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1、第一章高等数学第五节第五节 极限的运算法则极限的运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限二、复合函数的极限二、复合函数的极限二、复合函数的极限回顾极限与无穷小的关系定理2第一章高等数学一、函数极限的四则运算法则一、函数极限的四则运算法则一、函数极限的四则运算法则一、函数极限的四则运算法则 设在某极限过程中，函数f (x)、g(x)的极限limf (x)、limg(x)存在，则3第一章高等数学由无穷小量的运算性质定理定理 证证:4第一章高等数学是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由利用极限四则运算法则可知存在
2、,与已知条件矛盾.问5第一章高等数学说明说明: 定理 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .( C 为常数 )推论推论 2 .( n 为正整数 )例例1. 设 n 次多项式试证证证:定理定理 6第一章高等数学定理定理 则有由无穷小量的运算性质从而故证证:7第一章高等数学例例2. 求解解: 求有理分式函数xx0的极限时，若分母不等于零，则可直接代值.8第一章高等数学例例3 3 求解解: 时,分子分子分母同除以则分母“ 抓大头抓大头”原式例例4. 求解解:9第一章高等数学例例5. 证明:证证: 原式由于故10第一章高等数学例例6.求解解:消去零因子消去零因子消去零因子消去零因子11第一章
3、高等数学2. 2.数列极限的运算法则数列极限的运算法则数列极限的运算法则数列极限的运算法则定理定理定理中的1.和2.可推广至有限个数列的情形12第一章高等数学例例7.解解:13第一章高等数学二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理 设且 x 满足时,又则有证证: 当时, 有当时, 有对上述取则当时故因此式成立.14第一章高等数学定理定理 设且 x 满足时,又则有 说明说明: 若定理中若定理中则类似可得例如，例如， x0时，u=sinx 0, 而 例如，例如，15第一章高等数学例例8 8. . 求求解解: 令已知( 见见 教材教材P46 例例3 ) 原式 =( 见教材见教材
4、 P33 例例5 )16第一章高等数学例例9.求解解:17第一章高等数学例例10.求解解:18第一章高等数学2.2.求原式 =原式1.此题说明：无限多个无穷小的和不一定是无穷小此题说明：无限多个无穷小的和不一定是无穷小此题说明：无限多个无穷小的和不一定是无穷小此题说明：无限多个无穷小的和不一定是无穷小课堂练习课堂练习19第一章高等数学3.3. 试确定常数 a 使解解 : 令则故因此20第一章高等数学解解:利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故21第一章高等数学小结小结1. 运用极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则注意使用条件2. 分式函数极限求法时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子 , 分子分母同除最高次幂3. 复合函数极限求法设中间变量求极限方法 对22第一章高等数学P49 1 双数双数 2 （1），（），（3） 3 （1） 23
