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1、1高等数学42积分换元法问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程 令令一、第一类换元法一、第一类换元法 Integration by the first kind of substitutiond(sin2x)=2cos2xdx上式不成立上式不成立2高等数学42积分换元法在一般情况下：在一般情况下：设设则则如果如果（可微）（可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理3高等数学42积分换元法第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明Directions 使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为定理定理Theorem 1The
2、orem 1 4高等数学42积分换元法第一换元法的实质是：第一换元法的实质是：令令=F(u)+c查表查表注注1 式式无论无论u是自变量还是另一变量是自变量还是另一变量x的函数，都成立。的函数，都成立。TH1也称为积分形式不变性。也称为积分形式不变性。P231积分表中积分表中x均可换为均可换为u,仍成立。仍成立。注注2 原来原来是统一记号，由是统一记号，由TH1,可看成可看成f(x)与与dx相乘。相乘。5高等数学42积分换元法例例 example 1（补充）（补充）解解熟悉后可不设熟悉后可不设u可省略这两步可省略这两步6高等数学42积分换元法例例 Example 2 Example 2 求求解解
3、（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）7高等数学42积分换元法例例 Example 3 Example 3 求求解解Solution 一般地一般地8高等数学42积分换元法例例 example 4解解例例 example 5解解一般地一般地9高等数学42积分换元法例例 Example 6 Example 6 求求解解10高等数学42积分换元法例例 Example 7 Example 7（补充）（补充） 求求解解11高等数学42积分换元法例例 Example 8 Example 8 求求解解公式（公式（20）12高等数学42积分换元法例例 Example 9 Example 9（补充）（补充
4、） 求求解解(20)13高等数学42积分换元法例例 Example 10解解公式（公式（22）例例 Example 11解解公式（公式（21）14高等数学42积分换元法例例 Example 12（补充）（补充）解解例例 Example 13（补充）（补充）解解115高等数学42积分换元法解解2例例 Example 1316高等数学42积分换元法例例 Example 14 Example 14 （补充）（补充） 求求解解17高等数学42积分换元法例例 Example Example 15（补充）（补充） 求求原式原式解解18高等数学42积分换元法例例 Example 16解解（16）例例 Exa
5、mple 17（补充）（补充）类似可得类似可得（17）解解119高等数学42积分换元法例例 Example 17解解2例例 Example 18（补充）（补充）解解(22)20高等数学42积分换元法例例 Example 19 Example 19 （补充（补充） 求求解解21高等数学42积分换元法例例 Example 20 Example 20 求求解解说明说明Directions 当被积函数是三角函数相乘时，当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分拆开奇次项去凑微分.22高等数学42积分换元法例例 Example 21 Example 21 求求解解 由由23高等数学42积分换元法例例
6、 Example 22 Example 22 求求解解（一）（一）（19）（19）24高等数学42积分换元法解解（二）（二）类似地可推出类似地可推出公式（公式（19）（18）(21)25高等数学42积分换元法解解例例 Example 23 Example 23 (补充）补充） 令令26高等数学42积分换元法例例 Example 24 Example 24 (补充）补充）求求解解27高等数学42积分换元法例例 Example 25 Example 25 求求解解例例 Example 26 Example 26 求求（总习题四，（总习题四，4）（总习题四，（总习题四，6）解解28高等数学42积分换
7、元法例例 Example 27 Example 27 求求（总习题四，（总习题四，3）解解由（由（21）例例 Example 28 Example 28 求求（总习题四，（总习题四，9）解解29高等数学42积分换元法（20）（22）（21）（16）（17）（19）（18）30高等数学42积分换元法问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法 Integration by the second kind of substitution 31高等数学42积分换元法证证Pro
8、of 设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理TheoremTheorem 2 232高等数学42积分换元法第二类积分换元公式第二类积分换元公式33高等数学42积分换元法第二换元法的实质是：第二换元法的实质是：查表查表两种换元法的关系：两种换元法的关系：第一换元法（凑微法）第一换元法（凑微法）（简化）（简化）=查表查表F(u)+c=查表查表=第二换元法（代换法）第二换元法（代换法） （繁化）（繁化）34高等数学42积分换元法例例2929 (P247) 求求解解 令令（23）35高等数学42积分换元法例例 Example 30( Example 30(补充）补充）
9、求求解解 令令36高等数学42积分换元法例例 Example 31 Example 31 (P248)求求解解令令（24）被积函数定义域为被积函数定义域为37高等数学42积分换元法（24）38高等数学42积分换元法说明说明(1)(1)DirectionsDirections以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换 Trigonometric substitution三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令39高等数学42积分换元法说明说明(2)Directions (2)Directi
10、ons 积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双曲代换双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令解解40高等数学42积分换元法 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例32(32(补充）补充） 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解41高等数学42积分换元法例例33(33(补充补充) ) 求求解解 令令42高等数学42积分换元法说明说明(4)(4) 当分母的阶较高时
11、当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换例例3434 (补充）补充） 求求令令解解43高等数学42积分换元法例例35(35(补充）补充）求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）44高等数学42积分换元法45高等数学42积分换元法说明说明(5)(5) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） 例例36(36(补充）补充） 求求解解 令令46高等数学42积分换元法47高等数学42积分换元法(23)(22)例例37(补充）补充）例例38(补充）补充）48高等数学42积分换元法基
12、基本本积积分分表表49高等数学42积分换元法50高等数学42积分换元法三、小结三、小结 Brief summary两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)51高等数学42积分换元法思考题思考题Consideration question求积分求积分52高等数学42积分换元法思考题解答思考题解答 Solution to consideration question53高等数学42积分换元法练练 习习 题题Exercises 54高等数学42积分换元法55高等数学42积分换元法56高等数学42积分换元法57高等数学42积分换元法练习题答案练习题答案 Answers to exercises 58高等数学42积分换元法59高等数学42积分换元法60高等数学42积分换元法
