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1、 The class has already begun!铛！铛！铛！1 第十二章第十二章第十二章第十二章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数21+2+3+4=103问题1: 4一般的，有限个函数的和仍然是函数，但是一般的，有限个函数的和仍然是函数，但是无限个函数的和呢？无限个函数的和呢？5问题2: 问题3: 有限个有限个连续连续函数的和仍然是函数的和仍然是连续连续函数，那么函数，那么如果无限个如果无限个连续连续函数的和仍然是函数，是不函数的和仍然是函数，是不是仍然是仍然连续连续？6本章的级数理论，主要是考虑如上的一些在有本章的级数理论，主要是考虑如上的一些在有限和的情况下成立的结论，在无限和的
2、情况下限和的情况下成立的结论，在无限和的情况下是否仍然成立，即是否仍然成立，即无穷级数的收敛性无穷级数的收敛性问题。问题。在在自然科学和工程技术自然科学和工程技术中中, ,也常用无穷级数来也常用无穷级数来分析问题。分析问题。在在积分运算和微分方程求解积分运算和微分方程求解时时, ,也经常使用也经常使用到无穷级数。到无穷级数。7常数项级数的概念常数项级数的概念收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质第一节第一节 常数项级数常数项级数的概念和性质的概念和性质8人们认识事物在数量方面的特性，往往有一个人们认识事物在数量方面的特性，往往有一个由近似到精确的过程，在这种过程中，会遇到由由近似到精确的过程，在
3、这种过程中，会遇到由有限到无穷多个数量相加的问题。有限到无穷多个数量相加的问题。例计算圆面积例计算圆面积方法方法：以圆内接正多边形的面积：以圆内接正多边形的面积近似表示圆面积。近似表示圆面积。一、一、常数项级数常数项级数的概念的概念9内接正六边形面积为内接正六边形面积为内接正十二边形面积为内接正十二边形面积为为为6个等腰三角形面积个等腰三角形面积)内接正二十四边形面积为内接正二十四边形面积为内接正内接正边形面积为边形面积为圆面积圆面积无穷多个数量依次相加。无穷多个数量依次相加。101. 级数的定义级数的定义(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项如如 问题问题:这种表达式是什么意思这种表达
4、式是什么意思?(1)给定一个数列给定一个数列11这样这样, 级数对应一个部分和数列级数对应一个部分和数列sn:称无穷级数的称无穷级数的2. 级数的收敛与发散概念级数的收敛与发散概念按通常的加法运算一项一项的加下去按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数的为级数的也算不完也算不完,永远永远那么级数的结果是什么呢那么级数的结果是什么呢?前前n项和项和部分和部分和.含义是含义是什么什么?给定级数就可以决定给定级数就可以决定sn，反之一样反之一样.明显：明显：级数是不是表示一个数，等价于部分和数列级数是不是表示一个数，等价于部分和数列sn是是不是存在极限！不是存在极限！12定义定义则称则称无穷级数无穷
5、级数并并写成写成即即常数项级数收敛常数项级数收敛(发散发散).(不存在不存在)存在存在13这种等价关系将这种等价关系将级数的敛散性级数的敛散性，转化为，转化为数列极限是否存在数列极限是否存在的问题。的问题。它是最基本的级数敛散性的判断方法。它是最基本的级数敛散性的判断方法。级数的敛散性它与部分和数列是否有级数的敛散性它与部分和数列是否有极限是等价的极限是等价的.(1)14对对收敛收敛级数级数(1),为级数为级数(1)的的余项余项或或余和余和. .显然有显然有当当n充分大时充分大时,(1)称差称差误差误差为为15例例而而所以所以,的部分和的部分和 级数级数级数发散级数发散.16解解例例讨论等比级
6、数讨论等比级数(几何级数几何级数)的的收敛性收敛性.17级数级数收敛收敛 级数级数发散发散 级数级数发散发散 级数级数发散发散 综上综上级数变为级数变为以后会经常用到，以后会经常用到，必须记住！必须记住！18讨论级数讨论级数的的敛散性敛散性.解解例例因为因为为公比的等比级数为公比的等比级数,是以是以故故级数级数收敛收敛.发散发散.19解解例例 判定级数判定级数的的收敛性收敛性.20即即21判定级数判定级数的的收敛性收敛性.练习练习级数收敛级数收敛, 且其和为且其和为1.22的部分和分别为的部分和分别为 则则于是于是证证性质性质1 1若若收敛于收敛于s,二、二、收敛级数的基本性质收敛级数的基本性
7、质则则 收敛于收敛于ks.= =+ + + +)(21nuuukL得证得证.23也不存在极限也不存在极限.性质性质1 1若若收敛于收敛于s, 则则 收敛于收敛于ks.由由 知，知，结论结论1:1: 级数的每一项同乘一个不为零的常级数的每一项同乘一个不为零的常数数, ,敛散性不变敛散性不变. .即即 时，数列时，数列 的敛散性相同的敛散性相同.所以所以 时，级数时，级数 的敛散性相同的敛散性相同.结论结论2:2:收敛级数对非零乘数的分配律成立收敛级数对非零乘数的分配律成立. .24性质性质2 2 设有两个级数设有两个级数证证所以所以级数的部分和级数的部分和结论结论: : 收敛收敛级数逐项相加减后
8、保持收敛性级数逐项相加减后保持收敛性. .得证得证.25 例例都收敛都收敛.26性质性质2 2 设有两个级数设有两个级数敛散性如何？敛散性如何？收敛收敛,发散发散,问题问题1必发散必发散.27性质性质2 2 设有两个级数设有两个级数均发散均发散,敛散性如何？敛散性如何？问题问题2可能发散也可能收敛可能发散也可能收敛.28都都发散发散.收敛收敛.例例能否举出能否举出发散级数的和仍然发散发散级数的和仍然发散的例子？的例子？都都发散发散.发散发散.29性质性质3 3 添加、去掉或者改变添加、去掉或者改变有限项有限项不影响一个级数不影响一个级数的敛散性的敛散性.例例收敛收敛收敛收敛收敛收敛收敛收敛问题
9、问题收敛的情况下，是否收敛于同样的和？收敛的情况下，是否收敛于同样的和？30性质性质4 4 设级数设级数收敛收敛,则则对其各项任意加括号所得对其各项任意加括号所得新级数新级数仍收敛，仍收敛，且收敛于原级数的和且收敛于原级数的和.例例证明作为课下练习证明作为课下练习.31性质性质4 4 设级数设级数收敛收敛,则则对其各项任意加括号所得对其各项任意加括号所得新级数新级数仍收敛，仍收敛，且收敛于原级数的和且收敛于原级数的和.一个级数加括号后所得新级数一个级数加括号后所得新级数发散发散,则则注注原级数原级数事实上事实上,加括后的级数就应该收敛了加括后的级数就应该收敛了.设原来的级数收敛设原来的级数收敛
10、,则根据则根据性性质质4, 收敛收敛 发散发散一个级数加括号后收敛一个级数加括号后收敛,原级数原级数发散发散.敛散性不确定敛散性不确定.32(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)性质性质5 5收敛级数的一般项趋于零，即收敛级数的一般项趋于零，即的部分和为的部分和为 且且证证则则33注注 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件, ,常用判别级数发散常用判别级数发散;如如调和级数调和级数逆命题不成立逆命题不成立. .但级数是否收敛但级数是否收敛性质性质5 5 收敛级数的一般项趋于零。收敛级数的一般项趋于零。一般项趋于零时，级数可能收敛也可能发散一般项趋于零时，级数可能收敛也可能发散34是否收敛是否
11、收敛?讨论讨论调和级数调和级数假设级数收敛于假设级数收敛于s， 部分和为部分和为sn,明显：明显：所以所以由于由于 一定发散一定发散不可能以零为极限不可能以零为极限.矛盾！矛盾！常用！常用！35例例 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性36解解 由于由于发散发散解解 由于由于发散发散37 解解而级数而级数所以这个等比级数所以这个等比级数发散发散.由由性质性质2知知,由由性质性质1知知,发散发散.因调和级数因调和级数发散发散,为公比的等比级数为公比的等比级数,是以是以收敛收敛.38判断题判断题错错错错正确正确练习练习39 (4) 收敛级数收敛级数改变前改变前100项得到的新级数可项得到的新级
12、数可能收敛也可能发散。能收敛也可能发散。 (5) 添加或者去掉级数的添加或者去掉级数的项不会影响级数的项不会影响级数的敛散性。敛散性。 (6) 级数加括号后收敛，则原级数必收敛级数加括号后收敛，则原级数必收敛。 (7) 级数加括号后发散，则原级数必发散级数加括号后发散，则原级数必发散。 (8) 收敛级数加括号必收敛收敛级数加括号必收敛。错错正确正确错错正确正确错错40本节课学习了哪些方法可以判断级数的敛散性？本节课学习了哪些方法可以判断级数的敛散性？3. 按基本性质按基本性质.等价于级数收敛等价于级数收敛.由定义由定义,1.则级数发散则级数发散.2.总结总结4. 利用特殊级数：利用特殊级数：等比级数和调和级数等比级数和调和级数.41作作 业业习题习题11-111-1 3 3（2 2，3 3），），4 4（1 1，2 2，5 5）42
