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1、模块复习课考点一：集合及其运算考点一：集合及其运算1.1.题型为选择题和填空题，考查集合的交集、并集、题型为选择题和填空题，考查集合的交集、并集、补集运算，常与不等式等问题相结合，考查数形结合、补集运算，常与不等式等问题相结合，考查数形结合、分类讨论等数学思想分类讨论等数学思想. .2.2.首先要明确集合中的元素，理解交、并、补集的含首先要明确集合中的元素，理解交、并、补集的含义，正确进行交集、并集、补集的运算，有时借助数义，正确进行交集、并集、补集的运算，有时借助数轴或轴或VennVenn图解题更直观、简捷，因此分类讨论及数形图解题更直观、简捷，因此分类讨论及数形结合的思想方法是解决此类问题
2、的常用方法结合的思想方法是解决此类问题的常用方法. .3.3.新定义下的试题在近几年高考中时有出现，本考向新定义下的试题在近几年高考中时有出现，本考向中采用新定义的形式使集合中元素满足新条件，从而中采用新定义的形式使集合中元素满足新条件，从而“构造构造”出新的集合，题型多以选择题形式出现，难出新的集合，题型多以选择题形式出现，难度不大度不大. .解决此类问题的关键是抓住新定义的本质，紧扣新定解决此类问题的关键是抓住新定义的本质，紧扣新定义进行推理论证义进行推理论证. .【典例【典例1 1】(2016(2016郑州高一检测郑州高一检测) )全集全集U=RU=R，若集合，若集合A=x|3x10A=
3、x|3x10，B=x|2x7B=x|2aa，A A C C，求，求a a的取值范围的取值范围. .【解析【解析】(1)A(1)AB=x|3B=x|3x10x10x|2xx|2x77=x|3x7=x|3x7；AB=x|3x10x|2x7=x|2x10AB=x|3x10x|2x7=x|2x10；( A)( B)=x|x2( A)( B)=x|x2，或，或x10.x10.(2)A=x|3x10(2)A=x|3xaa，要使，要使A A C C，结合数轴，结合数轴分析可知分析可知a3a3，即，即a a的取值范围是的取值范围是a|aa|a3.3.【延伸探究【延伸探究】若将本题若将本题(1)(1)中求中求“
4、( A)( B)( A)( B)”改改为求为求“( A)( B)( A)( B)”，则结果又是什么？，则结果又是什么？【解析【解析】( A)( A)( B)=x|x( B)=x|x37=x|xx7=x|x37.x7.【规律总结【规律总结】1.1.求解集合间的基本关系问题的技巧求解集合间的基本关系问题的技巧(1)(1)合理运用合理运用VennVenn图或数轴帮助分析和求解图或数轴帮助分析和求解. .(2)(2)在解含参数的问题时，一般要对参数进行讨论，分在解含参数的问题时，一般要对参数进行讨论，分类时要类时要“不重不漏不重不漏”，然后对每一类情况都要给出问，然后对每一类情况都要给出问题的解答题的
5、解答. .2.2.集合运算中的注意事项集合运算中的注意事项(1)(1)注重数形结合注重数形结合( (数轴或数轴或VennVenn图图) )在集合运算中的应用在集合运算中的应用. .(2)(2)集合的包含关系集合的包含关系(A(A B)B)中端点的中端点的“= =”取舍规律取舍规律. .a+1-1a+1-1a+1-1a+10.0.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性. .若若f(xf(x) )在区间在区间11，+)+)上单调递增，求常数上单调递增，求常数的取的取值范围值范围. .【解析【解析】(1)(1)选选C.C.要使函数要使函数f(xf(x)= +lg(2x+1)= +lg(2x+1)有意有意义
6、，需义，需 (2)(2)显然函数定义域关于原点对称，显然函数定义域关于原点对称，又又f(-xf(-x)= )= 所以函数所以函数f(xf(x) )是奇函数是奇函数. .任取任取1x1x1 1xx2 2，f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )因为因为f(xf(x) )在区间在区间11，+)+)上单调递增上单调递增. .所以所以f(xf(x1 1)-)-f(xf(x2 2)0)0-0对对1x1x1 1xx2 2恒成立，恒成立，即即x00，所以，所以01.0010，所以，所以f(1)=2f(1)=2，由，由f(a)+f(1)=0 f(a)+f(1)=0 f(a)=-2.f(a)=-2.当
7、当a0a0时，时，f(af(a)=2)=2a a=-2=-2，显然，显然a a不存在，这不存在，这与与a0a0条件发生矛盾；当条件发生矛盾；当a a0 0时，有时，有f(af(a)=a+1=-2)=a+1=-2，所以所以a=-3.a=-3.2.2.设函数设函数f(xf(x) )和和g(xg(x) )分别是分别是R R上的偶函数和奇函数，则上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是下列结论恒成立的是( () )A.|f(x)|-g(xA.|f(x)|-g(x) )是奇函数是奇函数B.|f(x)|+g(xB.|f(x)|+g(x) )是偶函数是偶函数C.f(x)-|g(xC.f(x)-|g(x)|)
8、|是奇函数是奇函数D.f(x)+|g(xD.f(x)+|g(x)|)|是偶函数是偶函数【解析【解析】选选D.D.根据题意有根据题意有f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )，g(-x)=-g(xg(-x)=-g(x) )，所以所以f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(xf(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|)|，所，所以以f(x)+|g(xf(x)+|g(x)|)|是偶函数是偶函数. .同理易知选项同理易知选项A A，B B中的函数既不是奇函数又不是偶函中的函数既不是奇函数又不是偶函数，选项数，选项C C中的函数是偶函数中
9、的函数是偶函数. .3.3.已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x2 2-2|x|.-2|x|.(1)(1)判断并证明函数的奇偶性判断并证明函数的奇偶性. .(2)(2)判断函数判断函数f(xf(x) )在在(-1(-1，0)0)上的单调性并加以证明上的单调性并加以证明. .【解析【解析】(1)f(x)(1)f(x)是偶函数是偶函数. .证明如下：定义域是证明如下：定义域是R R，因为因为f(-xf(-x)=(-x)=(-x)2 2-2|-x|=x-2|-x|=x2 2-2|x|=f(x-2|x|=f(x) )，所以函数所以函数f(xf(x) )是偶函数是偶函数. .(2)f(x)(2)f(
10、x)在在(-1(-1，0)0)上是增函数上是增函数. .当当x(-1x(-1，0)0)时，时，f(xf(x)=x)=x2 2+2x+2x，设，设-1x-1x1 1xx2 200，则则x x1 1-x-x2 20-2-2，即，即x x1 1+x+x2 2+20+20，因为因为f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=( x)=( x1 12 2- x- x2 22 2)+2(x)+2(x1 1-x-x2 2) )=(x=(x1 1-x-x2 2)(x)(x1 1+x+x2 2+2)0+2)0，所以所以f(xf(x1 1)f(x)0(a0且且a1).a1).(1)(1)求求f(xf(x) )
11、的定义域的定义域. .(2)(2)判断函数的奇偶性和单调性判断函数的奇偶性和单调性. .【解析【解析】(1)(1)要使此函数有意义，要使此函数有意义，则有则有 解得解得x1x1或或x-1x1a1时，时，f(x)=logf(x)=loga a 在在(-(-，-1)-1)，(1(1，+)+)上递减上递减. .当当0a10a1时，时，f(x)=logf(x)=loga a 在在(-(-，-1)-1)，(1(1，+)+)上递增上递增. .【规律总结【规律总结】1.1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称于原点对称. .2.2.求函数的单调区
12、间有两种思路：求函数的单调区间有两种思路：(1)(1)易得到单调区间易得到单调区间的，可用定义法来求证；的，可用定义法来求证；(2)(2)利用复合函数的单调性求利用复合函数的单调性求得单调区间得单调区间. .【巩固训练【巩固训练】1.1.函数函数f(xf(x)= )= 的图象大致是的图象大致是( () )【解析【解析】选选C.f(xC.f(x)= )= 即即f(xf(x)= )= 其图象为其图象为C.C.2.2.如果如果 那么那么( () )A.yx1 B.xA.yx1 B.xy1y1C.1xy D.1yxC.1xy D.1yx【解析【解析】选选D.D.由于对数函数由于对数函数 是是(0(0，
13、+ +) )上的单上的单调递减函数，则由调递减函数，则由 可得可得1yx.1yf(-a)f(-a)，则实数，则实数a a的取值范围是的取值范围是( () )A.(-1A.(-1，0)(00)(0，1) B.(-1) B.(-，-1)(1-1)(1，+)+)C.(-1C.(-1，0)(10)(1，+) D.(-+) D.(-，-1)(0-1)(0，1)1)【解析【解析】选选C.C.若若a0a0，则由，则由f(af(a)f(-a)f(-a)得得loglog2 2a a=-loga a=-log2 2a a，即，即loglog2 2a0a0，所以，所以a1.a1.若若a0af(-a)f(-a)得得
14、(-a)log(-a)log2 2(-a)(-a)，即即-log-log2 2(-a)log(-a)log2 2(-a)(-a)，所以所以loglog2 2(-a)0(-a)0，所以，所以0-a10-a1，即，即-1a0.-1a0.综上可知，综上可知，-1a0-1a1.a1.考点四：函数与方程考点四：函数与方程函数与方程是历年高考命题的重点，命题主要有两个函数与方程是历年高考命题的重点，命题主要有两个方面：方面：一是考查函数零点个数和零点所在区间的判断；一是考查函数零点个数和零点所在区间的判断；二是利用函数零点的个数或分布求参数取值范围二是利用函数零点的个数或分布求参数取值范围. .考题考题以
15、选择题和填空题为主，考题渗透对数形结合和分类以选择题和填空题为主，考题渗透对数形结合和分类讨论数学思想的考查，难度不大讨论数学思想的考查，难度不大. .【典例【典例4 4】判断函数判断函数f(xf(x)=lnx+x)=lnx+x2 2-3-3的零点的个数的零点的个数. .【解析【解析】方法一：函数对应的方程为方法一：函数对应的方程为lnx+xlnx+x2 2-3=0-3=0，所，所以原函数零点的个数即为函数以原函数零点的个数即为函数y=lnxy=lnx与与y=3-xy=3-x2 2的图象交的图象交点个数点个数. .在同一坐标系下，作出两在同一坐标系下，作出两函数的图象函数的图象( (如图如图)
16、.).由图象知，函数由图象知，函数y=3-xy=3-x2 2与与y=lnxy=lnx的图象只有一个交点，的图象只有一个交点，从而从而lnx+xlnx+x2 2-3=0-3=0有一个根，有一个根，即函数即函数f(xf(x)=lnx+x)=lnx+x2 2-3-3有一个零点有一个零点. .方法二：由于方法二：由于f(1)=ln1+1f(1)=ln1+12 2-3=-20-3=-20-3=ln2+10，所以所以f(1)f(1)f(2)0f(2)0，又又f(xf(x)=lnx+x)=lnx+x2 2-3-3的图象在的图象在(1(1，2)2)上是不间断的，所以上是不间断的，所以f(xf(x) )在在(1
17、(1，2)2)上必有零点，上必有零点，又又f(xf(x) )在在(0(0，+)+)上是递增的，所以零点只有一个上是递增的，所以零点只有一个. .【规律总结【规律总结】判断函数零点个数的方法主要有：判断函数零点个数的方法主要有：(1)(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数. .(2)(2)由由f(x)=g(x)-h(xf(x)=g(x)-h(x)=0)=0，得，得g(x)=h(xg(x)=h(x) )，在同一坐标系，在同一坐标系下作出下作出y y1
18、1=g(x=g(x) )和和y y2 2=h(x=h(x) )的图象，利用图象判定函数零的图象，利用图象判定函数零点的个数点的个数. .(3)(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数. .【巩固训练【巩固训练】1.1.函数函数f(xf(x)=2)=2x x|log|log0.50.5x|-1x|-1的零点个数的零点个数为为( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析【解析】选选B.B.令令f(xf(x)=2)=2x x|log|log0.50.5x|-1=0x|-1=0，可得可得|log|log0.50.5x|= .x|=
19、 .设设g(xg(x)=|log)=|log0.50.5x|x|，h(xh(x)= )= ，在同一坐标系下分别画出函数在同一坐标系下分别画出函数g(xg(x) )，h(xh(x) )的图象，可的图象，可以发现两个函数图象一定有以发现两个函数图象一定有2 2个交点，因此函数个交点，因此函数f(xf(x) )有有2 2个零点个零点. .2.2.在下列区间中，函数在下列区间中，函数f(xf(x)=e)=ex x+4x-3+4x-3的零点所在的区间的零点所在的区间为为( () )【解析【解析】选选C.C.因为因为 所以零点在所以零点在 上上. .3.3.已知二次函数已知二次函数f(xf(x)=x)=x
20、2 2-2ax+4-2ax+4，求在下列条件下，实，求在下列条件下，实数数a a的取值范围的取值范围. .(1)(1)零点均大于零点均大于1.1.(2)(2)一个零点大于一个零点大于1 1，一个零点小于，一个零点小于1.1.(3)(3)一个零点在一个零点在(0(0，1)1)内，另一个零点在内，另一个零点在(6(6，8)8)内内. .【解析【解析】(1)(1)因为方程因为方程x x2 2-2ax+4=0-2ax+4=0的两根均大于的两根均大于1 1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得结合二次函数的单调性与零点存在定理，得(2)(2)因为方程因为方程x x2 2-2ax+4=0-2ax+4=0
21、的一个根大于的一个根大于1 1，一个根小于，一个根小于1 1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)=5-f(1)=5-2a02a .a .(3)(3)因为方程因为方程x x2 2-2ax+4=0-2ax+4=0的一个根在的一个根在(0(0，1)1)内，另一个内，另一个根在根在(6(6，8)8)内，内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得结合二次函数的单调性与零点存在定理，得考点五：函数模型及其应用考点五：函数模型及其应用1.1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)(1)利用给定的函数模型解决实际问题利用
22、给定的函数模型解决实际问题. .(2)(2)建立确定性的函数模型解决实际问题建立确定性的函数模型解决实际问题. .(3)(3)建立拟合函数模型解决实际问题建立拟合函数模型解决实际问题. .2.2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求的要求. .3.3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字
23、母，列表，画图等使实际问题数数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化学符号化. .【典例【典例5 5】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间时间. .讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(xf(x) )表示学生掌握和接受概念的能力
24、表示学生掌握和接受概念的能力(f(x(f(x) )值越大，表示值越大，表示接受的能力越强接受的能力越强) )，x x表示提出和讲授概念的时间表示提出和讲授概念的时间( (单单位：位：min)min)，可有以下的公式：，可有以下的公式：f(xf(x)=)=(1)(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？多长时间？(2)(2)开讲后开讲后5min5min与开讲后与开讲后20min20min比较，学生的接受能力比较，学生的接受能力何时强一些？何时强一些？(3)(3)一个数学难题，需要一个数学难题，需要5555的接受能力以及的接受能力以及13m
25、in13min时间，时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？讲授完这个难题？【解析【解析】(1)(1)当当0x0x1010时，时，f(xf(x)=-0.1x)=-0.1x2 2+2.6x+43+2.6x+43=-0.1(x-13)=-0.1(x-13)2 2+59.9.+59.9.故故f(xf(x) )在在(0(0，1010上单调递增，最大值为上单调递增，最大值为f(10)=f(10)=-0.1-0.1(-3)(-3)2 2+59.9=59+59.9=59；当当16x3016x30时，时，f(xf(x) )单调递减，单调
26、递减，f(xf(x)-3)-316+107 16+107 =59.=59.因此，开讲后因此，开讲后10min10min，学生达到最强的接受能力，学生达到最强的接受能力( (值为值为59)59)，并维持，并维持6min.6min.(2)f(5)=-0.1(2)f(5)=-0.1(5-13)(5-13)2 2+59.9=59.9-6.4=53.5+59.9=59.9-6.4=53.5，f(20)=-3f(20)=-320+107=4753.5=f(5).20+107=4753.5=f(5).因此，开讲后因此，开讲后5min5min学生的接受能力比开讲后学生的接受能力比开讲后20min20min强强
27、一些一些. .(3)(3)当当0x100x10时，令时，令f(xf(x)=55)=55，则则-0.1-0.1(x-13)(x-13)2 2=-4.9=-4.9，(x-13)(x-13)2 2=49.=49.所以所以x=20x=20或或x=6.x=6.但但0x100x10，故，故x=6.x=6.当当16x3016x30时，令时，令f(xf(x)=55)=55，则，则-3x+107=55.-3x+107=55.所以所以x=17 .x=17 .因此，学生达到因此，学生达到( (或超过或超过)55)55的接受能力的时间为的接受能力的时间为17 17 -6=11 13(min)-6=11 13(min)
28、，所以老师来不及在学生一直达到，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题所需接受能力的状态下讲授完这个难题. .【规律总结【规律总结】解决已给出函数模型的实际应用题，关解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答际意义作出解答. .解决此类型函数应用题的基本步骤是：解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意第一步：阅读理解，审清题意. .读题要做到逐字逐句，读懂题中的文
29、字叙述，理解叙读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景述所反映的实际背景. .在此基础上，分析出已知是什在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题. .第二步：根据所给模型，列出函数关系式第二步：根据所给模型，列出函数关系式. .根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题在此基础上将实际问题转化为一个函数问题. .第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题( (即即数学模型数
30、学模型) )予以解答，求得结果予以解答，求得结果. .第四步：再将所得结论转译成具体问题的结果第四步：再将所得结论转译成具体问题的结果. .【巩固训练【巩固训练】1.1.已知甲、乙两地相距已知甲、乙两地相距150km150km，某人开，某人开汽车以汽车以60km/h60km/h的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以小时后再以50km/h50km/h的速度返回甲地，把汽车与甲地的的速度返回甲地，把汽车与甲地的距离距离s s表示为时间表示为时间t t的函数，则此函数表达式为的函数，则此函数表达式为. .【解析【解析】当当0 0t t2.52.5时，时，s=6
31、0ts=60t，当，当2.5t3.52.5t3.5时时s=150s=150，当，当3.53.5t t6.56.5时时s=150-50(t-3.5)=325-50ts=150-50(t-3.5)=325-50t，综上所述，综上所述，s=s=答案：答案：s=s=2.2.某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为60006000包，每包，每包进价为包进价为2.82.8元，销售价为元，销售价为3.43.4元，全年分若干次进货，元，全年分若干次进货，每次进货均为每次进货均为x x包，已知每次进货运输费为包，已知每次进货运输费为62.562.5元，元，全年保管费为全年保管费为1.
32、5x1.5x元，求使利润最大的元，求使利润最大的x x的值，并求的值，并求出最大利润？出最大利润？【解析【解析】设获得利润为设获得利润为y y元，则元，则y=(3.4-2.8)y=(3.4-2.8)6000- 6000- 62.5-1.5x62.5-1.5x=-1.5 +3600=-1.5 +3600，(xN(xN* *，0x6000).0x6000).由于函数由于函数g=x+ g=x+ 在在(0(0，500500上递减，在上递减，在500500，+)+)上递增，所以上递增，所以x=500x=500时，时，g gminmin=1000.=1000.所以所以y ymaxmax=-1.5=-1.51000+3600=2100(1000+3600=2100(元元).).答：每次进货均为答：每次进货均为500500包全年利润最大，最大利润包全年利润最大，最大利润为为21002100元元. .
