《三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.2 二项式定理课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.2 二项式定理课件（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 10.2二项式定理1.二项式定理:(a+b)n=an+an-1b1+an-rbr+bn(nN*).这个公式所表示的定理叫做二项式定理.c 2.几个基本概念几个基本概念(1)二项展开式:右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式.(2)项数:二项展开式中共有n+1项.(3)二项式系数:在二项展开式中各项的系数(r=0,1,2,n)叫做.(4)通项:二项展开式中的an-rbr叫做二项展开式的通项,用Tr+1表示,即通项为展开式的第r+1项:Tr+1=an-rbr(r=0,1,n).二项式系数二项式系数c4.通项公式主要用于求二项式的指数,求满足条件的项或系数,求展开式的某一项或系数.在运用公式时要
2、注意以下几点:(1)an-kbk是第k+1项,而不是第k项;(2)运用通项公式Tk+1=an-kbk解题时,一般都需先转化为方程(组)求出n、k,然后代入通项公式求解;(3)求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程(组)求出k,再求所需的某项;有时需要求n,计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系.3.在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式:(1+x)n=1+x+x2+x3+xn.若a=1,b=-x,则得到公式:(1-x)n=1-x+x2+(-1)nxn.5.在(a+b)n的展开式中,令a=b=1,得+=2n;令a=1,b=-1,得-+-+=0,+=+=2n-1,这种由一般
3、到特殊的方法叫“赋值法”.6.二项式系数的性质二项式系数的性质(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,事实上,这 一 性 质直 接 由公式=得到.(2)增减性=,当k时,二项式系数逐渐增大,由对称性知后半部分是逐渐减小的.(3)最大值当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大,最大值为.c当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值,最大值为或.c1.设二项式的展开式的各项系数和为p,所有二项式系数的和是s,若p+s=272,则n=()A.6B.5C.4D.8答案C中令x=1,得4n=p,所有二项式系数的和为2n=s,所以4n+2n=272,解得n=4.c2.(2x-3)
4、5的展开式中x2项的系数为()A.-2160B.-1080C.1080D.2160答案B因为Tr+1=(2x)5-r(-3)r,令5-r=2,得r=3.故含x2项的系数是22(-3)3=-1080,故选B.3.在的二项展开式中,若常数项为60,则n等于()A.3B.6C.9D.12答案BTr+1=()n-r=2r.由=0,知n=3r,展开式中的常数项为=60.若n=3,则=660,排除A,同理,将n=6,9,12代入一一验证得n=6.故选B.cc4.已知(x+1)15=a0+a1x+a2x2+a15x15,则a0+a1+a2+a7等于()A.215B.214C.28D.27答案B(x+1)15
5、=x15+x14+x13+x15-r+=a15x15+a14x14+a13x13+a1x+a0,a0+a1+a2+a7=+=(+)=214,故选B.c5.的展开式中,只有第五项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是.答案7解析只有第五项的二项式系数最大,所以n=8.Tr+1=(-1)r2r-8,令=0,得r=6,所以常数项为(-1)626-8=7.6.设a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a2015(x+1)2015=(x2+x+1)1007(x+2),则a1+a2+a2015的值为.答案1解析在已知式中令x=-1,得a0=1;再令x=0,得a0+a1+a2+a2015=2,所以a1+a2
6、+a2015=1.cc 求展开式中的指定项或指定项的系数求展开式中的指定项或指定项的系数典例1(1)(2015湖南,6,5分)已知的展开式中含的项的系数为30,则a= ()A. B.-C.6D.-6(2)(2015课标,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 ()A.10B.20C.30D.60(3)(2015天津,12,5分)在的展开式中,x2的系数为.答案(1)D(2)C(3)解析(1)的展开式的通项为Tr+1=()5-r=(-a)r.依题意,令5-2r=3,得r=1,(-a)1=30,a=-6,故选D.(2)(x2+x+y)5=(x2+x)+y5的展开式中只有(x2+
7、x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为=30,故选C.(3)的展开式的通项为Tr+1=x6-r=x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数为=.1.化简通项时注意通项表示的是第r+1项而不是第r项.应用通项时注意两点2.常数项是指通项中字母的指数为0的项,有理项是指通项中字母的指数为整数的项.1-1(2015浙江稽阳联谊学校联考(1),04(1)已知的展开式中存在常数项,求当正整数n取最小值时的展开式中的常数项.解析Tr+1=x2(n-r)x-3r=x2n-5r,由2n-5r=0得r=,r=0,1,2,n,nmin=5,此时r=2,常数项为=10.1-2(2015浙江宁波宁海中
8、学阶段检测)在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有()A.3项B.4项C.5项D.6项答案C解析因为Tr+1=()24-r=,故当r=0,6,12,18,24时,幂指数为整数,共有5项.cc 研究二项式系数研究二项式系数典例2(1)(2015湖北,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式 系 数 相 等 , 则 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 和 为()A.212B.211C.210D.29(2)(2015浙江新高考研究卷自选模块四(舟山中学),04(1)在二项式的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,求展开式中的常数项.答案(1)D解析(1
9、)(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为,=,得n=10.c从而有+=210,又+=+,奇数项的二项式系数和为+=29.(2)令x=1,得A=4n,又B=2n,所以4n+2n=72,所以2n=8,所以n=3.此时展开式的通项为Tk+1=3kx-k=3k.令=0,得k=1,展开式中的常数项为3=9.1.二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少,应视具体情况而定,一般取“1、-1或0”,有时也取其他值.2.一般地,若f(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)的展开式中各项
10、系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+=.2-1(2015浙江镇海中学新高考调研卷一,17)已知(1+x)2015=a0+a1x+a2x2+a2015x2015,求(a0+a1+a2+a1007)2-2012的值.解析a0+a1+a2+a2015=22015,且a0=a2015,a1=a2014,a2=a2013,a1007=a1008,a0+a1+a2+a1007=a2015+a2014+a2013+a1008=22015=22014,(a0+a1+a2+a1007)2-2012=4.c2-2已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a
11、9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+|a9|等于()A.29B.49C.39D.1答案B解析x的奇数次方的系数都是负值,|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=a0-a1+a2-a3+a8-a9,已知条件中只需赋值x=-1即可,故选B.c 二项式系数的最值问题二项式系数的最值问题典例3(2015浙江镇海中学新高考调研卷二,17)已知的展开式中前三项的系数成等差数列.求展开式中系数最大的项.解析由题设,得+=2,即n2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去).设第k+1项的系数最大,则即k=2或k=3.所以系数最大的项为T3=7x5,T4=7.c有关二项式系数和项的系数的最值问题,其关键是要明确:二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念,前者只指,而后者是指除字母外的部分.3-1(2013课标全国,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b, 则m=()A.5B.6C.7D.8答案B解析由题意得:a=,b=,所以13=7,=,=13,解得m=6,经检验为原方程的解.选B.c
