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1、143线性时不变电路的性质线性时不变电路的性质一、频域形式的表格方程一、频域形式的表格方程表格方程由表格方程由KCL、KVL和元件和元件VCR方程组成。现在以方程组成。现在以图图146电路加以说明。电路加以说明。图图1461用矩阵形式列出个结点的用矩阵形式列出个结点的KCL方程方程简写为简写为 AI(s)0 其中其中 称为关联矩阵，它表示支路与结点的关联关系，其元素为称为关联矩阵，它表示支路与结点的关联关系，其元素为 2 2用矩阵形式列出支路电压与结点电压关系的用矩阵形式列出支路电压与结点电压关系的KVLKVL方程方程简写为简写为 U(s) ATV(s)其中其中AT表示关联矩阵表示关联矩阵A的
2、转置矩阵。的转置矩阵。3以以mU(s) + nI(s) = US(s) 形式列出矩阵形式的形式列出矩阵形式的VCR方方程。程。简写为简写为 (M0s+ M1)U + (N0s+ N1)I = US+Ui4将将KCL,KVL和和VCR方程放在一起，得到以下表格方程方程放在一起，得到以下表格方程简写为简写为 其中其中 T(s) 称为表格矩阵，由于矩阵中大部分系数为零，又称为表格矩阵，由于矩阵中大部分系数为零，又称为稀疏表格矩阵。矩阵称为稀疏表格矩阵。矩阵T(s)的行列式的行列式detT(s)是以是以s为变量为变量的多项式，若不为零，即的多项式，若不为零，即detT(s) 0，则该电路有唯一解。则该
3、电路有唯一解。其中其中Ui表示由电感电流和电容电压初始值组成的列向量。表示由电感电流和电容电压初始值组成的列向量。 若表格方程有唯一解，则可以得到以下结果若表格方程有唯一解，则可以得到以下结果 若表格方程有唯一解，则可以得到以下结果若表格方程有唯一解，则可以得到以下结果 由此可以得到线性时不变电路的两个性质。由此可以得到线性时不变电路的两个性质。1唯唯一一解解性性质质：当当且且仅仅当当detT(s) 0时时，该该线线性性时时不不变电路变电路N存在唯一解。存在唯一解。2若线性时不变电路若线性时不变电路N具有唯一解，则其全响应等于具有唯一解，则其全响应等于零状态响应零状态响应(仅由输入引起仅由输入
4、引起)与零输入响应与零输入响应(仅由初始条仅由初始条件引起件引起)之和。之和。二、零输入响应和固有频率二、零输入响应和固有频率 我们只考虑初始条件对电路的作用，求解以下方程我们只考虑初始条件对电路的作用，求解以下方程可以得到电路的零输入响应可以得到电路的零输入响应 1假假设设电电路路的的特特征征多多项项式式，x(s)=detT(s)，具具有有n个个简简单单零零点点：，电电路路具具有有n个个单单一一的的固固有有频频率率。我们求解方程可以得到我们求解方程可以得到 因此得到的零输入响应为因此得到的零输入响应为 2如果线性时不变电路的全部固有频率都具有负实部，则如果线性时不变电路的全部固有频率都具有负
5、实部，则对于任何初始条件，其零输入响应对于任何初始条件，其零输入响应w(t)将按照指数规律趋近将按照指数规律趋近于零，也就是说电路的所有变量随着于零，也就是说电路的所有变量随着t而按照指数规律变而按照指数规律变为零。为零。(满足这种条件的电路称为指数稳定的电路满足这种条件的电路称为指数稳定的电路)三、零状态响应和网络函数三、零状态响应和网络函数我们只考虑输入对电路的作用，求解以下方程我们只考虑输入对电路的作用，求解以下方程可以得到电路的零状态响应可以得到电路的零状态响应1网络函数网络函数我们在正弦稳态分析中引入了网络函数，现在将它推我们在正弦稳态分析中引入了网络函数，现在将它推广到任意输入的情
6、况。我们讨论具有唯一解的线性时不变广到任意输入的情况。我们讨论具有唯一解的线性时不变电路，假设电路仅由一个独立电源驱动，则任一输出变量电路，假设电路仅由一个独立电源驱动，则任一输出变量零状态响应的拉普拉斯变换对输入拉普拉斯变换之比，定零状态响应的拉普拉斯变换对输入拉普拉斯变换之比，定义为网络函数，记为，即义为网络函数，记为，即 由于全部初始条件为零，在频域电路模型中不必画出表由于全部初始条件为零，在频域电路模型中不必画出表示初始条件作用的电压源和电流源，计算就会容易得多。示初始条件作用的电压源和电流源，计算就会容易得多。 例例143求图求图147所示电路的驱动点阻抗所示电路的驱动点阻抗和转移电
7、压比和转移电压比。解：可以用阻抗串并联公式来计算图示单口网络的驱动解：可以用阻抗串并联公式来计算图示单口网络的驱动点阻抗点阻抗 图图147可以用分压公式来计算图示电路的转移电压比可以用分压公式来计算图示电路的转移电压比 由此例可见，网络函数的计算方法与正弦稳态相同，由此例可见，网络函数的计算方法与正弦稳态相同，差别仅在于差别仅在于j换成了换成了s 。频域网络函数是以频域网络函数是以s为变量的两个为变量的两个多项式之比，将多项式之比，将s 换为换为j就得到正弦稳态的网络函数，据就得到正弦稳态的网络函数，据此就可以画出频率特性曲线。此就可以画出频率特性曲线。 若若采采用用表表格格方方程程来来计计算
8、算网网络络函函数数，当当detdet T T( (s s) ) 0 0，用用克克莱姆法则求解可以得到以下结果莱姆法则求解可以得到以下结果式中的式中的W(s)表示感兴趣的某个电压或电流，表示感兴趣的某个电压或电流，US(s)表示一个独表示一个独立电压源或独立电流源。由此可以得到网络函数为立电压源或独立电流源。由此可以得到网络函数为 它是以它是以s为变量的两个多项式之比。其分子多项式的零点，为变量的两个多项式之比。其分子多项式的零点，称为网络函数的零点；分母多项式的零点，称为网络函数的称为网络函数的零点；分母多项式的零点，称为网络函数的极点。极点。(1)网网络络N的的任任一一网网络络函函数数是是具
9、具有有实实系系数数的的两两个个多多项项式式之之比，因此它的零点和极点总是以共轭复数形式成对出现。比，因此它的零点和极点总是以共轭复数形式成对出现。由此可以得到网络函数的几点性质。若网络由此可以得到网络函数的几点性质。若网络N是具有是具有唯一解的线性时不变电路，则唯一解的线性时不变电路，则(2)零零状状态态响响应应的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换等等于于网网络络函函数数与与输输入入拉拉普普拉斯变换的乘积。即拉斯变换的乘积。即(3)任一网络函数的极点是网络任一网络函数的极点是网络N的固有频率。的固有频率。2冲激响应与网络函数冲激响应与网络函数在在动动态态电电路路的的时时域域分分析析中中讨讨论论过过冲冲
10、激激响响应应，它它是是单单位位冲冲激激函函数数作作用用下下电电路路的的零零状状态态响响应应，由由于于冲冲激激响响应应的的计计算算比比较较困困难难，我我们们先先求求出出电电路路的的阶阶跃跃响响应应，再再用用对对时时间间求求导导数数的的方方法法来来计计算算电电路路冲冲激激响响应应的的。在在频频域域分分析析中中，由由于于单单位位冲冲激激函函数数的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换等等于于1，因因此此网网络络函函数的反拉普拉斯变换就是冲激响应，即数的反拉普拉斯变换就是冲激响应，即这是一个很重要关系，它反映出电路的频域特性与这是一个很重要关系，它反映出电路的频域特性与时域特性的关系。时域特性的关系。则其冲激响应
11、为则其冲激响应为根据定义，阶跃响应是在单位阶跃输入时电路的零根据定义，阶跃响应是在单位阶跃输入时电路的零状态响应，它与网络函数以及冲激响应之间的关系，如状态响应，它与网络函数以及冲激响应之间的关系，如下所示。下所示。例如，如果网络函数例如，如果网络函数H(s)有有n个单一的极点，而且有个单一的极点，而且有例例144求图求图148(a)所示电路中电感电压的冲激响应。所示电路中电感电压的冲激响应。图图148解：图解：图(a)的频域模型，如图的频域模型，如图(b)所示，注意到单位冲激所示，注意到单位冲激函数的拉普拉斯变换是等于函数的拉普拉斯变换是等于1，由此求得网络函数为，由此求得网络函数为计算结果
12、与例计算结果与例812中用时域分析方法得到的结果相同。中用时域分析方法得到的结果相同。 3零状态响应和网络函数零状态响应和网络函数电路在任意输入时的零状态响应，在已知网络函数的电路在任意输入时的零状态响应，在已知网络函数的情况下，容易用下式求得。情况下，容易用下式求得。图图148所示电路，如果所示电路，如果则其网络函数和电感电压的零状态响应为则其网络函数和电感电压的零状态响应为最最后后介介绍绍一一个个正正弦弦稳稳态态的的基基本本定定理理：考考虑虑任任一一具具有有唯唯一一解解的的线线性性时时不不变变电电路路N。令令电电路路N中中的的全全部部独独立立电电源源是是具具有有相相同同频频率率的的正正弦弦电电源源。如如果果电电路路N是是指指数数稳稳定定的的，则对于任何初始条件则对于任何初始条件(1)随随着着，全全部部支支路路电电压压和和支支路路电电流流将将趋趋于于频频率率为为的唯一的正弦稳态。的唯一的正弦稳态。(2)当然，正弦稳态容易用相量分析求得。当然，正弦稳态容易用相量分析求得。 郁金香
