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1、第第22讲讲相似三角形及其应用相似三角形及其应用 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 相似图形的有关概念相似图形的有关概念 相似图形相似图形形状相同的形状相同的图形称形称为相似相似图形形相似多边形相似多边形定定义如果两个多如果两个多边形形满足足对应角相等，角相等，对应边的比相等，那么的比相等，那么这两个多两个多边形相似形相似相似比相似比相似多相似多边形形对应边的比称的比称为相似相似比比k k相似三相似三角形角形两个三角形的两个三角形的对应角相等，角相等，对应边成比例，成比例，则这两个三角形相似当相似比两个三角形相似当相似比k k1 1时，两，两个三角形全等个三角形全等
2、第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 比例线段比例线段 定定义防防错提醒提醒比例比例线段段对于四条于四条线段段a a、b b、c c、d d，如果其中，如果其中两条两条线段的段的长度的比与另两条度的比与另两条线段的段的长度的比相等，即度的比相等，即_，那，那么，么，这四条四条线段叫做成比例段叫做成比例线段，段，简称比例称比例线段段求两条求两条线段的比段的比时，对这两条两条线段要用同一段要用同一长度度单位位黄金黄金分割分割在在线段段ABAB上，点上，点C C把把线段段ABAB分成两条分成两条线段段ACAC和和BCBC( (ACACBCBC) )，如果，如果_，那么称，那么称线段段ABAB
3、被点被点C C黄金分割，点黄金分割，点C C叫做叫做线段段ABAB的黄金分割点，的黄金分割点，ACAC与与ABAB的的比叫做黄金比，黄金比比叫做黄金比，黄金比为_一条一条线段的黄金段的黄金分割点有分割点有_个个a bc d 0.618 两两 考点考点3 3 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦定理定理三条平行三条平行线截两条直截两条直线，所得的，所得的对应线段的比段的比_推推论平行于三角形一平行于三角形一边的直的直线截其他两截其他两边( (或两或两边的延的延长线) )，所得的，所得的对应线段段的比的比_相等相等 相等相等 考点考点4 4 相似三角形的判定
4、相似三角形的判定 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦判定定判定定理理1 1平行于三角形一平行于三角形一边的直的直线和其他两和其他两边相交，所相交，所构成的三角形与原三角形构成的三角形与原三角形_判定定判定定理理2 2如果两个三角形的三如果两个三角形的三组对应边的的_相等，相等，那么那么这两个三角形相似两个三角形相似判定定判定定理理3 3如果两个三角形的两如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且的比相等，并且_相等，那么相等，那么这两个三角形相似两个三角形相似判定定判定定理理4 4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如果一个三角形的两个角与另一个三角形的_，那么，那么这两个三角形相似两个三角形相似
5、拓展拓展直角三角形被斜直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似形与原直角三角形相似相似相似 比比 相应的夹角相应的夹角 两个角对应相等两个角对应相等考点考点5 5 相似三角形及相似多边形的性质相似三角形及相似多边形的性质 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦三角形三角形(1)(1)相似三角形周相似三角形周长的比等于相似比的比等于相似比(2)(2)相似三角形面相似三角形面积的比等于相似比的平方的比等于相似比的平方(3)(3)相似三角形相似三角形对应高、高、对应角平分角平分线、对应中中线的比等于相似比的比等于相似比相似多相似多边形形(1)(1)相似多相似多边形
6、周形周长的比等于相似比的比等于相似比(2)(2)相似多相似多边形面形面积的比等于相似比的平方的比等于相似比的平方考点考点6 6 位似位似 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦位似位似图形定形定义两个多两个多边形不形不仅相似，而且相似，而且对应顶点点间连线相交于一相交于一点，点，对应边互相平行，像互相平行，像这样的两个的两个图形叫做位似形叫做位似图形，形，这个点叫做位形中心个点叫做位形中心位似与位似与相相似关系似关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不形不仅相相似，而且似，而且对应点的点的连线相交于一点，相交于一点，对应边互相平行互相平行位似位似图形形的性的性
7、质(1)(1)位似位似图形上的任意一形上的任意一对对应点到位似中心的距离的点到位似中心的距离的比等于比等于_；(2)(2)位似位似图形形对应点的点的连线或延或延长线相交于相交于_点；点；(3)(3)位似位似图形形对应边_(_(或在一条直或在一条直线上上) )；(4)(4)位似位似图形形对应角相等角相等相似比相似比 一一 平行平行 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦以坐以坐标原原点点为中心中心的位似的位似变换在平面直角坐在平面直角坐标系中，如果位似是以系中，如果位似是以原点原点为位似中心，相似比位似中心，相似比为k k，那么位，那么位似似图形形对应点的坐点的坐标的比等于的比等于_位似位似作作图(1)
8、(1)确定位似中心确定位似中心O O；(2)(2)连接接图形各形各顶点与位似中心点与位似中心O O的的线段段( (或延或延长线) )；(3)(3)按照相似比取点；按照相似比取点；(4)(4)顺次次连接各点，所得接各点，所得图形就是所求形就是所求的的图形形考点考点7 7 相似三角形的应用相似三角形的应用 第第22讲讲 考点聚焦考点聚焦几何几何图形形的的证明与明与计算算常常见问题证明明线段的数量关系，求段的数量关系，求线段的段的长度，度，图形的面形的面积大小等大小等相似三角相似三角形在形在实际生活中的生活中的应用用建模建模思想思想建立相似三角形模型建立相似三角形模型常常见题目目类型型(1)(1)利
9、用投影，平行利用投影，平行线，标杆等构杆等构造相似三角形求解；造相似三角形求解；(2)(2)测量底部可以达到的物体的高量底部可以达到的物体的高度；度；(3)(3)测量底部不可以到达的物体的量底部不可以到达的物体的高度；高度；(4)(4)测量不可以达到的河的量不可以达到的河的宽度度第第22讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一比例线段类型之一比例线段 命题角度：命题角度：1. 比例线段；比例线段；2. 黄金分割在实际生活中的应用；黄金分割在实际生活中的应用；3. 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理例例1 2011肇肇庆 如如图221，已知直，已知直线a b c，直，直线m、n与
10、与a、b、c分分别交于点交于点A、C、E、B、D、F，AC4，CE6，BD3，则BF() A7B7.5C8D8.5 B 图221第第22讲讲 归类示例归类示例 类型之二类型之二相似三角形的性质及其应用相似三角形的性质及其应用 命题角度：命题角度：1. 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2. 2. 利用相似三角形性质探求比值关系利用相似三角形性质探求比值关系第第22讲讲 归类示例归类示例 例例2 2011怀化化 如如图222，ABC是一是一张锐角三角形角三角形的硬的硬纸片，片，AD是是边BC上的高，上的高，BC40 cm，AD30 cm，从
11、从这张硬硬纸片上剪下一个片上剪下一个长HG是是宽HE的的2倍的矩形倍的矩形EFGH，使它的一，使它的一边EF在在BC上，上，顶点点G、H分分别在在AC，AB上，上，AD与与HG的交点的交点为M.(1)求求证： ； (2)求求这个矩形个矩形EFGH的周的周长 第第22讲讲 归类示例归类示例图222第第22讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 三角形相似的判定方法及其应用三角形相似的判定方法及其应用 例例3 3 20122012凉山州凉山州 如如图223，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB6，AD12，点，点E在在AD边上，且上，且AE8，EFBE交交CD于于F.(1)求求证：ABEDEF；(
12、2)求求EF的的长第第22讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1利用两个角判定三角形相似；利用两个角判定三角形相似；2利用两边及夹角判定三角形相似；利用两边及夹角判定三角形相似；3利用三边判定三角形相似利用三边判定三角形相似. 图223第第22讲讲 归类示例归类示例第第22讲讲 归类示例归类示例第第22讲讲 归类示例归类示例 判判定定两两个个三三角角形形相相似似的的常常规规思思路路：先先找找两两对对对对应应角角相相等等；若若只只能能找找到到一一对对对对应应角角相相等等，则则判判断断相相等等的的角角的的两两夹夹边边是是否否对对应应成成比比例例；若若找找不不到到角角相相等等，就就判判断断三三
13、边边是是否否对对应应成成比比例例，否否则则可可考考虑虑平平行行线线分分线线段段成成比比例定理及相似三角形的例定理及相似三角形的“传递性传递性” 类型之四类型之四 位似位似 例例4 4 20122012玉林玉林 如如图225，正方形，正方形ABCD的两的两边BC，AB分分别在平面直角坐在平面直角坐标系的系的x轴、y轴的正半的正半轴上，正方形上，正方形ABCD与正方形与正方形ABCD是以是以AC的中点的中点O为中心的位似中心的位似图形，已知形，已知AC32，若点，若点A的坐的坐标为(1，2)，则正方形正方形ABCD与正方形与正方形ABCD的相似比是的相似比是()第第22讲讲 归类示例归类示例命题角
14、度：命题角度：1. 位似图形及位似中心定义；位似图形及位似中心定义；2. 位似图形的性质应用；位似图形的性质应用；3. 利用位似变换在网格纸里作图利用位似变换在网格纸里作图图225B 第第22讲讲 归类示例归类示例 类型之五类型之五 相似三角形与圆相似三角形与圆 例例5 5 20112011滨州州 如如图226，直，直线PM切切 O于点于点M，直，直线PO交交 O于于A、B两点，弦两点，弦ACPM，连接接OM、BC.求求证：(1)ABCPOM；(2)2OA2OPBC.第第22讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 圆中的相似计算；圆中的相似计算；2. 圆中的相似证明圆中的相似证明图22
15、6第第22讲讲 归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)由切由切线的性的性质和和ABAB是是圆的直径，得出的直径，得出直角直角PMOPMO9090，ACBACB9090.(2).(2)利用第一利用第一问的的结论和和ABAB2 2OAOA可以得出可以得出结论 第第22讲讲 归类示例归类示例第第22讲讲 归类示例归类示例 证证明明等等积积式式的的常常用用方方法法是是把把等等积积式式转转化化为为比比例例式式，要要证证明明比比例例式式，就就要要证证明明三三角角形形相相似似证证明明圆圆中中相相似似要要充分运用切线性质，圆周角定理及推论，垂径定理等充分运用切线性质，圆周角定理及推论，垂径定理等第第22讲
16、讲 回归教材回归教材“直角三角形斜边上的高直角三角形斜边上的高”的模型作用的模型作用 回归教材回归教材教材母题教材母题人教版人教版九下九下P48练习练习T2 如如图227，RtABC中，中，CD是斜是斜边上的高，上的高，ACD和和CBD都和都和ABC相似相似吗？证明你的明你的结论图22227 7第第22讲讲 回归教材回归教材解：解：相似相似证明：明：ACDBCD90，ACDA90，ABCD.又又ACBBDC90，ABCCBD.AA，ACBADC，ABCACD.第第22讲讲 回归教材回归教材中考变式12010达州达州 如如图228，ABC中，中，CDAB，垂足垂足为D.下列条件中，能下列条件中，能证明明ABC是直角三角形是直角三角形的有的有_ 图228 第第22讲讲 回归教材回归教材22012北京北京 如如图229，小明同学用自制的直角三角，小明同学用自制的直角三角形形纸板板DEF测量量树的高度的高度AB，他，他调整自己的位置，整自己的位置，设法法使斜使斜边DF保持水平，并且保持水平，并且边DE与点与点B在同一直在同一直线上，已上，已知知纸板的两条直角板的两条直角边DE40 cm，EF20 cm，测得得边DF离地面的高度离地面的高度AC1.5 m，CD8 m，则树高高AB_m.图2295.5 第第22讲讲 回归教材回归教材
