A、B B两城相距多少千米？两城相距多少千米？【解析】【解析】3 汽车行
11、驶了一半路程即行驶了 3 小时，那么他后一半路程行驶了 2.5 小时，2.5 小时比原来 2.5小时多行驶2.512=30千米。 则原来的速度为30 （3-2.5） =60 （千米） 。 那么A、 B两地相距606=360（千米）【巩固】【巩固】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行 750750 米，预计米，预计 5050 分钟到达但汽车行驶到路程的分钟到达但汽车行驶到路程的3/53/5 时，时，出了故障，用出了故障，用 5 5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每
12、分钟必须比原来快多少米？分钟必须比原来快多少米？【解析】【解析】当以原速行驶到全程的 3/5 时，总时间也用了 3/5，所以还剩下 50(13/5)=20 分钟的路程；修理完毕时还剩下 205=15 分钟， 在剩下的这段路程上， 预计时间与实际时间之比为 20 :15= 4 : 3,根据路程一定，速度比等于时间的反比， 实际的速度与预定的速度之比也为 4 : 3，因此每分钟应比原来快 7504/3750=250 米【例【例 6 6】一列火车出发一列火车出发 1 1 小时后因故停车小时后因故停车 0.50.5 小时，小时，然后以原速的然后以原速的 3/43/4 前进，前进，最终到达目的地晚最终到
13、达目的地晚 1.51.5 小小时时若出发若出发 1 1 小时后又前进小时后又前进 9090 公里再因故停车公里再因故停车 0.50.5 小时，小时，然后同样以原速的然后同样以原速的 3/43/4 前进，前进，则到则到达目的地仅晚达目的地仅晚 1 1 小时，那么整个路程为多少公里？小时，那么整个路程为多少公里？【解析】【解析】出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的3前进，最终到达目的地晚1.5 小时，所以后4小学奥数小学奥数33前进的时间比原定时间多用1.50.51小时，而速度为原来的，所用时间为原4444来的，所以后面的一段路程原定时间为1(1) 3小时，原定全程为 4 小时；出
14、发 1 小时333后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚 1 小时，44类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程原定时间为(10.5)(1)1.5小时 所以原速度3行驶 90 公里需要 1.5 小时，而原定全程为 4 小时，所以整个路程为901.54240公里面以原速的【例【例 7 7】一列客车和一列货车同时从两地相向开出，经过一列客车和一列货车同时从两地相向开出，经过 1818 小时两车在某处相遇，已知客车每小时行小时两车在某处相遇，已知客车每小时行5050 千米，货车每小时比客车少行千米，货车每小时比客车少行 8 8 千米，货车每行千米，货车
15、每行 3 3 小时要停驶小时要停驶 1 1 小时。问：两地之间的铁路小时。问：两地之间的铁路长多少千米？长多少千米？【解析】【解析】1488【例【例 8 8】一辆汽车从甲地开往乙地，一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行每分钟行 750750 米，米，预计预计 5050 分钟到达分钟到达. .但汽车行驶到路程但汽车行驶到路程 3/53/5 时，时，出了出了故障，用故障，用 5 5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？必须比原来快多少米？【解析】【解析】当以原速行驶到全程的3
16、33时，总时间也用了，所以还剩下50(1 ) 20分钟的路程；修理555完毕时还剩下20515分钟， 在剩下的这段路程上， 预计时间与实际时间之比为20:15 4:3，43所以相应的速度之比为4:3，因此每分钟应比原来快750 250米.3【例【例 9 9】甲、乙两站相距甲、乙两站相距420420 千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行6060 千米，货车千米，货车每小时行每小时行 4040 千米千米. .客车到达乙站后停留客车到达乙站后停留 1 1 小时，又以原速返回甲站小时，又以原速返回甲站. .则两车迎面相遇的地点离乙则两
17、车迎面相遇的地点离乙站有多少千米？站有多少千米？【解析】【解析】两车相遇时，S和 4202 840千米，要用公式S和 (v1 v2)t，应使得两车的时间保持一致，而客车中途停留了 1 小时，可以看作货车提前行驶 1 小时，所以将此间货车行驶的 40 千米减去，取S和84040 800千米，t 客车行驶的时间 800(4060)8小时，因此客车行驶了608 480 42060千米，相遇地点距离乙站60 千米.【例【例 10 10】 乙二人从乙二人从 A A、B B 两地同时出发相向而行，两地同时出发相向而行，甲每分钟行甲每分钟行 8080 米，米，乙每分钟行乙每分钟行 6060 米米. .出发一
18、段时间后，出发一段时间后，二人在距离中点二人在距离中点 120120 米处相遇米处相遇. .如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，二人还将在距中点如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，二人还将在距中点 120120米处相遇米处相遇. .问：甲在途中停留了多少分钟？问：甲在途中停留了多少分钟？【解析】【解析】第一次，甲比乙多走的路程S差1202 240米，根据公式S差 (v1v2)t，可知两人的相遇时间为240(8060) 12min， 两地相距(8060)12 1680米； 两次相遇地点关于中点对称，则可知，乙第二次比第一次多走的路程也是S差1202 240米，所以乙比第一次多用了甲第二次比第一次
19、少走的路程也是240 米， 甲比第一次少用了240803分24060 4分钟；钟，所以甲在途中停留了437分钟.小学奥数小学奥数【例【例 11 11】 甲每分钟走甲每分钟走 8080 千米，乙每分钟走千米，乙每分钟走 6060 千米千米. .两人在两人在 A , BA , B 两地同时出发相向而行在两地同时出发相向而行在 E E 相遇，如果相遇，如果甲在途中休息甲在途中休息 7 7 分钟，则两人在分钟，则两人在F F 地相遇，已知为地相遇，已知为C C 为为 ABAB 中点，而中点，而EC=FCEC=FC，那么，那么ABAB 两地相两地相距多少千米？距多少千米？4份AFCE3份B3份【解析】【
20、解析】由速度比甲：乙=4：3得 AE:BE=4:3即假设 AE 为 4 份，则 BE 为 3 份. 因为 C 为中点，且EC=FC 所以 AF=3 份.在速度比不变的情况下， 同样的时间甲走 3 份路程， 乙应该走 3=2路程.那么， 在甲休息时， 乙多走的 7 分钟路程就相当于 4 份27=1680 千米【巩固】【巩固】 一辆货车从甲地开往乙地需要一辆货车从甲地开往乙地需要 7 7 小时，一辆客车从乙地开往甲地需要小时，一辆客车从乙地开往甲地需要 9 9 小时，两车同时从两地小时，两车同时从两地相对开出。中途货车因故停车相对开出。中途货车因故停车 2 2 小时，相遇时，客车比货车多行小时，相
21、遇时，客车比货车多行 3030 千米。甲、乙两地相距多少千米。甲、乙两地相距多少千米？千米？【解析】【解析】240【例【例 12 12】 甲、乙两人分别从相距甲、乙两人分别从相距 35.835.8 千米的两地出发，相向而行甲每小时行千米的两地出发，相向而行甲每小时行 4 4 千米，但每行千米，但每行 3030 分分钟就休息钟就休息 5 5 分钟；乙每小时行分钟；乙每小时行 1212 千米，则经过千米，则经过_小时小时_分的时候两人相遇分的时候两人相遇【解析】【解析】经过 2 小时 15 分钟的时候， 甲实际行了 2 小时， 行了 42=8(千米)， 乙则行了122341份417份=份.AB 总
22、距离为：（607）44741 27(千4米)两人还相距 35.8278=0.8（千米），此时甲开始休息，乙再行 0.81260=4 分钟就能与甲相遇所以经过 2 小时 19 分的时候两人相遇【例【例 13 13】 一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地，大轿车的速度是小轿车速度的一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地，大轿车的速度是小轿车速度的 0.80.8 倍已知大轿倍已知大轿车比小轿车早出发车比小轿车早出发 1717 分钟，它在两地中点停了分钟，它在两地中点停了5 5 分钟后，才继续驶往乙地；分钟后，才继续驶往乙地； 而小轿车出发后中而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大
23、轿车早途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4 4 分钟到达乙地又知大轿车是上午分钟到达乙地又知大轿车是上午1010 时时从甲地出发求小轿车追上大轿车的时间从甲地出发求小轿车追上大轿车的时间【解析】【解析】小轿车晚于大轿车从甲地出发，先于大轿车到达乙地，说明两车一定在中间某时间相遇如图13-4，A(甲地)与 B(乙地)中点记为 C则相遇地点可能在 AC 之间，可能在 C 点，也可能在 CB之间另一方面，大轿车先出发 17 分钟，晚到 4 分钟，中间又停了 5 分钟，一共比小轿车多走16 分，而大轿车的速度是小轿车的 0.8 倍从这里可以求出从 A 到 B 大、小轿车在不停的情况下各需要
24、多少时间，再根据三种情况按顺序判断相遇地点在哪里大轿车的速度是小轿车的 0.8倍，可以知道大轿车不停顿地从 A 到 B 所用的时间是小轿车的 1.25 倍；而由分析得出小轿车比大轿车少用 16 分钟，用差倍问题可以得出走完全程小轿车需要用时： 16(1.25-1)=64 分钟大轿车用时：641.25=80 分钟大轿车从A 到 C 用时 802=40 分钟，在C 停留 5 分钟，离开C 时 10时 45 分而小轿车在 10 时 17 分出发，经过 642=32 分钟到达 C，即 10 时 49 分到达 C也就是说，小轿车在 C 时，与大轿车相差大轿车 4 分钟行驶的路程而另一方面， 小轿车 10
25、 时 17+64分，即 11 时 21 分到达 B，此时大轿车距小轿车相差也是大轿车4 分钟的行驶的路程，只不过这一次小轿车在前面小轿车由在大轿车后面大轿车4 分钟的路程，变为大轿车前距大轿车4 分钟路程，易知小轿车一定在这两个时刻的中点与大轿车相遇，即10 点 49 分与 11 时 21 分的中点相遇即 11 时 5 分小轿车追上大轿车小学奥数小学奥数【例【例 14 14】 甲、甲、 乙两地相距乙两地相距 100100 千米千米, ,小张先骑摩托车从甲地出发小张先骑摩托车从甲地出发,1 ,1 小时后小李驾驶汽车从甲地出发小时后小李驾驶汽车从甲地出发, ,两人同两人同时到达乙地时到达乙地. .
26、摩托车开始速度是每小时摩托车开始速度是每小时 5050 千米千米, ,中途减速后为每小时中途减速后为每小时 4040 千米千米. .汽车速度是每小时汽车速度是每小时8080 千米千米, ,汽车曾在途中停驶汽车曾在途中停驶 1O1O 分钟分钟. .那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?. ?.【解析】【解析】汽车从甲地到乙地的行驶时问为 10080=1.25 小时=1 小时 15 分钟,加上中途停驶的 10 分钟,共用时 1 小时 25 分钟而小张先小李 1 小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了 2 小时 25分钟，即 2 最小时
27、以下给出两种解法：方法一 :设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后x小时,有 50x+4025 x100,解得1211x .所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后小时.33方法二:如果全程以每小时 50 千米的速度行驶,需 10050=2 小时的时间,全程以每小时 40 千米的速度行驶 ,需 10040=2.5 小时.依据鸡兔同笼的思想知 ,小张以每小时50 千米的速度行驶了2.525121的路程,即行驶了 1001100 50千米的路程,距出发5050 1小时.63332.526【例【例 15 15】 甲、甲、乙两人同时从乙两人同时从 A A、 B B 两点出发，两点出发，甲每分钟行甲每分钟行 8
28、080 米，米，乙每分钟行乙每分钟行 6060 米，米，出发一段时间后，出发一段时间后，两人在距中点的两人在距中点的 C C 处相遇；处相遇； 如果甲出发后在途中某地停留了如果甲出发后在途中某地停留了 7 7 分钟，分钟， 两人将在距中点的两人将在距中点的 D D 处处相遇，且中点距相遇，且中点距 C C 、 D D 距离相等，问距离相等，问 A A、 B B 两点相距多少米？两点相距多少米？【解析】【解析】甲、乙两人速度比为 80 : 60 =4 : 3，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的 4/7，乙走了全程的 3/7第二次甲停留， 乙没有停留， 且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的4/7，甲行了全程的3/7由于甲、乙速度比为 4 : 3，根据时间一定，路程 3/73/4 比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了，所以甲停留期间乙行了4/73/73/4=1/4，所以 A、B 两点的距离为 6071/4=1680(米)小学奥数
