《高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教版必修1.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教版必修1.ppt（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 3.2 函数模型及其应用函数模型及其应用 3.2.1 3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型 1.1.利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函 数及幂函数的增长差异数及幂函数的增长差异; ;3.3.体会数学在实际问题中的应用价值体会数学在实际问题中的应用价值. .2.2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义同增长的函数模型的意义; ;美丽的澳洲原来没有兔子，美丽的澳洲原来没有兔子，18591859年，有人从欧年，有人从欧洲带来几只兔子在维多利亚的季
2、朗地区放养。而这一放洲带来几只兔子在维多利亚的季朗地区放养。而这一放养，竟然比放虎归山造成的危害还要大。养，竟然比放虎归山造成的危害还要大。 澳洲土壤疏松牧草茂盛，兔子打洞做窝非常方便，却澳洲土壤疏松牧草茂盛，兔子打洞做窝非常方便，却没有天敌。对兔子来说，就是个无忧无虑的天堂。于是兔没有天敌。对兔子来说，就是个无忧无虑的天堂。于是兔子的数量不断增加，地盘也不断扩大，每年扩展的面积达子的数量不断增加，地盘也不断扩大，每年扩展的面积达100100平方公里。不到平方公里。不到100100年时间，兔子们就占领了整个澳大年时间，兔子们就占领了整个澳大利亚，达到利亚，达到7575亿只，可爱的兔子变得可恶起
3、来亿只，可爱的兔子变得可恶起来.10.10只兔子要只兔子要吃掉相当于吃掉相当于1 1只羊所吃的牧草，只羊所吃的牧草，7575亿只兔子所吃的牧草相当亿只兔子所吃的牧草相当于放养于放养7.57.5亿只羊所吃的牧草。偏偏澳大利亚极为干旱，尤亿只羊所吃的牧草。偏偏澳大利亚极为干旱，尤其是内陆，一棵草都是宝贵的。兔子所过之处，像蝗虫一其是内陆，一棵草都是宝贵的。兔子所过之处，像蝗虫一样，风卷残云般地吃光了仅有的一点绿色。草原的载畜率样，风卷残云般地吃光了仅有的一点绿色。草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法
4、消灭这些兔子，直至二十人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气的野兔，澳大利亚人才算松了一口气 探究一探究一假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报方案一：每天回报4040元；元；方案二：第一天回报方案二：第一天回报1010元，以后每天比前元，以后每天比前一天多回报一天多回报1010元；元；方案三：第一天回报方案三：第一天回报0
5、.40.4元，以后每天的回元，以后每天的回报比前一天翻一番报比前一天翻一番. .请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？方案三可以用函数方案三可以用函数 进行描述进行描述. .方案一可以用函数方案一可以用函数 进行描述；进行描述；思路分析：思路分析：2.2.如何建立日回报效益与天数的函数模型？如何建立日回报效益与天数的函数模型？1.1.依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？计回报效益？3.3.三个函数模型的增减性如何？三个函数模型的增减性如何？4.4.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行要对三个方案作出
6、选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？分析，如何分析？方案二可以用函数方案二可以用函数 进行描述；进行描述；方案方案 一一方案方案 二二方案方案 三三y y/ /元元增加增加量量y y/ /元元增加量增加量y y/ /元元增加量增加量1 140400 0101010100.40.42 240400 0202010100.80.80.40.43 340400 0303010101.61.60.80.84 440400 0404010103.23.21.61.65 540400 0505010106.46.43.23.26 640400 06060101012.812.86.46.47 7
7、40400 07070101025.625.612.812.88 840400 08080101051.251.225.625.69 940400 090901010102.4102.451.251.240400 01001001010204.8204.8102.4102.440400 030030010102147483642147483641073741821073741822 2y y40402020404060608080100100120120O O4 46 68 810101212y yx xy y10x10xy y0.420.42x x1 12 2y y4040202040406
8、0608080100100120120O O4 46 68 810101212y yx xy y10x10xy y0.420.42x x1 1我们看到，底为我们看到，底为2 2的的指数函数模型比线指数函数模型比线性函数模型增长速性函数模型增长速度要快得多度要快得多. .从中你从中你对对“指数爆炸指数爆炸”的的含义有什么新的理含义有什么新的理解？解？ 由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。不同。读图和用图读
9、图和用图 可以看到，尽管方案一、方案二在第可以看到，尽管方案一、方案二在第1 1天所得回报分别是方案三天所得回报分别是方案三的的100100倍和倍和2525倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长指数增长”，其，其“增长量增长量”是成倍增加的，从第是成倍增加的，从第7 7天开始，方案三比其他两个天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的，方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的，从每天所得回报看，在第从每天所得回报看，在第1 14 4天，方案一最多，在天，方案一最多，在5 58 8天，方案二
10、最天，方案二最多；第多；第9 9天开始天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第3030天，天，所得回报已超过所得回报已超过2 2亿元。亿元。下面再看累计的回报数：下面再看累计的回报数：结论结论：投资：投资1 16 6天天, ,应选择方案一应选择方案一; ;投资投资7 7天，应选择方案天，应选择方案一或方案二；投资一或方案二；投资8 8 1010天，应选择方案二；投资天，应选择方案二；投资1111天天( (含含1111天天) )以上，应选择方案三以上，应选择方案三. .天天数数回报回报/元元方案方案一一二二三三401 2 3 4 5 6 7 8
11、 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8探究二：探究二：某公司为了实现某公司为了实现10001000万元利润的目标，准备制定万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到在销售利润达到1010万元时，按销售利润进行奖励，且奖金万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y y( (单位：万元单位：万元) )随销售利润随销售利润
12、x x( (单位：万元单位：万元) )的增加而增加，的增加而增加，但资金总数不超过但资金总数不超过5 5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%25%，现有三个奖励模型：现有三个奖励模型：y y0.25x0.25x， y yloglog7 7x x1 1， y y1.0021.002x x， 其中哪个模型能符合公司的要求其中哪个模型能符合公司的要求？某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过时，奖金总数不超过5 5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%25%，由于公司总的利润目标为
13、由于公司总的利润目标为10001000万元，所以人员销售利润一万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润般不会超过公司总的利润. .于是，只需在区间于是，只需在区间10,100010,1000上，检验三个模型是否符合上，检验三个模型是否符合公司要求即可公司要求即可. .思路分析：思路分析：思考：思考：X X的取值范围，即函数的定义域的取值范围，即函数的定义域2 2通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？的图象的图象. .解解: :借助计算机作出函数借助计算机作出函数8 81 12 23 34 45 56 67 7200200400400600600800
14、80010001000y y0.250.25x xy yloglog7 7x x1 1y y1.0021.002x xO Oy y5 5y yx x只有模型只有模型 的图象始终在的图象始终在 的下方，这说明的下方，这说明只有按模型只有按模型 进行奖励时才符合公司的要求，进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断。下面通过计算确认上述判断。观察图象发现，在区间观察图象发现，在区间10 ,100010 ,1000上，模型上，模型 的图象都有一部分在直线的图象都有一部分在直线 的上方，的上方，y=0.25x,y=0.25x,y=1.002y=1.002x xy=5y=5y=logy=log
15、7 7x+1x+1y=5y=5y=logy=log7 7x+1x+1计算按模型计算按模型 奖励时，奖励时，奖金是否不超过利润的奖金是否不超过利润的25%25%，即当即当 时，是否有时，是否有 y=logy=log7 7x+1x+1令令 综上所述，模型综上所述，模型 确实能符合公司要求确实能符合公司要求。时时， 所以当所以当 说明按模型说明按模型奖励奖金不会超过利润的奖励奖金不会超过利润的25%25% 利用计算机作出函数利用计算机作出函数 的图象的图象由图象可知它是递减的，由图象可知它是递减的，因此因此即即关于关于x x呈指数型函数变化的变量是呈指数型函数变化的变量是 。1 1、四个变量、四个变
16、量 随变量随变量 变化的数据如下表：变化的数据如下表：1.0051.0051.01511.01511.04611.04611.14071.14071.42951.42952.31072.31075 51551551301301051058080555530305 533733337331785.21785.294.47894.4785 5450545053130313020052005113011305055051301305 5303025252020151510105 50 0 2 2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染
17、上这种病毒，那么下轮病毒发作时，这某台计算机感染上这种病毒，那么下轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的台计算机都可能感染没被感染的2020台计算机。现在台计算机。现在1010台台计算机在第计算机在第1 1轮病毒发作时被感染，问在第轮病毒发作时被感染，问在第5 5轮病毒发作轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？时可能有多少台计算机被感染？探究三：探究三： 指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较1.1.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图象（列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图象（a=2).=2).x0.20.61.01.4y=2x1.
18、1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2 x-2.322-0.73700.4851.82.22.63.03.43.482 4.595 6.063810.5563.244.846.76911.560.848 1.138 1.379 1.5851.766xyo1122345y=2xy=x2y=log2 x2.2.结合函数的图象找出其交点坐标结合函数的图象找出其交点坐标. . 从图象看出从图象看出 y=logy=log2 2 x x的图象与另外的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两两函数的图象没有交点，且总在另外两函数图象的下方，函数图象的下方，y=xy=x
19、2 2的图象与的图象与 y=2y=2x x 的的图象有两个交点图象有两个交点(2(2，4)4)和（和（4 4，1616）. .x x0 0 1 1 2 2 3 34 45 56 67 78 8y y=2=2x x1 1 2 2 4 4 8 8 1616 3232 6464 128128 256256 y y= =x x2 20 0 1 1 4 4 9 9 1616 2525 363649496464ABy=2xxyo11219162343 4y=x2y=log2 x3.3.根据图象根据图象, ,分别写出使不等式分别写出使不等式loglog2 2 x2 x2x xxx2 2和和 loglog2
20、2 xx xx2 222x x成立的自成立的自 变量变量x x的取值范围的取值范围. .使不等式使不等式 log2 x2xx2 的的x取值范围是取值范围是(2，4);使不等式使不等式 log2 x x21)(a1)和幂函数和幂函数 y=xy=xn n (n0),(n0),在区间（在区间（0 0，+）上，无论）上，无论n n比比a a大多少，尽管在大多少，尽管在x x的一定变化范围内，的一定变化范围内，a ax x会小于会小于x xn n, ,但由于但由于a ax x的增长快于的增长快于x xn n的的增长，因此总存在一个增长，因此总存在一个x x0 0, ,当当xxxx0 0时，就会有时，就会
21、有a ax xxxn n. .结论：结论：对于对数函数对于对数函数 y=logy=loga a x x（a1)a1)和幂函数和幂函数y=xy=xn n (n0),(n0),在区间（在区间（0 0，+）上）上, ,随着随着x x的增大，的增大，logloga ax x增长得越来越慢，增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与图象就像是渐渐地与x x轴平行一样轴平行一样. .尽管在尽管在x x的一定变化范围的一定变化范围内，内， logloga ax x可能会大于可能会大于x xn n，但由于，但由于logloga ax x的增长慢于的增长慢于x xn n的增长，的增长，因此总存在一个因此总存在一个x x
22、0 0, ,当当xxxx0 0时，就会有时，就会有logloga axxx1),x(a1),指数函数指数函数 y=ay=ax x(a1)(a1)与幂与幂函数函数y=xy=xn n(n0)(n0)在区间（在区间（0 0， +）上都是增函数，但它）上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个们的增长速度不同，而且不在同一个“档次档次”上上. .随着随着x x的增大，的增大，y=ay=ax x（a1a1）的增长速度越来越快，会超过并）的增长速度越来越快，会超过并远远大于远远大于y=xy=xn n（n0n0）的增长速度，而）的增长速度，而y=logy=loga ax(a1)x(a1)的增的增长速
23、度则会越来越慢长速度则会越来越慢. .因此总会存在一个因此总会存在一个x x0 0，当，当xxxx0 0 时，时，就有就有logloga axxxxn na0)(n0)增长快于对数增长快于对数函数函数 y=logy=loga ax(a1)x(a1)增长，但它们与指数增长比起来相增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸指数爆炸”. . 通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸爆炸, ,对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、其他学科的密切联系，的价值，认识数学与现实生活、其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美修凿可以使道路平直，但只有崎岖的未经修凿的道路才是天才的道路。
