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1、 第四节方向导数与梯度一、一、问题的提出问题的提出二、二、方向导数方向导数 三、梯度三、梯度实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变
2、冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、问题的提出一、问题的提出 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题二、方向导数二、方向导数（如图）（如图）P当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，是否存在？是否存在？记为记为证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到故有方向导数故有方向导数解解解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知故故由此可见，当由此可见，当的方向与的方向一致时，的方向与的方向一致时，方向导数取最大值，方向导数取最大值当当的方向与的方向垂直时，的方向与的方向垂直时，方向导数取零
3、方向导数取零注：注：推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义解解令令故故方向余弦为方向余弦为故故三、梯度三、梯度结论结论在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量等高线的画法等高线的画法播放播放例如例如,梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：例例解解（）方向导数取得最大值的方向是梯度方向，即（）方向导数取得最大值的方向是梯度方向，即方向导数的最大值为：方向导数的最大值为：（）沿梯度的负方向，即的方向减少（）沿梯度的负方向，即的方向减少
4、得最快得最快 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）小结小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案
