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1、第9章 矩阵特征值问题的数值方法 9.1 特征值与特征向量9.2 Hermite9.2 Hermite矩阵特征值问题矩阵特征值问题9.3 Jacobi9.3 Jacobi方法方法9.4 9.4 对分法对分法9.5 9.5 乘幂法乘幂法9.6 9.6 反幂法反幂法9.7 QR9.7 QR方法方法9.1 特征值与特征向量 设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有数存在，满足 ， (1)那么，称x是矩阵A关于特征值的特征向量. 如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写为:记它是关于参数的n次多项式，称为矩阵A的特征多项式， 其中a0=(-1)nA. (2) 显然，当是A的一个特征值时，它必然是
2、的根. 反之，如果是 的根，那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式成立. 从而，是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根. 矩阵特征值和特征向量有如下主要性质： 定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3 n阶矩阵A与AT有相同的特征值. 定理9.1.4 设ij是n阶矩阵A的两个互异特 征值，x、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量，那么，xTy=0 . 9.2 Hermite矩阵特征值问题 设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为AH. 如果A=AH，那么，A称为Hermi
3、te矩阵.9.2.1 Hermite矩阵的有关性质 设 是Hermite矩阵A的n个特征值. 有以下性质: 全是实数. 有相应的n个线性无关的特征向量，它们可以化为一组标准酉交的特征向量组 ,即 是酉空间中的一组标准酉交基. 记U=( ),它是一个酉阵，即UHU=UUH=I，那么即A与以 为对角元的对角阵相似.A为正定矩阵的充分必要条件是 全为正数. 定理9.2.1 设 是Hermite矩阵A的n个特征值，那么证: 设x是一个非零向量，A是Hermite矩阵，称 为矩阵A关于向量x的Rayleigh商，记为R(x). 定理9.2.2 如果A的n个特征值为 其相应的标准酉交的特征向量为 那么有
4、定理9.2.3 设A是Hermite矩阵 ，那么9.2.2 极值定理 定理9.2.4(极值定理) 设Hermite矩阵的n个特征值为 ，其相应的标准酉交特征向量为 . 用Ck表示酉空间Cn中任意的k维子空间，那么9.2.3 Hermite矩阵特征值问题的性态 矩阵特征值问题与求解线性方程组问题一样，都存在当矩阵A的原始 数据有小变化(小扰动)时，引起特征值问题的变化有大有小的问题，如果引起的变化小，称 该特征值问题是良态的. 反之，称为病态的. 矩阵特征值问题的性态是很复杂的，通常分别就单个特征值或整体特征值给出状态数进行分 析. 对于Hermite矩阵，由于其特征值问题的特殊性质，其特征值都
5、是良态的.下面先证明Hermite矩阵特征值的扰动定理. 定理9.2.5 设矩阵A，E，A+E都是n阶Hermite矩阵，其特征值分别为 那么,证 设矩阵A关于特征值1，2，n 的标准酉交特征向量为u1，u2，un， 是由ui，ui+1，un生成的n-i+1维子空间. 对 中任意非零向量x,由极值定理,有由定理，又由定理，对任意x0，有从而有另一方面, A=(A+E)-E. 记 为矩阵-E的特征值，那么，重复上面的过程,可得从而有定理通常又称为Hermite矩阵特征值的扰动定理 定理9.2.6 设矩阵A和A=A+E都是n阶Hermite矩 阵，其特征值分别为 和 ，那么 这个定理表明，扰动矩阵
6、E使A的特征值的变化不会超过 E2. 一般E2小，因此，Hermite矩阵特征值是良态的. 9.3 Jacobi方法理论上，实对称矩阵A正交相似于以A的特征值为对角元 的 对角阵. 问题是如何构造这样的正交矩阵呢? Jacobi方法就是通过构造特殊的正交矩阵 序列，通过相似变换使A的非对角线元素逐次零化来实现对角化的. 9.3.1 平面旋转矩阵与相似约化先看一个简单的例子. 设 是二阶实对称矩阵，即a21=a12，其特征值为1，2. 令 使得 记 容易验证BT=B, 且解之得:当 时当 时 并规定9.3.2 经典的Jacobi方法 设A是实对称矩阵，记A1=A.Jacobi方法的基本思想是用迭
7、代格式 Ak+1=QTkAkQk , k=1,2, 构造一个相似矩阵序列，使Ak收敛于一个对角阵. 其中 Qk为平面旋转矩阵，其旋转角k由使Ak的绝对值 最大元a(k)pq=a(k)qp=0 或按列依次使A的非对角元 零化来确定. 定理9.3.1 设A是n阶实对称矩阵，那么由Jacobi方法产生的相似矩阵序列Ak的非对角元收敛于0. 也就是说，Ak收敛于以A的特征值为对角元的对角阵. 记 其中Ek是Ak除主对角元外的矩阵.由平面旋转矩阵的性质 中,对于 ,有因此,又由假设,因此,这样,便有从而,当9.3.3 实用的Jacobi方法 循环Jacobi方法必须一次又一次扫描，才能使Ak收敛于对角阵
8、 ，计算量很大. 在实际计算中，往往用一些特殊方法来控制扫描次数，减少计算量. 下面介 绍一种应用最为广泛的特殊循环Jacobi方法阈Jacobi方法. 阈Jacobi方法首先确定一个阈值，在对非对角元零化的一次扫描中，只对其中绝对值 超过阈值的非对角元进行零化. 当所有非对角元素的绝对值都不超过阈值后，将阈值减少， 再重复下一轮扫描，直至阈值充分小为止. 减少阈值的方法通常是先固定一个正整数Mn，扫描一次后，让 . 而阈值的下界是根据实际问题的精度要求选定的. 9.3.4 用Jacobi方法计算特征向量假定经过k次迭代得到Ak+1=RTkRT1AR1Rk，(15) 这时Ak+1是满足精度要求
9、的一个近似的对角阵. 如果记Qk=R1R2Rk=Qk-1Rk，(16) 那么，Qk是一个正交矩阵，且(15)式又可表示为Ak+1=QTkAQk.当Ak+1的非对角元素充分小，Qk的第 j列qj可以看成是近似特征值a(k+1)jj相应的特征向量了. 在实际计算中，可以按(16)式在迭代过程中形成Qk，把Qk看成是Qk-1右乘一个平面旋转矩阵得到. 不妨记 Q0=I，Qk的元素按下式计算：9.4 对分法 理论上，一个实对称矩阵正交相似于一个以其特征值为对角元的 对角阵. 但是，经典的结果告诉我们，一个大于4次的多项式方程不可能用有限次四则运算 求根. 因此，我们不可能期望只用有限次相似变换将一个实
10、对称矩阵约化为一个对角阵.下面先介绍将一个实对称矩阵相似约化为实对称三对角矩阵的方法，再讨论求其特征值的对 分法. 9.4.1 相似约化为实对称三对角矩阵 将一个实对称矩阵正交相似约化为一个实对称三对角矩阵的算法，可归纳如下： 记A(1)=A,对k=1,2,n-2 按(4)式、(5)式和(8)式计算 ； 按(9)(12)式，计算A(k+1). 9.4.2 Sturm序列的性质 设实对称三对角矩阵为 其中i0 (i=1,2,，n-1) 其特征矩阵为T-I. 记T-I的第i阶主子式为 这是关于的i次多项式，当i=n时， pn()=T-I是矩阵T的特征多项式. 令p0()1，则有p1()=1-，pi
11、()=(i-)pi-1()-2i-1pi-2()，i=2,3，n.(15) 多项式序列pi() (i=0,1,，n)称为Sturm序列 定理pi() (i=1,2,，n)的根都是 实根. 证 由(14)式，pi()是i阶实对称矩阵的特征多项式，因此，pi() (i=1,2,，n)的根全是实根. 定理定理9.4.2 设是pi()的一个根，那么 pi-1()pi+1()0，即相邻的两个多项式无公共根； pi-1()pi+1()0，即pi-1()与pi+1( )反号. 定理9.4.4 pi()的根都是单根，并且将pi+1()的根严格隔离. 9.4.3 同号数和它的应用定义1 设p0()1，pi()(
12、i=1,2,，n) 是一个Sturm序列，称相邻的两个数中符号一致的数目为同号数，记为ai(). 若某个pi()=0，规定与pi-1()反号. 定理9.4.5 设两个实数x3n，可以用乘幂法计算2及其相应的 特征向量. 在计算1和v后，按(15)式形成n-1阶矩阵B的计算过程称为收缩方法. 9.6 反幂法 反幂法可以求一个非奇异矩阵A的逆矩阵A-1的按模最小的特征值及相应的特征向量，又可以求A的一个近似特征值相应的特征向量.9.6.1 求按模最小特征值及相应特征向量的反幂法,又称为反迭代法.9.6.2 求近似特征值的特征向量的反幂法 先对矩阵 进行LU分解，记 那么， (7) 下面介绍一种选取
13、特殊的初始向量x0的反幂法半迭代法. 假设 ,选取初始向量x0满足x0=1，这时z0=x0.对照(7)式中的第二个式子.可把z0看成满足Le=z0.(8) 这里，e=(1,1，1)T，而z0的各个分量的取值多少是无关重要的.这样，在第一个迭代步的计算中，只需求解(7)式中的上三角方程组Ux1=e. “半迭代法”的命名也由此而得.9.7 QR方法 定理9.7.1设A是n阶矩阵，其n个 特征值为 .那么存在一个酉矩阵U，使UAU是以为 对角元的上三角矩阵. 9.7.1 两个基本定理定理9.7.2设A是n阶实矩 阵，那么，存在一个正交矩阵Q，使QAQ为一个准上三角矩阵，它的对角元是A的一个特征值，对
14、角元上的二阶块矩阵的两个特征值是A的一对共轭复特征值. 9.7.2 相似约化为上Hessenberg矩阵 对一般n阶矩阵，QR算法的每一个迭代步需要O(n)次乘法运算.如果矩 阵阶数稍大，这个算法几乎没有实际的应用价值.通常采用的方法是先将矩阵相似约化为上Hessenberg形式的矩阵，在此基础上应用QR迭代.这时，一个QR迭代步的乘法运算次数只需O(n）次. 所谓上Hessenberg矩阵是指一个n阶矩阵A，如果当ij+1时，aij=0，称A为上Hessenberg矩阵.例如：一个5阶的上Hessenberg矩阵具有如下的形式： 下面介绍QR方法时，都假设矩阵A是一个上Hessenberg矩
15、阵. 9.7.3 QR算法 设A是n阶矩阵且有QR分解AQR，(2) 这里，Q是酉矩阵，R是上三角矩阵.如果A是满秩并规定R有正对角元，这个分解是惟一的. 一、QR算法的基本思想 记AA且有AQ 1R1.将等号右边两个矩阵因子的次序交换，得ARQ，且 ，(3) 即AA.不难证明:即Ak+1AkA，矩阵序列Ak有相同的特征值. 记容易得到 是Ak的一个QR分解 如果A是一个满秩的上Hessenberg矩阵，可以证明，经过一个QR迭代步得到的A2QA1Q仍然是上Hessenberg矩阵. 因为上Hessenberg矩阵次对角线以下的元素全为0，因此，只要证明，当k时，由迭 代格式(4)产生的矩阵A
16、k的次对角元趋向于零就可以了. 二、 QR算法的收敛性 定理9.7.3设n阶矩阵A的n个特征值满足|n|0，其相应的n个线性无关特征向量为x1，x2，xn. 记X(x1,x2,xn), Y= X.如果Y存在LU分解，那么，由(4) 式产生的矩阵Ak基本收敛于上三角矩阵R.这里，基本收敛的含义指Ak的元素中除对角线以下的元素趋于零外，可以不收敛于R的元素. 三、 QR算法的迭代过程 1. 一个QR迭代步的计算 对l=1，2，n-1，构造n-1个平面旋转矩阵Pl,l+1,使A1的次对角元全部零化，实现A1的QR分解的计算，这里,用Pl,l+1右乘(24)，所得结果也放回矩阵A相应的元素中.2. Q
17、R算法的迭代控制 当迭代步数k充分大时，由迭代格式(4)产生的Ak的次对角元趋于0.在 实 际计算中，控制迭代次数常用的一种办法是，预先给定一个小的正数，在一个迭代步的计 算结束后，对l=n-1, n-2,，1，依次判别次对角元的绝对值是否满足 或更严格的准则是 或不太严格的准则是 如果上面三个不等式中有一个成立， 把 看做实际上为零. 9.7.4 带原点位移的算法 由算法收敛性证明可以看出，算法的收敛速度 依赖于矩阵相邻特征值的比 值.为了加快算法的收敛速度，在迭代过程中，对矩阵Ak确定一个原点位移量sk，称Ak-skI为带原点位移量的矩阵，再对Ak-skI应用算法.这时，迭代格式改为 称为带原点位移的QR算法
