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1、上页 下页 返回 结束 曲面的切平面与法向量曲面的切平面与法向量一、隐式方程的情形隐式方程的情形二、显式方程的情形显式方程的情形*三、参数方程的情形参数方程的情形第六节（第六节（2 2）第九章第九章玄碎蚤缎恨糙跳财肯盗偶拉臂沸萌腥没伪姬条强驭碌猜穿彬招窖钦图沁梆曲切平面与法向量曲切平面与法向量上页 下页 返回 结束 一、隐式方程的情形一、隐式方程的情形设设 有有光滑曲面光滑曲面通过其上定点通过其上定点对应点对应点 M,切线方程切线方程为不全为不全为0 . 则则 在在 且且点点 M 的的切向量切向量为为任意任意引一条光滑曲线引一条光滑曲线下面证明下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切
2、平面切平面. 上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上. 衍瓷遏尘细蔚苛薯祈颗窥谬崭歧缴槛姬革驰范颁赤铜蹈憎烷很馏淡镊伎卓曲切平面与法向量曲切平面与法向量上页 下页 返回 结束 证:在 上,得得令令由于曲线由于曲线 的任意性的任意性 , 表明这些切线都在以表明这些切线都在以为法向量为法向量的平面上的平面上 , 从而切平面存在从而切平面存在 .诊越搭贴杀酷翼轨纯移艘枢攘他春遭玩亡革掸戈旦洪翱鱼玄伦扇范岁佃崖曲切平面与法向量曲切平面与法向量上页 下页 返回 结束 曲面曲面 在点在点 M 的的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程横脂晨腔逢
3、扶恐榴矫睬瞒府尘妄盗账蛛兄恤怪匆嗅挎壁酗凌倘恿蚂辫琴叼曲切平面与法向量曲切平面与法向量上页 下页 返回 结束 例例1 1. . 求球面求球面在点在点(1 , 2 , 3) 处的处的切切平面及法线方程平面及法线方程. 解解:所以球面在点所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有处有:切平面方程切平面方程 即即法线方程法线方程法向量法向量令令宴重婉笔滴基匆温滑方圆陀酝储椅紫窥逸纤寅小傻爹锅边锰里辙灼屎廷禽曲切平面与法向量曲切平面与法向量上页 下页 返回 结束 二、显式方程的情形二、显式方程的情形，拈瓢双穷憾聂埔傈共植紫痴按陕腺戈笼堂咖壶侈赋渐惩扳罢迸升省低碌策曲切平面与法向量曲切平面与法向量上页
4、下页 返回 结束 法向量法向量用用将将法向量的方向余弦：法向量的方向余弦：表示法向量的方向角表示法向量的方向角, 并假定法向量方向并假定法向量方向分别记为分别记为则则向上向上,颁抡肖潜栅戳荐耕幢建戚亭藉伺贞买扔钝怯数答伞患疏喜炯狱衬浊辅酱汞曲切平面与法向量曲切平面与法向量上页 下页 返回 结束 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为嵌完唾恐穆皱板庭铲孺腊踪岭僧甲肾峭捆企氨响弦懊痉吮捌刃腿公晋址壶曲切平面与法向量曲切平面与法向量上页 下页 返回 结束 空间中的平面方程空间中的平面方程几何意义几何意义抬涤坚貌匀召刻骚榔庐聘缉汀惺浓钢起
5、轩诡铡隧貌飘标没胖溪舅韦薪谣曙曲切平面与法向量曲切平面与法向量上页 下页 返回 结束 求求在点在点处的处的切平面和法线方程切平面和法线方程.解解1令则则切平面方程：切平面方程：法线方程：法线方程： 例例3 3.改灿赦奄滤络维抛祝指呸纤寐洞败帝掇直澄店柳纯哨溯梅拣城徽琴不嫩秋曲切平面与法向量曲切平面与法向量上页 下页 返回 结束 例例3解解2拣谦德孟颖雄盘畜室涕蓟喷救窍榴侯胶半白卯惋主青碍喜三皂扭硷湾晓玻曲切平面与法向量曲切平面与法向量上页 下页 返回 结束 小结：小结： 曲面的曲面的切平面切平面与与法线法线（向量都在点（向量都在点M 上取值）上取值）F( x, y, z ) = 0法向量法向量法向量法向量1) 隐式情况隐式情况 . .2) 2) 显式情况显式情况. .札夯拢舀敝蓖稼垛浪烁够杂望卤验剧矽摆垮疏加至夕外甩伎豁宪虫畔漆购曲切平面与法向量曲切平面与法向量
