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1、高等数学高等数学1 1目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 总复习总复习 多元函数微分学多元函数微分学1高等数学高等数学2 2目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 2高等数学高等数学3 3目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 1. 提示提示:例例1 求求函数的定义域，并作图。3高等数学高等数学4 4目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回
2、结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 设且求解解令4高等数学高等数学5 5目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 1. 提示提示: 0例例3 填空题填空题 5高等数学高等数学6 6目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 3.提示提示: 04. 设, 则则即提示提示: 令6高等数学高等数学7 7目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返
3、回 结束 5. 设则提示提示:6. f ( x , y ) 在点处偏导数存在是 f ( x , y ) 在该点连续 ( ) .(A) 充分条件但非必要 (B) 必要条件但非充分 ;(C) 充要条件 ; (D) 既非充分也非必要条件.D1选择题 ( 6 - 8 )7高等数学高等数学8 8目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 7. 设 f ( x , y ) 在点( a , b ) 偏导数存在 , 则B提示提示: 因为只要写结果 , 可直接用罗必塔法则找答案原式8高等数学高等数学9 9目录 上页 下页 返回 结束 目
4、录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 8. 提示提示: 利用令即则 原式=当 m = 3 时当 m = 4 时A(A) 不存在 ;9高等数学高等数学1010目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 证明、判断下列极限存在与否（2）（3）提示：（1）取时，有取时，有取时，有表明上式中极限均不存在。10高等数学高等数学1111目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例511高等数
5、学高等数学1212目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明：函数 点 连续、所以在点 连续 所以在点 偏导数都存在 偏导数存在、但不可微.例例612高等数学高等数学1313目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 所以在点 不可微。 13高等数学高等数学1414目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 体会二元函数的一些基本概念之间的关系体会二元函数的一
6、些基本概念之间的关系1、函数可微，偏导数不一定连续；2、当和不存在时，也不能断定和不存在。这只能说明偏导数在点（0，0）处不连续。在点处四个基本概念之间的关系连续性偏导数方向导数可微性可微性条件增强由它可以推出其它三个概念，反之不一定存在。14高等数学高等数学1515目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 求下列函数的偏导数和全微分。（1）设解解求可先代入部分值，再求导数。15高等数学高等数学1616目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页
7、返回 结束 求（2）设解解16高等数学高等数学1717目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 设求解法一解法一: 例例8解法二解法二: 17高等数学高等数学1818目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 设其中求解解:18高等数学高等数学1919目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例9设其中具有二阶连续偏导，求解：解：令19高等数学高等数学2
8、020目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 20高等数学高等数学2121目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例10 设由方程确定 ,其中F 可微 , 求解解:得21高等数学高等数学2222目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例11 求曲线上在点A(1,1.1)处的切线方程和法平面方程。解：解： 方程组两边对 x 求导得将点A(1，1，1）代入切
9、线方程法平面方程22高等数学高等数学2323目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 解解例例1223高等数学高等数学2424目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 依题意，两平面平行例例13解：解： 令求曲面平行于平面的各切平面方程。设为曲面上的切点，满足方程切点为切平面方程(1)切平面方程(2)24高等数学高等数学2525目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回
10、结束 例例14 求曲线绕 y 轴旋转一周生成的曲面在点上的切平面与平面的夹角。解解 旋转曲面在点平面上25高等数学高等数学2626目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 证明曲面在任意点解解: 令则曲面在点 M 的法向量为而故 的法线与向量 垂直 .例例15. 设曲面的方程为26高等数学高等数学2727目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 求最大长方体解解 设长方体的一个顶点 在锥面，则长方体例例16 在圆锥面与平面所围成的锥体内作底
11、面与面平行的长方体，的体积。的体积：27高等数学高等数学2828目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 将式乘以x与式乘以y相比较得 将 代入式并由式得 所以得唯一驻点为 依题意必有最大值，从而长方体的最大体积为28高等数学高等数学2929目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例17. 求点 (1, 2, 0) 到曲面的最短距离 .解解: 问题为( 条件 )设令解得此两点到曲面的距离为故为最短 .29高等数学高等数学3030目录 上
12、页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 解解例例181830高等数学高等数学3131目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 31高等数学高等数学3232目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例1932高等数学高等数学3333目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 33高等数学高等数学
13、3434目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 34高等数学高等数学3535目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例20. 在曲面上求出一点 M , 使沿着点的方向导数具有最大值 . 解解: 其方向余弦为则问题为( 条件 )设到35高等数学高等数学3636目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 解得经验证为最大值 .令36高等数学高等数学3737目录 上
14、页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例21设曲面方程为证明曲面上任一点处的切平面在三坐标轴上的截距之和为常数 . 证明证明: 曲面在任一点处的法向量为即则在坐标轴上的截距之和为切平面方程为37高等数学高等数学3838目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例22. 设函数具有连续偏导数 ,且对任意实数 t 有试上任一点处的切平面交于一定点证证: 曲面上任一点 处的切平面方程为对等式两边关于 t 求导,为切点 , 切平面方程为显然切平面都过原点 ( 0 , 0 , 0 ) .令 t =1, 得证曲面38
