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1、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 如图，如图，P为平行四边形为平行四边形ABCD所在平面外所在平面外一点，一点，M，O分别是分别是PD，AC的中点，判断的中点，判断MO与平面与平面PAB的关系的关系 PMAODBCPMAOBCEF 如图，如图，P为平行四边形为平行四边形ABCD所在平面外所在平面外一点，一点，M，K分别是分别是PD，BC的中点，判断的中点，判断MK与平面与平面PAB的关系的关系 PMAKDBCE如图，如图，E为在正方体为在正方体ABCDA1B1C1D1的棱的的棱的中点，中点，求证：求证：BD1 平面平面ACE. ABCD A1B1C1D1EO 直线和平面平行的判定定理中
2、三个条件缺直线和平面平行的判定定理中三个条件缺一不可，体现了化归的数学思想，将线面一不可，体现了化归的数学思想，将线面平行问题转化为线线平行问题平行问题转化为线线平行问题线线平行线线平行线面平行线面平行问题：若线面平行，则直线与平面内的直线问题：若线面平行，则直线与平面内的直线的位置关系如何？的位置关系如何？ 无公共点无公共点 平行或异面平行或异面 何时平行？何时平行？ab 如果一条直线和一个平面平行，经过这条如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行线就和交线平行 a =ba ab 线面平行线面平行线线平行线线平
3、行 例例1 若三个平面两两相交于三条直线，并若三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条交线平行，那么第三条交线也且其中两条交线平行，那么第三条交线也和它们平行和它们平行 变式：若三个平面两两相交于三条直线，并变式：若三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交，那么第三条交线必且其中两条直线相交，那么第三条交线必经过前两条直线的交点经过前两条直线的交点 例例2 已知平面外的两条平行直线中的一条已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面这个平面 3.有一块木料如图所示，已知棱有一块木料如图所示，已知棱BC平行于面平行于面A
4、C(1)要经过木料表面要经过木料表面ABCD 内的一点内的一点P和和棱棱BC将木料锯开，应怎样画线？将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和平面所画的线和平面AC有什么关系？有什么关系？ABCDABCDPEF4.填空：填空：(1) 过直线外一点，与这条直线平行的平面过直线外一点，与这条直线平行的平面有有_个个.另：过直线外一点，与这条直线平行的直线另：过直线外一点，与这条直线平行的直线有有_个个.(2) 过平面外一点，与这个平面平行的直线有过平面外一点，与这个平面平行的直线有_条条.(3) 过两条异面直线中的一条可作过两条异面直线中的一条可作_个平面个平面与另一条直线平行与另一条直线平行.ab
5、P aPab ba(4) 点点P是两条异面直线外一点，过是两条异面直线外一点，过点点P可作可作_个平面与直线都平行个平面与直线都平行.Pa ba 5若一条直线与一个平面平行，那么过这若一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内在这个平面内abA c6求证：若一条直线与两个相交平面都平行，求证：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行则这条直线与它们的交线平行ab dcmnAB7如图，如图，E为在正方体为在正方体ABCDA1B1C1D1的的棱的中点，棱的中点，求证：求证：BD1 平面平面ACE. ABCD
6、 A1B1C1D1EO如图，正方形如图，正方形ABCD和正方形和正方形ADEF不共面，不共面，M BD，N AE，且，且ANBM，求证：求证：MN/平面平面CDEABCEDFMNQP 8 .如图如图,正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中中,点点N在在 B1D1上上,点点M在在BC1上上,且且C1M=D1N, 求证求证:MN/平面平面AA1B1B.B ACD A1B1C1D1NME 9已知：四边形已知：四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，点点P是平面是平面ABCD外一点，外一点，M是是PC的中点，的中点，DM上取一点上取一点G，过，过AP和和G作平面交平面作平面交平面BDM于于GH.求
7、证：求证：APGH ABCDPMGHO 直线与平面垂直直线与平面垂直 问题：将课本竖放在讲台上，指出书脊（想问题：将课本竖放在讲台上，指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直直 直线与平面垂直直线与平面垂直 （1）一条直线和平面内的任何一条直线都）一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，称这条直线和这个平面互相垂直垂直，称这条直线和这个平面互相垂直 （2） 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线直线叫做平面的垂线，
8、平面叫做直线的垂面，直线和平面的交点称为垂足的垂面，直线和平面的交点称为垂足. aBA记作：记作：a 思考思考（1）定义中定义中“任何任何”两字能否改为两字能否改为“无无数数”,为什么？为什么？（3）过空间一点有几个平面与已知直线垂直过空间一点有几个平面与已知直线垂直？（2）过空间一点有几条直线与已知平面垂直）过空间一点有几条直线与已知平面垂直？ 定理：定理：过一点过一点有且只有一条有且只有一条直线与已知平面垂直；直线与已知平面垂直；过一点过一点有且只有一个有且只有一个平面与已知直线垂直平面与已知直线垂直 例例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那
9、么另一条也垂直于同一直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面个平面 （用定义证明）（用定义证明） 有没有更方便的判定方法呢？有没有更方便的判定方法呢？ amn思考：拿一张矩形的纸思考：拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立对折后略为展开，竖立在桌面上，折痕和桌面在桌面上，折痕和桌面的位置关系如何？的位置关系如何？因为因为a ， a b ，所以，所以b 直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面线垂直，那么这条直线垂直于这个平面因为因为a m， a n，mn=A，m ，n ，所以所以a
10、 线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直 amnA证明直线与平面垂直的方法：证明直线与平面垂直的方法：1.用定义证明；用定义证明；2.用判定定理用判定定理 例例 P是菱形是菱形ABCD外的一点，且外的一点，且PAPC，求证求证 AC 平面平面PBD.BACDPO判断：判断：1.若直线若直线l ，b,则则lb. 2.若直线若直线lm，mn，l ，则，则n . 3.若若a m， a n，m ，n ，则则a . 4. 过点过点A垂直于直线的所有直线一定在同垂直于直线的所有直线一定在同一平面内平面内 . 已知直线已知直线l 平面平面，垂足为，垂足为A，直线，直线APl求证：求证：AP .证明：设证明：设AP
11、与与l确定的平面为确定的平面为若若AP ，则设，则设=AM l ， l AM又又AP l ，于是在平面，于是在平面内过点内过点A有两条直线垂直于有两条直线垂直于l ，这是不可能的，这是不可能的所以所以AP l APM 问题：如果两条直线同垂直于一个问题：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线的位置关系平面，那么这两条直线的位置关系如何？如何？ 直线和平面垂直的性质定理直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行那么这两条直线平行因为因为a ，b ，所以，所以a bbba O aBA若若a ，则点到平面的距离则点到平面的距离:AB
12、的长度的长度面外一点与这个平面内各点的连结而面外一点与这个平面内各点的连结而成的线段中，垂直于平面的线段最短成的线段中，垂直于平面的线段最短.已知：直线已知：直线l 平面平面 求证：直线求证：直线l上的各点到平面上的各点到平面 的距离相等的距离相等l ABBA直线与平面平行，直线上任何一点到平面的距离叫这直线与平面平行，直线上任何一点到平面的距离叫这条直线到平面的距离条直线到平面的距离 如图，四边形如图，四边形ABCD是正方形，是正方形，SA 平面平面 ABCD，过，过A且垂直于且垂直于SC的平面交的平面交SB、SC、SD于于E、F、G，求证：求证：AE SB.ABCDEFSG已知点已知点A是
13、平面是平面BCD外的一点，外的一点，AB CD,AC BD,求证：求证：AD BC.BCDA 例：四面体例：四面体ABCD中，中，ACBC，ADBD，BECD于于E，AHBE于于H，求证：，求证：AH平面平面BCD ACDBEH 平面的斜线：平面的斜线：一条直线和一个平面相交，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线就但不和这个平面垂直，这条直线就叫做这叫做这个平面的斜线个平面的斜线.斜线和平面的交点叫做斜斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这点足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的到这个平面的斜线段斜线段. PQ 平面外一点到这个平面的垂线段有且平面外
14、一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条段有无数条.Q 斜线在这个平面斜线在这个平面 内的射影：内的射影：平面平面 外的一点外的一点P向平面向平面 引斜线和垂线，过垂足引斜线和垂线，过垂足D和斜足和斜足Q的直线叫做斜线在平面的直线叫做斜线在平面 内的射内的射影（正投影）影（正投影） 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在平面段在平面 内的射影内的射影PD直线与平面相交时，通过什么量来刻画直线与平面相交时，通过什么量来刻画倾斜程度？倾斜程度？直线与平面所成的角直线与平面所成的角（1）平面的一条斜
15、线与它在平面内的射线所成的锐）平面的一条斜线与它在平面内的射线所成的锐角叫这条斜线与平面所成的角；角叫这条斜线与平面所成的角； Q PD比较比较PQD与与PQM大小大小M因为因为PD于点于点D，PQ与平面与平面相相交于点交于点Q，所以所以PQD是是PQ与平与平面面所成的角所成的角（2）平面的垂线与平面所成的角是直角；）平面的垂线与平面所成的角是直角；（3）直线与平面平行或在平面内，所成的角）直线与平面平行或在平面内，所成的角是是0角角例例1 已知已知AC，AB分别是平面分别是平面 的垂线与斜的垂线与斜线，线，C，B分别是垂足和斜足，分别是垂足和斜足，n ，B ACn若若n CB.求证：求证：
16、n AB若若 n AB求证：求证：n CB.例例2 已知已知ABC在平面在平面 内，内，P ， PACPAB求证：点求证：点P在在 内的射影在内的射影在ABC的角平分线的角平分线上上AB CP例例3 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求(1)A1D与平面与平面ABCD所成的角；所成的角； (2)A1C与平面与平面ABCD所成的角的正弦；所成的角的正弦；(3)A1B与平面与平面A1B1CD所成的角的余弦所成的角的余弦ABCDA1B1C11D1如图，四边形如图，四边形ABCD是矩形，是矩形，SA平面平面ABCD，AESB于，于，EFSC于于F， 求证：（求证：（1）A
17、EBC；（；（2）AFSCABCDEFSABCDEFS已知已知ABC中，中，AB6，AC8，BAC90，平面外一点，平面外一点P到三个顶点的距离都为到三个顶点的距离都为13，求，求P到平面到平面ABC的距离的距离若若PA，PB，PC两两互相垂直，则点两两互相垂直，则点P在平面在平面ABC内的射影是三角形内的射影是三角形ABC的的 心心若若PAPBPC，则点，则点P在平面在平面ABC内的射内的射影是三角形影是三角形ABC的的 心心 若若PA，PB，PC每两条的夹角是每两条的夹角是60 ，求，求 PC与平面与平面PAB所成角的余弦值所成角的余弦值设设a，b是异面直线，它们所成的角时是异面直线，它们
18、所成的角时80(1)过空间一点过空间一点P作直线作直线l，使，使l与与a，b所成都是所成都是60,这这样的直线有几条？样的直线有几条？(2)过空间一点过空间一点P作直线作直线l，使，使l与与a，b所成都是所成都是50,这样的直线有几条这样的直线有几条？(3)过空间一点过空间一点P作直线作直线l，使，使l与与a，b所成都是所成都是45,这样的直线有几条？这样的直线有几条？(4)过空间一点过空间一点P作直线作直线l，使，使l与与a，b所成都是所成都是40,这样的直线有几条？这样的直线有几条？(5)过空间一点过空间一点P作直线作直线l，使，使l与与a，b所成都是所成都是35,这样的直线有几条？这样的直线有几条？
