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1、现代分析学现代分析学 实变函数论与实变函数论与泛函分析基泛函分析基础础 第七章 度量空间和赋范线性空间1 1 度量空间的进一步例子度量空间的进一步例子2 2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间度量空间中的极限，稠密集，可分空间3 3 连续映射连续映射第七章 度量空间和赋范线性空间1 1 度量空间的进一步例子度量空间的进一步例子定义：定义：设设 X 为一非空集合，为一非空集合，d:XXR+ 0为一映射，且满足为一映射，且满足(1) d(x,y)0，d(x,y)=0当且仅当当且仅当x=y（正（正定性）定性）(2)d(x,y)d(x,z)+d(y,z)（三点不等式）（三点不等式）注：注：距离距离d
2、具有对称性，具有对称性，d(x,y)d(y,x)事实上，事实上，d(x,y)d(x,x)d(y,x)d(y,x)，同理同理d(y,x)d(x,y),故故d(x,y)d(y,x).如果如果(X,d)为度量空间，为度量空间，Y 是是X 的非空子集，的非空子集，则则(Y,d)也是度量空间，称为也是度量空间，称为(X,d )的子空间的子空间.则称则称d(x,y)为为x,y之间的距离之间的距离，称称(X,d )为为度量空间度量空间.例例1离散度量空间离散度量空间设设 X 是任意非空集合，对是任意非空集合，对 X 中任意两中任意两点点 x,yX, , 令令显然，这样定义的显然，这样定义的 这种距离是最粗的
3、。它只能区分这种距离是最粗的。它只能区分 X 中中任意两个元素是否相同，不能区分元素间任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。的远近程度。 此例说明，在任何非空集合上总可以此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。定义距离，使它成为度量空间。例例2 2 所有数列组成的集合所有数列组成的集合 S称为称为 Frchet组合。组合。事实上，对事实上，对 , 及及 = cnS,由于函数由于函数是单调增函数，因此由是单调增函数，因此由得得在上面不等式两边同乘在上面不等式两边同乘再求和，便得再求和，便得因此因此 (S,)是距离空间。是距离空间。例例3 3 有界函数空间有界函数空间
4、 B(A). . 设设 A 是个给定的集合，是个给定的集合，B(A)表示表示A 上有上有界实值界实值(或复值或复值)函数全体，对函数全体，对B(A)中的任意中的任意两点两点x,y,定义定义则则 (x,y)是是 B(A) 上的度量，事实上，上的度量，事实上， (x,y)显然满足显然满足10，以下证明也满足，以下证明也满足20.对另一连续函数对另一连续函数 zB(A),由由所以所以例例4 4 可测函数空间可测函数空间 M(X). . 设设 M(X)表示表示X上连续实值上连续实值(或复值或复值)的的L 可测函数全体，可测函数全体，m 为为L测度，若测度，若m(X)0,存在正整数存在正整数N,使得当使
5、得当n N时，对任意的时，对任意的ta, b,有有于是，当于是，当n N时，有时，有即按坐标收敛。即按坐标收敛。证明证明“必要性必要性”：由于由于取定取定 i,任给任给 0,存在正整数存在正整数N,使得当使得当m N时，有时，有“充分性充分性”：任给任给 0,因为级数因为级数所以存在正整数所以存在正整数k,使得使得因为因为对每一个对每一个 i,(i=1,2,.),有有于是，于是，对每一个对每一个 i,(i=1,2,.,k-1),存在存在正整数正整数Ni,使得当使得当m Ni时，有时，有令令N=maxN1,N2,.,Nk-1,当当m N时，有时，有那么，当那么，当m N时，有时，有4. 4. 可
6、测空间可测空间 M(X)中，函数列中，函数列fn收敛于函数收敛于函数f M(X)当且仅当当且仅当fn依测度收敛于依测度收敛于f.证明：证明：与第五章的习题与第五章的习题6,76,7同理可证同理可证.令令 gn(t)=fn(t) - f (t)(tX,n=1,2,.).“必要性必要性”：首先首先对任意对任意 0，由于由于“充分性充分性”：若若由有界控制收敛定理，由有界控制收敛定理， 上述几个例子表明，尽管在各个具体空上述几个例子表明，尽管在各个具体空间中各种极限概念不一致（依坐标收敛，一间中各种极限概念不一致（依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛等），但当我们引入了致收敛，依测度收敛等），但当我们引
7、入了适当的距离后，都可以统一在度量空间中考适当的距离后，都可以统一在度量空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便。提供了方便。定义定义4 设设 (X,d)为为度量空间，度量空间，E 和和M 是是X 中的中的两个子集两个子集，定义，定义那么称集那么称集 M 在集在集 E 中中稠密，当稠密，当 E = X 时，称时，称M 是是 X 中的一个稠密子集。如果中的一个稠密子集。如果 X 中有一中有一个可数的稠密子集，则称个可数的稠密子集，则称 X 是可分空间。是可分空间。例例1n维欧氏维欧氏空间空间Rn是可分空间是可分空间.事实上，坐事实上，坐标为有
8、理数的全体是标为有理数的全体是Rn的可数稠密子集的可数稠密子集.例例2离散度量空间离散度量空间X 是可分空间的充要条件是可分空间的充要条件为为 X 是可数集是可数集. 对对 X 中任意点中任意点 x0, 令令对任意两点对任意两点 x, y X, , xy, ,因为因为于是，于是，X 中唯一的稠密子集只有中唯一的稠密子集只有 X 本身，因本身，因此此 X 是可分空间的充要条件为是可分空间的充要条件为 X 是可数集是可数集. 例例3 3 l . .定义定义容易验证，容易验证， d 是是 l 上的距离。下面证明上的距离。下面证明 l 不可分不可分. .证明：证明：则则 M 与二进制小数一一对应，即与
9、二进制小数一一对应，即M 与与0,1等价，所以等价，所以 M 的基数是的基数是 c. .对任意两点对任意两点 x, y M, , xy, ,显然显然设设C 是是 l 中的稠密子集中的稠密子集,于是于是 对任意对任意 x M, , 作作因为因为 M 不可数，不可数， 所以上述邻域的个数也是所以上述邻域的个数也是不可数的不可数的, 因为因为 C在在 M 中中稠密稠密,于是对任意于是对任意一个一个这说明这说明 l 是不可分的是不可分的. .3 3 连续映射连续映射 如同数学分析中定义实数域上连续函数一如同数学分析中定义实数域上连续函数一样定义度量空间中的连续映射。样定义度量空间中的连续映射。定义定义
10、1 设设 (X,d )， (Y, )为两个为两个度量空间，度量空间，T 是是 X到到 Y 中映射中映射，x0 X . 如果对任意如果对任意的的 0,存在存在0,使得对使得对X中一切满足中一切满足d(x,x0 ) 的的x,有有 (Tx,Tx0 )0，因为因为T 在在x0 连续，所以连续，所以存在存在0,使得对使得对X中一切满中一切满足足d(x,x0 ) 的的x,有有 (Tx,Tx0 )0,存在存在N0,当当n N时，有必有时，有必有d(xn,x0 ) , 于是，于是，有有 (Txn,Tx0 )0，对任对任意意的的0，存在，存在x X，虽然，虽然d(x ,x0 )，但是，但是 (Tx,Tx0 )0
11、, 但是但是 (Txn,Tx0 )0, 这说明这说明Txn 不收不收敛到敛到Tx0 .另一方面，由另一方面，由即即xnx0 (n)，由充分条件必有，由充分条件必有Txn Tx0 (n)，矛盾，所以，矛盾，所以T 在在x0 连连续续.定义定义2 如果映射如果映射 T 在在 X的每一点都连续，的每一点都连续，则称则称T 是是 X 上的连续上的连续映射映射.称集合称集合为为 Y 的子集的子集 M 在映射在映射 T 下下的的原像，简记为原像，简记为定理定理2 设设 T 是是度量空间度量空间 (X,d )到到 (Y, ) 中中的映射，那么的映射，那么T 是是X 上的连续上的连续映射映射充分必要充分必要条
12、件是条件是Y 中中的任意开集的任意开集 M 在映射在映射 T 下下的的原像原像证明证明“必要性必要性”：因为因为 M 是是开集，所以开集，所以存在存在 Tx0的的 - 邻域邻域 U = U(Tx0,)使得使得因为因为 T 是是X 上的连续上的连续映射，所以映射，所以T 在在x0 连连续，必有续，必有x0的的 - 邻域邻域 V = V(x0,)使得使得“充分性充分性”：设设 x0 X . 对对 Tx0的任意的任意 - 邻域邻域 U = U(Tx0,),因为其原像为开集，因为其原像为开集， 那么那么T 在在x0 连续，由连续，由x0 的任意性，的任意性，T 是是 X 上的连续上的连续映射映射.作业：作业：P218,2.，3.，5.，6.
