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1、把握数学本质把握数学本质 使数学教学更有效使数学教学更有效 两则案例带给我们的启示两则案例带给我们的启示小学教学编辑部小学教学编辑部 殷现宾殷现宾 2021/6/162021/6/161 1从从“数学味数学味”谈起谈起n n数学课应该有数学味，你同意吗？数学课应该有数学味，你同意吗？n n问题：问题：1.为什么要有数学味？（为什么要有数学味？（Why）2.数学味指的是什么？（数学味指的是什么？（What）3.怎样的课才算是有数学味？（评价）怎样的课才算是有数学味？（评价）怎样才能使数学课有数学味？（策略）怎样才能使数学课有数学味？（策略）（How）2021/6/162021/6/162 2两
2、则案例2021/6/162021/6/163 3案例一案例一 ：“坑坑洼洼的怎么坑坑洼洼的怎么补补啊？啊？”（把握学科本质是一切教学法的根（把握学科本质是一切教学法的根（把握学科本质是一切教学法的根（把握学科本质是一切教学法的根2007.082007.08）情境一：王奶奶家门前有情境一：王奶奶家门前有情境一：王奶奶家门前有情境一：王奶奶家门前有一块形状如图的地，如何一块形状如图的地，如何一块形状如图的地，如何一块形状如图的地，如何求这块地的面积呢求这块地的面积呢求这块地的面积呢求这块地的面积呢? ?n n意图：通过引导得出方法，渗透意图：通过引导得出方法，渗透意图：通过引导得出方法，渗透意图：
3、通过引导得出方法，渗透“ “转化转化转化转化”思想。思想。思想。思想。n n生：生：生：生：这是一块地，您怎么移动、怎么这是一块地，您怎么移动、怎么这是一块地，您怎么移动、怎么这是一块地，您怎么移动、怎么“ “补补补补” ”啊啊啊啊? ?n n师：这不是真的地，我们现在是在做数学题。师：这不是真的地，我们现在是在做数学题。师：这不是真的地，我们现在是在做数学题。师：这不是真的地，我们现在是在做数学题。n n该学生不再该学生不再该学生不再该学生不再“ “找茬找茬找茬找茬” ”。2021/6/162021/6/164 4案例一案例一情境二：李奶奶家门前情境二：李奶奶家门前情境二：李奶奶家门前情境二
4、：李奶奶家门前也有一块地，是这个形也有一块地，是这个形也有一块地，是这个形也有一块地，是这个形状，怎么求它的面积呢状，怎么求它的面积呢状，怎么求它的面积呢状，怎么求它的面积呢? ?n n教师的意图是将该教师的意图是将该教师的意图是将该教师的意图是将该“ “地地地地” ”近似看成平行四边近似看成平行四边近似看成平行四边近似看成平行四边形，从而引出本课内容。形，从而引出本课内容。形，从而引出本课内容。形，从而引出本课内容。n n该生：老师，该生：老师，该生：老师，该生：老师，这块这块这块这块“ “地地地地” ”坑坑洼洼的，您怎坑坑洼洼的，您怎坑坑洼洼的，您怎坑坑洼洼的，您怎么补啊么补啊么补啊么补啊
5、? ?n n师：不是说了吗，这不是真的地，我们是在师：不是说了吗，这不是真的地，我们是在师：不是说了吗，这不是真的地，我们是在师：不是说了吗，这不是真的地，我们是在做做做做“ “数学题数学题数学题数学题” ”。2021/6/162021/6/165 5 n n类似例子：类似例子：地球自转：地球自转：“坐地日行八万里坐地日行八万里”1667km/hrou（即绕着中心快速地转圈）（即绕着中心快速地转圈）n n问题：这两个问题：这两个“傻傻”问题的实质是什么？问题的实质是什么？n n第一次：这是一块地，怎么移动、怎么第一次：这是一块地，怎么移动、怎么“补补”啊啊?学生没有弄清学生没有弄清“什么是数学
6、什么是数学”“什么什么是运用数学解决实际问题是运用数学解决实际问题”。（横向数学。（横向数学化）化）2021/6/162021/6/166 6n n第二次：第二次：“地地”的边界是的边界是“坑坑洼洼的坑坑洼洼的”，用哪个，用哪个“凸凸”补哪个补哪个“凹凹”呢呢?朴素而又深刻朴素而又深刻:求面积，用面积单求面积，用面积单位铺位铺面积单位面积单位个数个数m2大，换成大，换成dm2；不规则图形不规则图形“面积面积”问问题题积分积分近似近似整体思想；精确整体思想；精确积分思想积分思想n n这个案例给我们的启示是什么？这个案例给我们的启示是什么？2021/6/162021/6/167 7启 示1.1.弄
7、清学生问题的实质。弄清学生问题的实质。弄清学生问题的实质。弄清学生问题的实质。价值判断价值判断价值判断价值判断决策（机制）。例：投影屏幕决策（机制）。例：投影屏幕决策（机制）。例：投影屏幕决策（机制）。例：投影屏幕与电脑的体积与电脑的体积与电脑的体积与电脑的体积注意：越是简单朴素的问题往往越蕴涵着数注意：越是简单朴素的问题往往越蕴涵着数注意：越是简单朴素的问题往往越蕴涵着数注意：越是简单朴素的问题往往越蕴涵着数学本质的思想方法。学本质的思想方法。学本质的思想方法。学本质的思想方法。2.2.提高自身的数学素养，增强判断力。提高自身的数学素养，增强判断力。提高自身的数学素养，增强判断力。提高自身的
8、数学素养，增强判断力。3.3.追问：什么是追问：什么是追问：什么是追问：什么是“ “数学化数学化数学化数学化” ”？研读作为教研读作为教研读作为教研读作为教育任务的数学（弗赖登塔尔著）育任务的数学（弗赖登塔尔著）育任务的数学（弗赖登塔尔著）育任务的数学（弗赖登塔尔著）“积分思想积分思想积分思想积分思想” ”到底指什么？到底指什么？到底指什么？到底指什么？高等数高等数高等数高等数学学学学2021/6/162021/6/168 8案例二：减法的初步认识案例二：减法的初步认识1.1.创设情境，生发现信息并提出问题：创设情境，生发现信息并提出问题：创设情境，生发现信息并提出问题：创设情境，生发现信息并
9、提出问题：n n停车场原来有停车场原来有停车场原来有停车场原来有5 5辆小汽车，开走了辆小汽车，开走了辆小汽车，开走了辆小汽车，开走了2 2辆，还剩辆，还剩辆，还剩辆，还剩几辆？几辆？几辆？几辆？n n（学生顺利列出算式）（学生顺利列出算式）（学生顺利列出算式）（学生顺利列出算式）2.2.要求：利用学具，自己动手创造一个用减法要求：利用学具，自己动手创造一个用减法要求：利用学具，自己动手创造一个用减法要求：利用学具，自己动手创造一个用减法解决的问题，并列式解决。解决的问题，并列式解决。解决的问题，并列式解决。解决的问题，并列式解决。【亲历减法意义的感知过程，并板书各种算式，【亲历减法意义的感知
10、过程，并板书各种算式，【亲历减法意义的感知过程，并板书各种算式，【亲历减法意义的感知过程，并板书各种算式，为后续观察、比较、总结作准备】为后续观察、比较、总结作准备】为后续观察、比较、总结作准备】为后续观察、比较、总结作准备】2021/6/162021/6/169 93.交流汇报：交流汇报： n n女孩：女孩：女孩：女孩：“ “我本来拿了我本来拿了我本来拿了我本来拿了5 5个小水果，送给同桌个小水果，送给同桌个小水果，送给同桌个小水果，送给同桌2 2个，个，个，个，我还剩几个水果？我列的算式是我还剩几个水果？我列的算式是我还剩几个水果？我列的算式是我还剩几个水果？我列的算式是5-2=35-2=
11、3。”n n男孩：男孩：男孩：男孩：“ “怎么还是怎么还是怎么还是怎么还是5-2=35-2=3啊？重复了！啊？重复了！啊？重复了！啊？重复了！” ”n n女孩辩解：女孩辩解：女孩辩解：女孩辩解：“ “没重复，这次不是汽车，是水果。没重复，这次不是汽车，是水果。没重复，这次不是汽车，是水果。没重复，这次不是汽车，是水果。”n n男孩：男孩：男孩：男孩：“ “反正也是反正也是反正也是反正也是5-2=35-2=3，还说不重复？，还说不重复？，还说不重复？，还说不重复？”n n大部分学生同意男孩的看法，但也觉得女孩说得大部分学生同意男孩的看法，但也觉得女孩说得大部分学生同意男孩的看法，但也觉得女孩说得
12、大部分学生同意男孩的看法，但也觉得女孩说得有道理，辩论不出结果。有道理，辩论不出结果。有道理，辩论不出结果。有道理，辩论不出结果。【对这样的【对这样的【对这样的【对这样的“ “冲突冲突冲突冲突” ”，你会怎么处理？】，你会怎么处理？】，你会怎么处理？】，你会怎么处理？】2021/6/162021/6/161010n n师：师：师：师：“ “你能再想一件你能再想一件你能再想一件你能再想一件 事情事情事情事情 ，也用，也用，也用，也用5-2=35-2=3来来来来表示吗？表示吗？表示吗？表示吗？” ”n n孩子们编出很多情境，如教室有孩子们编出很多情境，如教室有孩子们编出很多情境，如教室有孩子们编出
13、很多情境，如教室有5 5个小朋友个小朋友个小朋友个小朋友草地上有草地上有草地上有草地上有5 5朵朵朵朵小花小花小花小花有有有有5 5支铅笔支铅笔支铅笔支铅笔n n刚发完言的一个学生：刚发完言的一个学生：刚发完言的一个学生：刚发完言的一个学生：“ “这样的事情我还能说好这样的事情我还能说好这样的事情我还能说好这样的事情我还能说好多呢，都可以用多呢，都可以用多呢，都可以用多呢，都可以用5-2=35-2=3表示，表示，表示，表示，5-2=35-2=3的本领真的本领真的本领真的本领真大呀！大呀！大呀！大呀！” ”【这样处理是不是很好？该结束了吧？这样处理是不是很好？该结束了吧？这样处理是不是很好？该结
14、束了吧？这样处理是不是很好？该结束了吧？】2021/6/162021/6/161111n n师（捅破师（捅破师（捅破师（捅破“ “窗户纸窗户纸窗户纸窗户纸” ”）：有的事情发生在停车场）：有的事情发生在停车场）：有的事情发生在停车场）：有的事情发生在停车场里，有的事情发生在教室里。里，有的事情发生在教室里。里，有的事情发生在教室里。里，有的事情发生在教室里。为什么完全不一样为什么完全不一样为什么完全不一样为什么完全不一样的事，却能用同一个算式来表示呢？的事，却能用同一个算式来表示呢？的事，却能用同一个算式来表示呢？的事，却能用同一个算式来表示呢？n n学生们终于发现，虽然事件不一样，但同一个算
15、学生们终于发现，虽然事件不一样，但同一个算学生们终于发现，虽然事件不一样，但同一个算学生们终于发现，虽然事件不一样，但同一个算式所表示的意思都是一样的。式所表示的意思都是一样的。式所表示的意思都是一样的。式所表示的意思都是一样的。n n教师趁热打铁，又问：教师趁热打铁，又问：教师趁热打铁，又问：教师趁热打铁，又问：“3+6=9“3+6=9可以表示的事情多可以表示的事情多可以表示的事情多可以表示的事情多不多？那就一个数不多？那就一个数不多？那就一个数不多？那就一个数88都可以表示什么？都可以表示什么？都可以表示什么？都可以表示什么？” ”n n学生脱口而出：学生脱口而出：学生脱口而出：学生脱口而
16、出：“ “那太多了！那太多了！那太多了！那太多了！” ”n n教师又问：教师又问：教师又问：教师又问：“ “你现在有什么想法？你现在有什么想法？你现在有什么想法？你现在有什么想法？” ”n n生：生：生：生：“ “我觉得我觉得我觉得我觉得 数数数数 和和和和 算式算式算式算式 都太神奇了，能都太神奇了，能都太神奇了，能都太神奇了，能表示那么多不同的事物！表示那么多不同的事物！表示那么多不同的事物！表示那么多不同的事物！” ”2021/6/162021/6/161212启 示1.1.设计有过程的教学。设计有过程的教学。设计有过程的教学。设计有过程的教学。经历、体验经历、体验经历、体验经历、体验经
17、验。减法意义的感知。经验。减法意义的感知。经验。减法意义的感知。经验。减法意义的感知。2.2.提出提出提出提出好的问题好的问题好的问题好的问题。（张齐华：（张齐华：（张齐华：（张齐华：半径有无数条吗半径有无数条吗半径有无数条吗半径有无数条吗？你能用一个数对表示一排吗？你能用一个数对表示一排吗？你能用一个数对表示一排吗？你能用一个数对表示一排吗？）3.3.该该该该出手时就出手。出手时就出手。出手时就出手。出手时就出手。（决策：忽略；肯定或否定；延伸（决策：忽略；肯定或否定；延伸（决策：忽略；肯定或否定；延伸（决策：忽略；肯定或否定；延伸）（1 1）“ “重复了，咱就不写了。重复了，咱就不写了。重
18、复了，咱就不写了。重复了，咱就不写了。” ”（2 2）“ “你能再想一件事情你能再想一件事情你能再想一件事情你能再想一件事情”（更多例证）（更多例证）（更多例证）（更多例证） “有的事情发生在停车场里，有的有的事情发生在停车场里，有的有的事情发生在停车场里，有的有的事情发生在停车场里，有的”（抽（抽（抽（抽象）象）象）象）n n怎样出手？不仅取决于教育观念，更取决于教怎样出手？不仅取决于教育观念，更取决于教怎样出手？不仅取决于教育观念，更取决于教怎样出手？不仅取决于教育观念，更取决于教师的数学素养。（要不要出定义、法则？）师的数学素养。（要不要出定义、法则？）师的数学素养。（要不要出定义、法则
19、？）师的数学素养。（要不要出定义、法则？）n n追问：数学素养包括哪些方面？数学本质？追问：数学素养包括哪些方面？数学本质？追问：数学素养包括哪些方面？数学本质？追问：数学素养包括哪些方面？数学本质？2021/6/162021/6/161313“好（有价值）的问题好（有价值）的问题”的标准的标准1、具有较强的探索性。（力所能及）、具有较强的探索性。（力所能及）2、具有一定的启示意义。（有利于学生掌握、具有一定的启示意义。（有利于学生掌握相关的数学知识和思想方法）相关的数学知识和思想方法）3、具有多种解法甚至多种答案。、具有多种解法甚至多种答案。4、具有一定的发展余地。、具有一定的发展余地。5、
20、具有一定的现实意义或与实际生活相联系。、具有一定的现实意义或与实际生活相联系。6、有利于合作学习。、有利于合作学习。7、问题的表述应简单易懂。、问题的表述应简单易懂。2021/6/162021/6/161414什么是数学的本质？什么是数学的本质？n n什么是什么是“数学味数学味”？n n怎样的课才算是有数学味？怎样的课才算是有数学味？n n怎样使数学课有数学味？怎样使数学课有数学味？体现数学的特点，突出数学的本质体现数学的特点，突出数学的本质n n数学的特点：高度的抽象性（减法）数学的特点：高度的抽象性（减法）严密的逻辑性（算理）严密的逻辑性（算理）应用的广泛性应用的广泛性2021/6/162
21、021/6/161515n n课标：数学是人们对客观世界定性把握课标：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的和理论，并进行广泛应用的过程过程。n n问题情境问题情境建立模型建立模型解释、应用解释、应用与拓展（数学：模式的科学）（数学化）与拓展（数学：模式的科学）（数学化）n n修订版课标：数学是研究现实世界中数修订版课标：数学是研究现实世界中数量关系和空间形式（量性特征）的量关系和空间形式（量性特征）的科学科学。2021/6/162021/6/161616资料：资料：碳排放权交易碳排放权交易n n2008年年9月
22、，（慈溪风电场月，（慈溪风电场）首期）首期33台风能发电机组全部并网发电，年发电台风能发电机组全部并网发电，年发电量约亿千瓦时，可供量约亿千瓦时，可供2万至万至3万户居民家万户居民家庭用电庭用电 一年能一年能“腾腾”出出9万吨二氧化万吨二氧化碳减排指标。按碳减排指标。按目前国际市场上每吨目前国际市场上每吨“指指标标”约约10美元美元计算，慈溪风电场每年的指计算，慈溪风电场每年的指标可换标可换90万美元，约万美元，约600万元人民币。万元人民币。2021/6/162021/6/161717数学学科的本质是指数学学科的本质是指n n数学基本概念数学基本概念n n数学思想方法数学思想方法n n数学特
23、有的思维方式数学特有的思维方式n n数学美数学美n n数学精神数学精神2021/6/162021/6/161818（一）对数学基本概念的理解（一）对数学基本概念的理解n n小学的基本概念主要有：小学的基本概念主要有：十进位值制、十进位值制、单位单位(份份)、用字母表示数、四则运算；、用字母表示数、四则运算；位位置、变换、平面图形；置、变换、平面图形；统计观念。统计观念。n n“ “理解理解理解理解” ”是指了解：是指了解：是指了解：是指了解：1.1.为什么要学习这一概念？其现实原型是什么？为什么要学习这一概念？其现实原型是什么？为什么要学习这一概念？其现实原型是什么？为什么要学习这一概念？其现
24、实原型是什么？2.2.这一概念特有的数学内涵是什么？这一概念特有的数学内涵是什么？这一概念特有的数学内涵是什么？这一概念特有的数学内涵是什么？3.3.以此概念为核心能否构建一个以此概念为核心能否构建一个以此概念为核心能否构建一个以此概念为核心能否构建一个“ “概念网络图概念网络图概念网络图概念网络图” ”？2021/6/162021/6/161919n n数学定义数学定义数学概念。数学概念。（经历过程，感知、体验）（经历过程，感知、体验）（经历过程，感知、体验）（经历过程，感知、体验）n n经历不同认知过程，才能达到不同理解水平：经历不同认知过程，才能达到不同理解水平：经历不同认知过程，才能达
25、到不同理解水平：经历不同认知过程，才能达到不同理解水平：模仿与辨别模仿与辨别模仿与辨别模仿与辨别事实性水平；事实性水平；事实性水平；事实性水平；归纳与抽象归纳与抽象归纳与抽象归纳与抽象概念性水平；概念性水平；概念性水平；概念性水平；综合与应用综合与应用综合与应用综合与应用方法性水平；方法性水平；方法性水平；方法性水平；猜想与创造猜想与创造猜想与创造猜想与创造主体性水平。主体性水平。主体性水平。主体性水平。n n例：例：例：例：1.1.牛献礼教学要挠到学生的牛献礼教学要挠到学生的牛献礼教学要挠到学生的牛献礼教学要挠到学生的“ “痒痒痒痒” ”处处处处 （小学教学数学版（小学教学数学版（小学教学数
26、学版（小学教学数学版2010.042010.04）2.2.张齐华确定位置（字母表示数）张齐华确定位置（字母表示数）张齐华确定位置（字母表示数）张齐华确定位置（字母表示数）2021/6/162021/6/162020（二）对数学思想方法的把握（二）对数学思想方法的把握n n小学阶段的重要思想方法：分类思想、转化小学阶段的重要思想方法：分类思想、转化小学阶段的重要思想方法：分类思想、转化小学阶段的重要思想方法：分类思想、转化( (化归化归化归化归) )思想、数形结合思想、一一对应思想、思想、数形结合思想、一一对应思想、思想、数形结合思想、一一对应思想、思想、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方
27、程思想、集合思想、符号化思函数思想、方程思想、集合思想、符号化思函数思想、方程思想、集合思想、符号化思函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等。想、类比法、不完全归纳法等。想、类比法、不完全归纳法等。想、类比法、不完全归纳法等。n n如何落实如何落实如何落实如何落实在学习数学概念和解决问题中。在学习数学概念和解决问题中。在学习数学概念和解决问题中。在学习数学概念和解决问题中。n n化归：物理学家和数学家的对话化归：物理学家和数学家的对话化归：物理学家和数学家的对话化归：物理学家和数学家的对话n n二年级二年级二年级二年级“ “逻辑逻辑逻辑逻辑” ”一课一课一课一课202
28、1/6/162021/6/162121（三）对数学特有的思维方式的感悟（三）对数学特有的思维方式的感悟n n主要有：比较、类比、抽象、概括、猜想、验主要有：比较、类比、抽象、概括、猜想、验主要有：比较、类比、抽象、概括、猜想、验主要有：比较、类比、抽象、概括、猜想、验证。其中证。其中证。其中证。其中“ “抽象抽象抽象抽象” ”是数学思维方式的核心是数学思维方式的核心是数学思维方式的核心是数学思维方式的核心。（郑（郑（郑（郑毓信走进数学思维毓信走进数学思维毓信走进数学思维毓信走进数学思维2008.5-112008.5-11）n n数学是思维的体操，是开启智慧的钥匙。数学是思维的体操，是开启智慧的
29、钥匙。数学是思维的体操，是开启智慧的钥匙。数学是思维的体操，是开启智慧的钥匙。（四）对数学美的鉴赏（四）对数学美的鉴赏n n 有助于培养学生对待数学学习的积极态度。有助于培养学生对待数学学习的积极态度。有助于培养学生对待数学学习的积极态度。有助于培养学生对待数学学习的积极态度。 n n 数学的基本原则：求真、求简、求美。数学的基本原则：求真、求简、求美。数学的基本原则：求真、求简、求美。数学的基本原则：求真、求简、求美。n n 数学美是指：简洁、对称、奇异。其中数学美是指：简洁、对称、奇异。其中数学美是指：简洁、对称、奇异。其中数学美是指：简洁、对称、奇异。其中 对对对对称称称称” ”是数学美
30、的核心。（三角形内角和；是数学美的核心。（三角形内角和；是数学美的核心。（三角形内角和；是数学美的核心。（三角形内角和；e-2i=1）2021/6/162021/6/162222（五）对数学精神的追求（五）对数学精神的追求n n理性精神理性精神理性精神理性精神( (如对如对如对如对 公理化思想公理化思想公理化思想公理化思想” ”的信奉的信奉的信奉的信奉) )探究精神探究精神探究精神探究精神( (好奇心为基础，对理性的不懈追求好奇心为基础，对理性的不懈追求好奇心为基础，对理性的不懈追求好奇心为基础，对理性的不懈追求) )它们是支撑数学家研究数学进而研究世界的它们是支撑数学家研究数学进而研究世界的
31、它们是支撑数学家研究数学进而研究世界的它们是支撑数学家研究数学进而研究世界的动力，也是学生学习数学、研究世界最永恒、最动力，也是学生学习数学、研究世界最永恒、最动力，也是学生学习数学、研究世界最永恒、最动力，也是学生学习数学、研究世界最永恒、最有效的动力。有效的动力。有效的动力。有效的动力。 n n三角形内角和：测量、剪拼、折叠三角形内角和：测量、剪拼、折叠三角形内角和：测量、剪拼、折叠三角形内角和：测量、剪拼、折叠证明证明证明证明n n“ “欧氏几何欧氏几何欧氏几何欧氏几何”罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何黎曼几何黎曼几何黎曼几何黎曼几何n n勾股定理勾股定理
32、勾股定理勾股定理费尔马大定理（费尔马大定理（费尔马大定理（费尔马大定理（16371637年提出）年提出）年提出）年提出） （英籍数学家怀尔斯（英籍数学家怀尔斯（英籍数学家怀尔斯（英籍数学家怀尔斯19951995年证得。历时年证得。历时年证得。历时年证得。历时300300年）年）年）年）n n四色定理：四色定理：四色定理：四色定理：18521852提出，提出，提出，提出，19761976年用计算机证得。年用计算机证得。年用计算机证得。年用计算机证得。n n哥德巴赫猜想和哥德巴赫猜想和哥德巴赫猜想和哥德巴赫猜想和角谷猜想角谷猜想角谷猜想角谷猜想（2009.112009.11）2021/6/1620
33、21/6/162323三、怎样把握数学本质？三、怎样把握数学本质？（一）有关策略（一）有关策略1.主动进修。主动进修。（提高自身专业素养）（提高自身专业素养）（1）专门进修。学习数学专业课程。专门进修。学习数学专业课程。（2）业余进修。如：数学专业书籍，报刊。业余进修。如：数学专业书籍，报刊。2.做中学。（积累经验）做中学。（积累经验）（1）向学生学习。把握（研究）学生的问题）向学生学习。把握（研究）学生的问题和错误的本质。和错误的本质。2021/6/162021/6/162424（2）在追问把握本质。（要有长时间思考一）在追问把握本质。（要有长时间思考一个问题的习惯）（开放，不放过有价值个问
34、题的习惯）（开放，不放过有价值的问题。如，的问题。如，这些问题你会解答吗？这些问题你会解答吗？）（3）与大师对话。（刘加霞与大师对话。（刘加霞小学数学课小学数学课堂的有效教学书堂的有效教学书；张奠宙；张奠宙小学数学研究小学数学研究书书；郑毓信；郑毓信数学思维与小学数学书数学思维与小学数学书；张齐华平均数（张齐华平均数（2009.05）与吴正宪）与吴正宪平均数平均数n n与张奠宙先生的讨论：与张奠宙先生的讨论：1（0.9）2（分数）（分数）2021/6/162021/6/162525（二）案例（二）案例n n1.“循环小数循环小数”2008.11n n2.电话号码与数（贲友林）电话号码与数（贲友
35、林）2009.10期期n n3.两个数与三个数的最小公倍数两个数与三个数的最小公倍数（数学数学教师亟需丰富内涵教师亟需丰富内涵2007.01）n n4.点点统计图点点统计图（一节统计课留给我们（一节统计课留给我们的思考的思考2007.04）n n5.烦人的烦人的“端点端点”2021/6/162021/6/162626n n6.朱乐平：要求长方形面积，必须知道长朱乐平：要求长方形面积，必须知道长和宽吗和宽吗“充分条件充分条件”2006.012006.01；练习课，原来还可以这样上练习课，原来还可以这样上2009.092009.09n n7.数学美：数学美：唐彩斌数学原来可以那么美唐彩斌数学原来可
36、以那么美2008.7-82008.7-8；蒋明玉数形结合蒋明玉数形结合探究规律探究规律2008.032008.03；二进制与计算机二进制与计算机（2008.022008.02）角谷猜想（数学黑洞）角谷猜想（数学黑洞）2009.112009.11；歌德巴赫；歌德巴赫猜想；无理数猜想；无理数第一次数学危机；九宫图第一次数学危机；九宫图（2008.7-82008.7-8，9 9）、四色定理、四色定理2021/6/162021/6/162727n n8.运算定律与归纳法运算定律与归纳法不完全归纳法不完全归纳法和数学归纳法，递归。和数学归纳法，递归。n n9.综合与应用：综合与应用：“打电话问题打电话问
37、题”n n10.专家（刘加霞）评课：专家（刘加霞）评课：“100以内数的认识以内数的认识”2009.092009.09；“百数表百数表”2009.102009.10；2021/6/162021/6/162828总总 结结n n创设好的情境（数学问题）（创设好的情境（数学问题）（创设好的情境（数学问题）（创设好的情境（数学问题）（骄傲的骄傲的骄傲的骄傲的“9”“9”）n n提出有价值的问题提出有价值的问题提出有价值的问题提出有价值的问题n n设计有过程的教学（在过程中体验、感悟）设计有过程的教学（在过程中体验、感悟）设计有过程的教学（在过程中体验、感悟）设计有过程的教学（在过程中体验、感悟）n
38、n把握（研究）学生的问题和错误的本质把握（研究）学生的问题和错误的本质把握（研究）学生的问题和错误的本质把握（研究）学生的问题和错误的本质n n该出手时就出手该出手时就出手该出手时就出手该出手时就出手n n在追问中把握本质（养成长时间思考一个问题在追问中把握本质（养成长时间思考一个问题在追问中把握本质（养成长时间思考一个问题在追问中把握本质（养成长时间思考一个问题的习惯，如的习惯，如的习惯，如的习惯，如0.999=10.999=1？）？）？）？）n n提高自身的数学素养（治本之策）提高自身的数学素养（治本之策）提高自身的数学素养（治本之策）提高自身的数学素养（治本之策）2021/6/16202
39、1/6/162929写作时应注意：写作时应注意：1、尽可能围绕一个（小）问题来写，将其说、尽可能围绕一个（小）问题来写，将其说清楚、讲透彻。清楚、讲透彻。2、对案例做出针对性的分析，不能两张皮。、对案例做出针对性的分析，不能两张皮。对于问题，一般应提出对策。对于问题，一般应提出对策。3、不求写得很长（一般、不求写得很长（一般10004000字），字），而是求深度。而是求深度。4、文体不限，尽可能、文体不限，尽可能“万变万变”（先叙后议、（先叙后议、先议后叙、夹叙夹议等）。先议后叙、夹叙夹议等）。2021/6/162021/6/163030投稿时应注意：投稿时应注意：1 1、有针对性地投稿。如针
40、对杂志，小学教学、有针对性地投稿。如针对杂志，小学教学、有针对性地投稿。如针对杂志，小学教学、有针对性地投稿。如针对杂志，小学教学杂志喜欢案例与反思类的文章；也可针对栏杂志喜欢案例与反思类的文章；也可针对栏杂志喜欢案例与反思类的文章；也可针对栏杂志喜欢案例与反思类的文章；也可针对栏目投稿，如目投稿，如目投稿，如目投稿，如“ “讨论吧讨论吧讨论吧讨论吧” ”。2 2、时间性强（如涉及教学进度）的文章。一般、时间性强（如涉及教学进度）的文章。一般、时间性强（如涉及教学进度）的文章。一般、时间性强（如涉及教学进度）的文章。一般提前提前提前提前3434个月投稿。个月投稿。个月投稿。个月投稿。3 3、注
41、意反思和交流。与同事、有经验的作者、注意反思和交流。与同事、有经验的作者、注意反思和交流。与同事、有经验的作者、注意反思和交流。与同事、有经验的作者、编辑等交流。编辑等交流。编辑等交流。编辑等交流。4 4、千万不要同时一稿多投。、千万不要同时一稿多投。、千万不要同时一稿多投。、千万不要同时一稿多投。 （一般（一般（一般（一般3 3个月后未个月后未个月后未个月后未接到通知或未见发表可另投）接到通知或未见发表可另投）接到通知或未见发表可另投）接到通知或未见发表可另投）2021/6/162021/6/163131n n（450004）郑州市顺河路）郑州市顺河路11号号小学教学编辑部小学教学编辑部殷现
42、宾殷现宾n n电电话：话：0371-66370590n nE-mail：n n欢迎投稿和订阅（语文版欢迎投稿和订阅（语文版36-37，数学版数学版36-307）2021/6/162021/6/1632322021/6/162021/6/1633332021/6/162021/6/1634342021/6/162021/6/1635352021/6/162021/6/1636362010.1话题：数学课堂是否应该关注话题：数学课堂是否应该关注非数学问题（非数学问题（2009.09）n n“ “有余数除法有余数除法有余数除法有余数除法”课上的一道题：课上的一道题：课上的一道题：课上的一道题：“我们
43、班我们班我们班我们班5050名同学去划船，一条船只能坐名同学去划船，一条船只能坐名同学去划船，一条船只能坐名同学去划船，一条船只能坐9 9人，人，人，人，那么我们需要租几条船？那么我们需要租几条船？那么我们需要租几条船？那么我们需要租几条船？” ”n n学生列式：学生列式：学生列式：学生列式：509=5509=5（条）（条）（条）（条）55（人）（人）（人）（人）n n剩下的剩下的剩下的剩下的5 5人要不要再租人要不要再租人要不要再租人要不要再租1 1条船？学生争论不休：条船？学生争论不休：条船？学生争论不休：条船？学生争论不休：n n生生生生1 1 1 1：不应该再租：不应该再租：不应该再租
44、：不应该再租1 1 1 1条船，那样太浪费了，每条船条船，那样太浪费了，每条船条船，那样太浪费了，每条船条船，那样太浪费了，每条船再多坐再多坐再多坐再多坐1 1 1 1人就行了。人就行了。人就行了。人就行了。n n（许多学生表示赞同）（许多学生表示赞同）（许多学生表示赞同）（许多学生表示赞同）2021/6/162021/6/163737n n生生生生2 2 2 2：老师，现在什么运输工具不超载呀？不超载：老师，现在什么运输工具不超载呀？不超载：老师，现在什么运输工具不超载呀？不超载：老师，现在什么运输工具不超载呀？不超载哪能挣钱？哪能挣钱？哪能挣钱？哪能挣钱？n n生生生生3 3 3 3：我爸
45、是司机，他开的是载重：我爸是司机，他开的是载重：我爸是司机，他开的是载重：我爸是司机，他开的是载重5 5 5 5吨的车子，每吨的车子，每吨的车子，每吨的车子，每次都装近次都装近次都装近次都装近10101010吨的货，一次事故都没有发生过。吨的货，一次事故都没有发生过。吨的货，一次事故都没有发生过。吨的货，一次事故都没有发生过。n n生生生生4 4 4 4：（笑嘻嘻地）老师，有一次我过河赶集，船：（笑嘻嘻地）老师，有一次我过河赶集，船：（笑嘻嘻地）老师，有一次我过河赶集，船：（笑嘻嘻地）老师，有一次我过河赶集，船上已经很挤了，我看到你还是硬挤上去了。不是上已经很挤了，我看到你还是硬挤上去了。不是
46、上已经很挤了，我看到你还是硬挤上去了。不是上已经很挤了，我看到你还是硬挤上去了。不是也顺利过河了吗？也顺利过河了吗？也顺利过河了吗？也顺利过河了吗？n n（全班学生哄堂大笑）（全班学生哄堂大笑）（全班学生哄堂大笑）（全班学生哄堂大笑）n n您在课堂上遇到过这样的情况吗？对于这样的非您在课堂上遇到过这样的情况吗？对于这样的非您在课堂上遇到过这样的情况吗？对于这样的非您在课堂上遇到过这样的情况吗？对于这样的非数学问题，您认为该怎么处理？数学问题，您认为该怎么处理？数学问题，您认为该怎么处理？数学问题，您认为该怎么处理？ 【返回】2021/6/162021/6/163838循环小数（2008.11）
47、n n它决不是从它决不是从它决不是从它决不是从“ “从前有座山从前有座山从前有座山从前有座山”得来的。这位老师：得来的。这位老师：得来的。这位老师：得来的。这位老师：让做题最慢和最快的两生比赛，分别做让做题最慢和最快的两生比赛，分别做让做题最慢和最快的两生比赛，分别做让做题最慢和最快的两生比赛，分别做3838和和和和50125012。结果。结果。结果。结果“ “不公平不公平不公平不公平” ”，从而说理由、探索，从而说理由、探索，从而说理由、探索，从而说理由、探索n n还有：让学生计算还有：让学生计算还有：让学生计算还有：让学生计算1919、2929后，老师说：后，老师说：后，老师说：后，老师说
48、：“ “好，好，好，好，下面不算了，咱们猜下面不算了，咱们猜下面不算了，咱们猜下面不算了，咱们猜”“39=”“39=？”“89=“89=？”“0.888”“99=”“0.888”“99=？”“0.999”“0.999”刚说完又觉得不对劲，刚说完又觉得不对劲，刚说完又觉得不对劲，刚说完又觉得不对劲，“1“1！”“1”“1！”地喊起来地喊起来地喊起来地喊起来【返回】返回】2021/6/162021/6/163939新课程下，数学教师亟需提高内涵新课程下，数学教师亟需提高内涵n n（浙江省绍兴市马山镇袍江小学（浙江省绍兴市马山镇袍江小学（浙江省绍兴市马山镇袍江小学（浙江省绍兴市马山镇袍江小学 屠芝娟
49、）（屠芝娟）（屠芝娟）（屠芝娟）（2007.012007.01）n n背背景景：教教学学“求求三三个个数数的的最最小小公公倍倍数数”，学学生生都都认认为为跟跟两两个个数数的的情情况况差差不不多多。于于是是老老师师出出三三个个数数12、16、18让让学学生生试试做做。结果是：结果是：2689=864。n n接接着着，学学生生与与书书上上对对照照后后提提出出：“为为什什么么在在短短除除法法中中还还要要除除以以两两个个数数的的公公约约数数？”情情急急之之下下：“你你们们用用写写倍倍数数的的方方法法找找找找看看。”2021/6/162021/6/164040n n探探探探寻寻寻寻：学学学学生生生生期期
50、期期盼盼盼盼的的的的目目目目光光光光迫迫迫迫使使使使我我我我再再再再次次次次翻翻翻翻开开开开自自自自考考考考后后后后尘尘尘尘封已久的数论简明教程。封已久的数论简明教程。封已久的数论简明教程。封已久的数论简明教程。定理定理定理定理1 1：aa，b=ab/(a,b)b=ab/(a,b)；定理定理定理定理2 2：若：若：若：若aa1 1,a,a2 2=m=m2 2，mm2 2,a,a3 3=m=m3 3，mmn-1n-1,a,an n=m=mn n， 则则则则aa1 1,a,a2 2,a,an n=m=mn n。 接接接接着着着着，自自自自己己己己琢琢琢琢磨磨磨磨，然然然然后后后后推推推推出出出出：
51、mm3 3=a=a1 1a a2 2a a3 3(a(a1 1,a,a2 2,a,a3 3)/(a)/(a1 1,a,a2 2)(a)(a1 1,a,a3 3)(a)(a2 2,a,a3 3)n n重新设计：重新设计：重新设计：重新设计：感悟：感悟：感悟：感悟：2021/6/162021/6/164141n n我审稿时评价：我审稿时评价：n n“心灵的震撼心灵的震撼”n n1.教学开放；教学开放；n n2.敬业；敬业；n n3.文章好；文章好；n n4.农农村村教教师师就就能能达达到到这这样样的的水水平平，厉害！厉害！【返回】【返回】2021/6/162021/6/164242“数字与信息数字
52、与信息”导入（贲友林贲友林 ）1.1.屏幕出示：屏幕出示：屏幕出示：屏幕出示：n n师：认识吗？看到师：认识吗？看到师：认识吗？看到师：认识吗？看到“1”“1”，你想到了什么？，你想到了什么？，你想到了什么？，你想到了什么？n n生：生：生：生：1 1个苹果。个苹果。个苹果。个苹果。n n生：我想到比赛第生：我想到比赛第生：我想到比赛第生：我想到比赛第1 1名。名。名。名。n n生：我想到了生：我想到了生：我想到了生：我想到了1 1张桌子。张桌子。张桌子。张桌子。n n师：师：师：师：1 1个苹果，个苹果，个苹果，个苹果，1 1张桌子，这里的张桌子，这里的张桌子，这里的张桌子，这里的1 1表示
53、什么？表示什么？表示什么？表示什么？n n生：数量。生：数量。生：数量。生：数量。n n（板书：数量。）（板书：数量。）（板书：数量。）（板书：数量。）2021/6/162021/6/164343n n师：大家的发言比较积极，感谢第师：大家的发言比较积极，感谢第师：大家的发言比较积极，感谢第师：大家的发言比较积极，感谢第1 1位发言的同位发言的同位发言的同位发言的同学！刚才有同学说，比赛第学！刚才有同学说，比赛第学！刚才有同学说，比赛第学！刚才有同学说，比赛第1 1名，这里名，这里名，这里名，这里“ “第第第第1 1名名名名” ”中的中的中的中的“1”“1”，以及，以及，以及，以及“第第第第1
54、 1位位位位” ”中的中的中的中的“1”“1”，表示什，表示什，表示什，表示什么？么？么？么？n n生：次序、顺序。生：次序、顺序。生：次序、顺序。生：次序、顺序。n n（师板书：顺序）（师板书：顺序）（师板书：顺序）（师板书：顺序）2.2.继续出示：继续出示：继续出示：继续出示：n n师：这是师：这是师：这是师：这是1010，它可以表示数量吗？可以表示顺序，它可以表示数量吗？可以表示顺序，它可以表示数量吗？可以表示顺序，它可以表示数量吗？可以表示顺序吗？举例说说。吗？举例说说。吗？举例说说。吗？举例说说。n n生：生：生：生：1010个梨，个梨，个梨，个梨，1010表示数量。表示数量。表示数
55、量。表示数量。n n生：第生：第生：第生：第1010名，名，名，名，1010表示顺序。表示顺序。表示顺序。表示顺序。2021/6/162021/6/1644443.3.继续出示：继续出示：继续出示：继续出示：n n师：你又想到了什么？师：你又想到了什么？师：你又想到了什么？师：你又想到了什么？n n生：生：生：生：110110个苹果，数量；第个苹果，数量；第个苹果，数量；第个苹果，数量；第110110名，顺序。名，顺序。名，顺序。名，顺序。n n生：我想到了警车生：我想到了警车生：我想到了警车生：我想到了警车“110”“110”。（报警电话）。（报警电话）。（报警电话）。（报警电话）n n师：
56、师：师：师：110110是一个数，换个角度看，是一个数，换个角度看，是一个数，换个角度看，是一个数，换个角度看，1 1、1 1、0 0这三这三这三这三个数字的组合，传递给我们的信息是一个特殊的个数字的组合，传递给我们的信息是一个特殊的个数字的组合，传递给我们的信息是一个特殊的个数字的组合，传递给我们的信息是一个特殊的电话号码。通常怎么读？它还表示数量吗？顺序电话号码。通常怎么读？它还表示数量吗？顺序电话号码。通常怎么读？它还表示数量吗？顺序电话号码。通常怎么读？它还表示数量吗？顺序？这是把三个数字进行编码。？这是把三个数字进行编码。？这是把三个数字进行编码。？这是把三个数字进行编码。 （板书：
57、编码）（板书：编码）（板书：编码）（板书：编码）n n师：数字组成数，可以用来表示数量、顺序，表师：数字组成数，可以用来表示数量、顺序，表师：数字组成数，可以用来表示数量、顺序，表师：数字组成数，可以用来表示数量、顺序，表达信息；数字通过编码，也表达了一定的信息。达信息；数字通过编码，也表达了一定的信息。达信息；数字通过编码，也表达了一定的信息。达信息；数字通过编码，也表达了一定的信息。【返回【返回1】【返回【返回2】2021/6/162021/6/164545打电话问题（综合应用）打电话问题（综合应用）一、对教材的思考与困惑（一、对教材的思考与困惑（一、对教材的思考与困惑（一、对教材的思考与
58、困惑（打电话打电话打电话打电话1 1、2 2） n n教材的安排：直接给出教材的安排：直接给出教材的安排：直接给出教材的安排：直接给出“ “老师打电话通知老师打电话通知老师打电话通知老师打电话通知1515人，人，人，人，每分钟通知每分钟通知每分钟通知每分钟通知1 1人，帮助老师设计一个打电话的方人，帮助老师设计一个打电话的方人，帮助老师设计一个打电话的方人，帮助老师设计一个打电话的方案案案案” ”。提示：。提示：。提示：。提示：“ “一个一个通知一个一个通知一个一个通知一个一个通知分组通知分组通知分组通知分组通知更快的方法更快的方法更快的方法更快的方法( (画树状图画树状图画树状图画树状图)发
59、现规律发现规律发现规律发现规律” ”。最后解。最后解。最后解。最后解决决决决“照这样通知照这样通知照这样通知照这样通知5050人最少花多少时间人最少花多少时间人最少花多少时间人最少花多少时间” ”的问题的问题的问题的问题 。n n我的困惑：学生想到我的困惑：学生想到我的困惑：学生想到我的困惑：学生想到“ “一个一个通知一个一个通知一个一个通知一个一个通知” ”没问题，没问题，没问题，没问题，但能否想到但能否想到但能否想到但能否想到“ “分组通知分组通知分组通知分组通知” ”呢呢呢呢?“?“分组通知分组通知分组通知分组通知” ”的情况的情况的情况的情况有很多，如何引到画有很多，如何引到画有很多，
60、如何引到画有很多，如何引到画“ “树状图树状图树状图树状图” ”来思考呢来思考呢来思考呢来思考呢?让五让五让五让五年级学生发现年级学生发现年级学生发现年级学生发现“2“2的的的的n n次方减次方减次方减次方减1”1”的规律已经很困难，的规律已经很困难，的规律已经很困难，的规律已经很困难，又如何逆向思考解决又如何逆向思考解决又如何逆向思考解决又如何逆向思考解决“ “通知通知通知通知5050人人人人” ”的问题呢？的问题呢？的问题呢？的问题呢？2021/6/162021/6/1646462021/6/162021/6/1647472021/6/162021/6/164848n n我的选择有两个：我
61、的选择有两个：我的选择有两个：我的选择有两个：n n一是完全放开，即直接把一是完全放开，即直接把一是完全放开，即直接把一是完全放开，即直接把“ “通知通知通知通知1515人人人人” ”的问的问的问的问题抛给学生。大胆放手，让学生用大量的时间题抛给学生。大胆放手，让学生用大量的时间题抛给学生。大胆放手，让学生用大量的时间题抛给学生。大胆放手，让学生用大量的时间进行小组合作，探究出进行小组合作，探究出进行小组合作，探究出进行小组合作，探究出“ “打电话打电话打电话打电话” ”的各种各样的各种各样的各种各样的各种各样的方案。在此基础上再归纳到的方案。在此基础上再归纳到的方案。在此基础上再归纳到的方案
62、。在此基础上再归纳到“ “最省时方案最省时方案最省时方案最省时方案” ”上。上。上。上。n n二是注重用数学思想方法解决问题的指导。即二是注重用数学思想方法解决问题的指导。即二是注重用数学思想方法解决问题的指导。即二是注重用数学思想方法解决问题的指导。即引导学生由引导学生由引导学生由引导学生由“1“1分钟最多通知几人分钟最多通知几人分钟最多通知几人分钟最多通知几人” ”这个最简这个最简这个最简这个最简单、特殊的情况入手进行分析，按照一定的顺单、特殊的情况入手进行分析，按照一定的顺单、特殊的情况入手进行分析，按照一定的顺单、特殊的情况入手进行分析，按照一定的顺序进而分析序进而分析序进而分析序进而
63、分析2 2分钟、分钟、分钟、分钟、3 3分钟最多通知几人分钟最多通知几人分钟最多通知几人分钟最多通知几人如此逐步进行。如此逐步进行。如此逐步进行。如此逐步进行。 2021/6/162021/6/164949二、教学前测二、教学前测二、教学前测二、教学前测n n目的：考查教学内容的难易程度以及学生对运用目的：考查教学内容的难易程度以及学生对运用目的：考查教学内容的难易程度以及学生对运用目的：考查教学内容的难易程度以及学生对运用“ “画图画图画图画图” ”方法思考问题的情况。方法思考问题的情况。方法思考问题的情况。方法思考问题的情况。n n(1)(1)老师直接叙述问题：一个合唱队共有老师直接叙述问
64、题：一个合唱队共有老师直接叙述问题：一个合唱队共有老师直接叙述问题：一个合唱队共有15151515人，人，人，人，周末接到一个紧急演出的任务，老师需要尽快通周末接到一个紧急演出的任务，老师需要尽快通周末接到一个紧急演出的任务，老师需要尽快通周末接到一个紧急演出的任务，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知通知通知通知1 1 1 1人，最少用多长时间通知所有队员人，最少用多长时间通知所有队员人，最少用多长时间通知所有队员人，最少用多长时间通知所有队员
65、? ? ? ?n n 全班学生马上反应：全班学生马上反应：全班学生马上反应：全班学生马上反应：1515分钟，没有异议出现。分钟，没有异议出现。分钟，没有异议出现。分钟，没有异议出现。n n 分析：看来学生忽略了问题中的分析：看来学生忽略了问题中的分析：看来学生忽略了问题中的分析：看来学生忽略了问题中的“ “最少最少最少最少” ”。n n(2)(2)老师停了停，追问：老师停了停，追问：老师停了停，追问：老师停了停，追问：“都认为是都认为是都认为是都认为是15151515分钟吗分钟吗分钟吗分钟吗?”?”?”?”n n有学生举起手来，他们认为先接到通知的可有学生举起手来，他们认为先接到通知的可有学生
66、举起手来，他们认为先接到通知的可有学生举起手来，他们认为先接到通知的可以通知下一名同学，这样节省时间。以通知下一名同学，这样节省时间。以通知下一名同学，这样节省时间。以通知下一名同学，这样节省时间。2021/6/162021/6/165050n n(3)(3)老师采用打电话的方式，每分钟通知老师采用打电话的方式，每分钟通知老师采用打电话的方式，每分钟通知老师采用打电话的方式，每分钟通知1 1 1 1人，人，人，人，2 2 2 2分分分分钟最多通知多少人钟最多通知多少人钟最多通知多少人钟最多通知多少人? ? ? ?试着把你的想法用最简洁、最试着把你的想法用最简洁、最试着把你的想法用最简洁、最试着
67、把你的想法用最简洁、最清晰明了的方式表示在数学纸上。清晰明了的方式表示在数学纸上。清晰明了的方式表示在数学纸上。清晰明了的方式表示在数学纸上。n nAA表示形式表示形式表示形式表示形式 （共（共（共（共4141人）人）人）人）n n用文字叙述思路的（用文字叙述思路的（用文字叙述思路的（用文字叙述思路的（6 6人）；画人）；画人）；画人）；画“ “小人小人小人小人” ”等图示等图示等图示等图示表示的（表示的（表示的（表示的（3 3人）；写人）；写人）；写人）；写“ “师、生师、生师、生师、生” ”等汉字图示表示等汉字图示表示等汉字图示表示等汉字图示表示的（的（的（的（2525人）；写字母图示表示
68、的（人）；写字母图示表示的（人）；写字母图示表示的（人）；写字母图示表示的（1 1人）；画符人）；画符人）；画符人）；画符号图示表示的（号图示表示的（号图示表示的（号图示表示的（2 2人）人）人）人） ；其他表示方法（；其他表示方法（；其他表示方法（；其他表示方法（4 4人）。人）。人）。人）。n n分析：在老师的提示下，大多数学生能用画图的分析：在老师的提示下，大多数学生能用画图的分析：在老师的提示下，大多数学生能用画图的分析：在老师的提示下，大多数学生能用画图的方式表达。但多数学生不会用简洁的符号进行画方式表达。但多数学生不会用简洁的符号进行画方式表达。但多数学生不会用简洁的符号进行画方式
69、表达。但多数学生不会用简洁的符号进行画图，看来用画图，看来用画图，看来用画图，看来用画“ “树状图树状图树状图树状图” ”的方式思考还需指导。的方式思考还需指导。的方式思考还需指导。的方式思考还需指导。2021/6/162021/6/165151n nBB表示结果表示结果表示结果表示结果n n认为最多通知认为最多通知认为最多通知认为最多通知22人的（人的（人的（人的（1 1人）；认为最多通知人）；认为最多通知人）；认为最多通知人）；认为最多通知 3 3人的（人的（人的（人的（3535人）；认为最多通知人）；认为最多通知人）；认为最多通知人）；认为最多通知44人的（人的（人的（人的（2 2人）人
70、）人）人）；思路不清的（；思路不清的（；思路不清的（；思路不清的（3 3人）。人）。人）。人）。n n分析：对于分析：对于分析：对于分析：对于“2“2分钟最多通知多少人分钟最多通知多少人分钟最多通知多少人分钟最多通知多少人” ”这样较这样较这样较这样较简单的问题在前面的提示简单的问题在前面的提示简单的问题在前面的提示简单的问题在前面的提示( (先接到通知的可以先接到通知的可以先接到通知的可以先接到通知的可以通知下一名同学通知下一名同学通知下一名同学通知下一名同学) )下，大部分学生能采用最省下，大部分学生能采用最省下，大部分学生能采用最省下，大部分学生能采用最省时方案，但仍有学生不会采用最省时
71、方案。时方案，但仍有学生不会采用最省时方案。时方案，但仍有学生不会采用最省时方案。时方案，但仍有学生不会采用最省时方案。2021/6/162021/6/165252三、教学过程三、教学过程三、教学过程三、教学过程（一）初步探究，发现最优（一）初步探究，发现最优（一）初步探究，发现最优（一）初步探究，发现最优n n(出示问题出示问题出示问题出示问题)一个合唱队共有一个合唱队共有一个合唱队共有一个合唱队共有1515人，周末接到一人，周末接到一人，周末接到一人，周末接到一个紧急演出的任务，老师需要尽快通知到每一个个紧急演出的任务，老师需要尽快通知到每一个个紧急演出的任务，老师需要尽快通知到每一个个紧
72、急演出的任务，老师需要尽快通知到每一个队员。如果采用打电话的方式，每分钟通知队员。如果采用打电话的方式，每分钟通知队员。如果采用打电话的方式，每分钟通知队员。如果采用打电话的方式，每分钟通知1 1人，人，人，人，最少用多长时间通知所有队员最少用多长时间通知所有队员最少用多长时间通知所有队员最少用多长时间通知所有队员? ?n n多数学生：多数学生：多数学生：多数学生：1515分钟。分钟。分钟。分钟。n n生：我觉得可以比生：我觉得可以比生：我觉得可以比生：我觉得可以比1515分钟少，因为老师通知了的分钟少，因为老师通知了的分钟少，因为老师通知了的分钟少，因为老师通知了的人可以再通知别的人呀人可以
73、再通知别的人呀人可以再通知别的人呀人可以再通知别的人呀! !n n师：看来他很会审题，注意到了哪两个字师：看来他很会审题，注意到了哪两个字师：看来他很会审题，注意到了哪两个字师：看来他很会审题，注意到了哪两个字? ?n n生：最少。生：最少。生：最少。生：最少。2021/6/162021/6/165353n n师：看来要想花最少的时间通知所有人并不是老师：看来要想花最少的时间通知所有人并不是老师：看来要想花最少的时间通知所有人并不是老师：看来要想花最少的时间通知所有人并不是老师一个一个通知那么简单。那怎样才能解决这个师一个一个通知那么简单。那怎样才能解决这个师一个一个通知那么简单。那怎样才能解
74、决这个师一个一个通知那么简单。那怎样才能解决这个问题呢问题呢问题呢问题呢? ?我们还是从特殊情况入手来分析吧，这是我们还是从特殊情况入手来分析吧，这是我们还是从特殊情况入手来分析吧，这是我们还是从特殊情况入手来分析吧，这是我们思考问题常用的一种方法。我们思考问题常用的一种方法。我们思考问题常用的一种方法。我们思考问题常用的一种方法。n n师：请问老师师：请问老师师：请问老师师：请问老师1 1分钟最多分钟最多分钟最多分钟最多( (板书板书板书板书) )通知几个人通知几个人通知几个人通知几个人? ?n n生：生：生：生：1 1个人。个人。个人。个人。n n师：为什么呀师：为什么呀师：为什么呀师：为
75、什么呀? ?n n生：因为每分钟只能通知生：因为每分钟只能通知生：因为每分钟只能通知生：因为每分钟只能通知1 1个人。个人。个人。个人。n n师：也就是说师：也就是说师：也就是说师：也就是说11个人在每个人在每个人在每个人在每1 1分钟内只能通知分钟内只能通知分钟内只能通知分钟内只能通知1 1个人个人个人个人” ”是解决这个问题的前提条件。是解决这个问题的前提条件。是解决这个问题的前提条件。是解决这个问题的前提条件。( (板书板书板书板书) )n n【突出【突出【突出【突出“最多最多最多最多与前面的与前面的与前面的与前面的“最少最少最少最少”相对照，使相对照，使相对照，使相对照，使学学学学 生
76、明确此问题的前提条件，为建模做准备。生明确此问题的前提条件，为建模做准备。生明确此问题的前提条件，为建模做准备。生明确此问题的前提条件，为建模做准备。】2021/6/162021/6/165454n n师：那师：那师：那师：那2 2分钟最多能通知多少人呢分钟最多能通知多少人呢分钟最多能通知多少人呢分钟最多能通知多少人呢? ?自己先想一想，自己先想一想，自己先想一想，自己先想一想，试着把你的想法用最简洁、最清晰明了的方式表试着把你的想法用最简洁、最清晰明了的方式表试着把你的想法用最简洁、最清晰明了的方式表试着把你的想法用最简洁、最清晰明了的方式表示在数学纸上。示在数学纸上。示在数学纸上。示在数学
77、纸上。n n生尝试，生尝试，生尝试，生尝试， 师选取代表性方案准备展示。师选取代表性方案准备展示。师选取代表性方案准备展示。师选取代表性方案准备展示。n n1.1.文字叙述的方式文字叙述的方式文字叙述的方式文字叙述的方式 。（学习态度非常认真）。（学习态度非常认真）。（学习态度非常认真）。（学习态度非常认真）n n2.2.画图画图画图画图( (用简笔小人表示老师和同学以及用用简笔小人表示老师和同学以及用用简笔小人表示老师和同学以及用用简笔小人表示老师和同学以及用“ “师师师师队员队员队员队员)的方式的方式的方式的方式 。（既简洁又清楚，很会学。（既简洁又清楚，很会学。（既简洁又清楚，很会学。（
78、既简洁又清楚，很会学习）习）习）习）n n3.3.符号图示符号图示符号图示符号图示(树状图树状图树状图树状图)的的的的 方式。（很有数学头脑，方式。（很有数学头脑，方式。（很有数学头脑，方式。（很有数学头脑，用简单的符号和图示表达复杂的关系很了不起。用简单的符号和图示表达复杂的关系很了不起。用简单的符号和图示表达复杂的关系很了不起。用简单的符号和图示表达复杂的关系很了不起。请这个学生请这个学生请这个学生请这个学生“ “把你的想法与大家交流一下把你的想法与大家交流一下把你的想法与大家交流一下把你的想法与大家交流一下” ”。n n2021/6/162021/6/165555n n师：其实这是我们思
79、考数学问题常用的师：其实这是我们思考数学问题常用的师：其实这是我们思考数学问题常用的师：其实这是我们思考数学问题常用的“ “树状图树状图树状图树状图” ”，你学会了吗，你学会了吗，你学会了吗，你学会了吗? ?让我们一起再来画一画。让我们一起再来画一画。让我们一起再来画一画。让我们一起再来画一画。n n( (生在老师的带领下边说边画生在老师的带领下边说边画生在老师的带领下边说边画生在老师的带领下边说边画) )n n师：为什么这种方案通知到的人最多师：为什么这种方案通知到的人最多师：为什么这种方案通知到的人最多师：为什么这种方案通知到的人最多? ?n n生：因为第二分钟时老师又通知了生：因为第二分
80、钟时老师又通知了生：因为第二分钟时老师又通知了生：因为第二分钟时老师又通知了1 1个人。个人。个人。个人。n n师小结：也就是说第一分钟时老师通知了师小结：也就是说第一分钟时老师通知了师小结：也就是说第一分钟时老师通知了师小结：也就是说第一分钟时老师通知了1 1个人，个人，个人，个人，第二分钟时老师又通知了第二分钟时老师又通知了第二分钟时老师又通知了第二分钟时老师又通知了1 1个人，而接到通知的个人，而接到通知的个人，而接到通知的个人，而接到通知的队员也没闲着，也通知了队员也没闲着，也通知了队员也没闲着，也通知了队员也没闲着，也通知了1 1个人。这样保证每个个人。这样保证每个个人。这样保证每个
81、个人。这样保证每个人都不空闲人都不空闲人都不空闲人都不空闲( (板书板书板书板书) )，接到通知后马上通知下一个，接到通知后马上通知下一个，接到通知后马上通知下一个，接到通知后马上通知下一个人，这样通知的人就最多。人，这样通知的人就最多。人，这样通知的人就最多。人，这样通知的人就最多。n n 【强调【强调【强调【强调“ “每个人都不空闲每个人都不空闲每个人都不空闲每个人都不空闲” ”是解决问题的关键】是解决问题的关键】是解决问题的关键】是解决问题的关键】 2021/6/162021/6/165656（二）（二）（二）（二） 进一步探究，找出答案进一步探究，找出答案进一步探究，找出答案进一步探究
82、，找出答案n n师：可是师：可是师：可是师：可是2 2分钟最多才能通知分钟最多才能通知分钟最多才能通知分钟最多才能通知3 3个人呀个人呀个人呀个人呀! !我们可要我们可要我们可要我们可要通知通知通知通知1515个人呢个人呢个人呢个人呢! !n n 生：接着看生：接着看生：接着看生：接着看3 3分钟最多能分钟最多能分钟最多能分钟最多能通知多少人。通知多少人。通知多少人。通知多少人。n nn n 师：我们来看一看是不是这样：师：我们来看一看是不是这样：师：我们来看一看是不是这样：师：我们来看一看是不是这样： 老师充分利老师充分利老师充分利老师充分利用这有限的用这有限的用这有限的用这有限的3 3分钟
83、时间通知了分钟时间通知了分钟时间通知了分钟时间通知了3 3个人，第一个接到个人，第一个接到个人，第一个接到个人，第一个接到通知的人充分利用剩下的通知的人充分利用剩下的通知的人充分利用剩下的通知的人充分利用剩下的2 2分钟又通知了分钟又通知了分钟又通知了分钟又通知了2 2个人，个人，个人，个人，再接到通知的人充分利用剩下的再接到通知的人充分利用剩下的再接到通知的人充分利用剩下的再接到通知的人充分利用剩下的1 1分钟又分别通分钟又分别通分钟又分别通分钟又分别通知了知了知了知了1 1个人。个人。个人。个人。2 2分钟时通知了分钟时通知了分钟时通知了分钟时通知了3 3个人加上老师，个人加上老师，个人加
84、上老师，个人加上老师，这这这这4 4个人又继续通知了个人又继续通知了个人又继续通知了个人又继续通知了4 4个人，翻倍增长。个人，翻倍增长。个人，翻倍增长。个人，翻倍增长。n n【两种角度解释，为总结规律做准备两种角度解释，为总结规律做准备两种角度解释，为总结规律做准备两种角度解释，为总结规律做准备】2021/6/162021/6/165757n n师：可还没有解决咱们通知师：可还没有解决咱们通知师：可还没有解决咱们通知师：可还没有解决咱们通知1515人的问题，看来还人的问题，看来还人的问题，看来还人的问题，看来还得研究一下得研究一下得研究一下得研究一下4 4分钟最多能通知多少人。（指上图）分钟
85、最多能通知多少人。（指上图）分钟最多能通知多少人。（指上图）分钟最多能通知多少人。（指上图）刚才是刚才是刚才是刚才是3 3分钟通知分钟通知分钟通知分钟通知7 7个人，照这样继续通知下去个人，照这样继续通知下去个人，照这样继续通知下去个人，照这样继续通知下去4 4分钟最多通知多少个人呢分钟最多通知多少个人呢分钟最多通知多少个人呢分钟最多通知多少个人呢? ?n n生：生：生：生：1515个人个人个人个人! !n n师：有不同意见吗师：有不同意见吗师：有不同意见吗师：有不同意见吗? ?n n生：没有。生：没有。生：没有。生：没有。3 3分钟最多通知分钟最多通知分钟最多通知分钟最多通知7 7个人，加上
86、老师个人，加上老师个人，加上老师个人，加上老师8 8个个个个人又都通知了人又都通知了人又都通知了人又都通知了1 1个人，个人，个人，个人，7+8=157+8=15。n n师：请两名同学到前面摆一摆、说一说，进行验师：请两名同学到前面摆一摆、说一说，进行验师：请两名同学到前面摆一摆、说一说，进行验师：请两名同学到前面摆一摆、说一说，进行验证，看看是不是这样。证，看看是不是这样。证，看看是不是这样。证，看看是不是这样。n n(生验证生验证生验证生验证) )2021/6/162021/6/165858n n师：师：师：师：4 4分钟最多通知分钟最多通知分钟最多通知分钟最多通知1515个人，那通知个人
87、，那通知个人，那通知个人，那通知1616个人可个人可个人可个人可能吗能吗能吗能吗? ?为什么为什么为什么为什么? ?n n生：不可能生：不可能生：不可能生：不可能! !最多通知最多通知最多通知最多通知1515个人，不可能比个人，不可能比个人，不可能比个人，不可能比1515还还还还多。多。多。多。n n师：通知师：通知师：通知师：通知1717、2020个人个人个人个人n n生：更不可能了，最多通知生：更不可能了，最多通知生：更不可能了，最多通知生：更不可能了，最多通知1515个人个人个人个人! !n n师：看来师：看来师：看来师：看来“ “最多最多最多最多” ”很重要。很重要。很重要。很重要。n
88、 n师：师：师：师：4 4分钟最多通知分钟最多通知分钟最多通知分钟最多通知1515个人，反过来说就是老个人，反过来说就是老个人，反过来说就是老个人，反过来说就是老师要想通知师要想通知师要想通知师要想通知1515个人最少用几分钟个人最少用几分钟个人最少用几分钟个人最少用几分钟? ?n n生：生：生：生：4 4分钟。分钟。分钟。分钟。2021/6/162021/6/165959n n一生提出异议：我觉得通知一生提出异议：我觉得通知一生提出异议：我觉得通知一生提出异议：我觉得通知1515人最少不是用人最少不是用人最少不是用人最少不是用4 4分分分分钟，我可以半分钟通知钟，我可以半分钟通知钟，我可以半
89、分钟通知钟，我可以半分钟通知1 1个人呀个人呀个人呀个人呀! !n n其他学生异口同声反驳：前提条件是其他学生异口同声反驳：前提条件是其他学生异口同声反驳：前提条件是其他学生异口同声反驳：前提条件是“ “每分钟每分钟每分钟每分钟通知通知通知通知1 1个人个人个人个人” ”。n n师说明：非常感谢你能提出这样一个重要问题：师说明：非常感谢你能提出这样一个重要问题：师说明：非常感谢你能提出这样一个重要问题：师说明：非常感谢你能提出这样一个重要问题：生活中怎么可能通知生活中怎么可能通知生活中怎么可能通知生活中怎么可能通知1 1个人正好用个人正好用个人正好用个人正好用1 1分钟呢分钟呢分钟呢分钟呢?
90、?其实其实其实其实我们这里所说的是一种理想情况。在生活中可能我们这里所说的是一种理想情况。在生活中可能我们这里所说的是一种理想情况。在生活中可能我们这里所说的是一种理想情况。在生活中可能我们进行一次通知用不了我们进行一次通知用不了我们进行一次通知用不了我们进行一次通知用不了1 1分钟或比分钟或比分钟或比分钟或比1 1分钟长，但分钟长，但分钟长，但分钟长，但这种规律是不变的。只是因为这种规律是不变的。只是因为这种规律是不变的。只是因为这种规律是不变的。只是因为1 1分钟好研究好计分钟好研究好计分钟好研究好计分钟好研究好计算，就把它作为一个数学模型来研究算，就把它作为一个数学模型来研究算，就把它作
91、为一个数学模型来研究算，就把它作为一个数学模型来研究“ “打电话打电话打电话打电话” ”问题的规律了。你明白了吗问题的规律了。你明白了吗问题的规律了。你明白了吗问题的规律了。你明白了吗? ?2021/6/162021/6/166060n n师：我们继续看，师：我们继续看，师：我们继续看，师：我们继续看，3 3分钟最多通知分钟最多通知分钟最多通知分钟最多通知7 7个人，反过个人，反过个人，反过个人，反过来说就是老师要想通知来说就是老师要想通知来说就是老师要想通知来说就是老师要想通知7 7个人最少用个人最少用个人最少用个人最少用n n生：生：生：生：3 3分钟。分钟。分钟。分钟。n n【强化对【强
92、化对【强化对【强化对“ “最多最多最多最多” ”的理解，让学生逆向思维，沟的理解，让学生逆向思维，沟的理解，让学生逆向思维，沟的理解，让学生逆向思维，沟通通通通“ “最多最多最多最多” ”与与与与“ “最少最少最少最少” ”的关系。】的关系。】的关系。】的关系。】n n师小结：师小结：师小结：师小结：( (指板书指板书指板书指板书) )现在这个问题解决了吗现在这个问题解决了吗现在这个问题解决了吗现在这个问题解决了吗?在解在解在解在解决刚才这个问题的时候，我们按照一定的顺序，决刚才这个问题的时候，我们按照一定的顺序，决刚才这个问题的时候，我们按照一定的顺序，决刚才这个问题的时候，我们按照一定的顺
93、序，从较特殊情况入手进行分析，最终使这个问题得从较特殊情况入手进行分析，最终使这个问题得从较特殊情况入手进行分析，最终使这个问题得从较特殊情况入手进行分析，最终使这个问题得到解决，这是一种很好的学习方法。到解决，这是一种很好的学习方法。到解决，这是一种很好的学习方法。到解决，这是一种很好的学习方法。n n【强调数学从特殊情况入手分析的思考方法。】【强调数学从特殊情况入手分析的思考方法。】【强调数学从特殊情况入手分析的思考方法。】【强调数学从特殊情况入手分析的思考方法。】2021/6/162021/6/166161（三）深入探究，发现规律（三）深入探究，发现规律（三）深入探究，发现规律（三）深入
94、探究，发现规律n n师：我们还要有深入思考的习惯。我们刚才研究师：我们还要有深入思考的习惯。我们刚才研究师：我们还要有深入思考的习惯。我们刚才研究师：我们还要有深入思考的习惯。我们刚才研究的都是特殊的的都是特殊的的都是特殊的的都是特殊的1 1分钟、分钟、分钟、分钟、2 2分钟、分钟、分钟、分钟、3 3分钟、分钟、分钟、分钟、4 4分钟最分钟最分钟最分钟最多通知多少人，那要是多通知多少人，那要是多通知多少人，那要是多通知多少人，那要是8 8分钟、分钟、分钟、分钟、100100分钟最多能分钟最多能分钟最多能分钟最多能通知多少人呢通知多少人呢通知多少人呢通知多少人呢? ?我们就得寻找什么我们就得寻找
95、什么我们就得寻找什么我们就得寻找什么? ?n n生：规律。生：规律。生：规律。生：规律。n n师：到底有没有规律呢师：到底有没有规律呢师：到底有没有规律呢师：到底有没有规律呢? ?观察一下观察一下观察一下观察一下“ “树状图树状图树状图树状图” ”不同不同不同不同颜色圆点的变化和黑板上的数据。颜色圆点的变化和黑板上的数据。颜色圆点的变化和黑板上的数据。颜色圆点的变化和黑板上的数据。n n生：生：生：生：1+21+2，3+43+4，7+87+8，n n师：这是利用前一结论推导出下一个结论，很好。师：这是利用前一结论推导出下一个结论，很好。师：这是利用前一结论推导出下一个结论，很好。师：这是利用前
96、一结论推导出下一个结论，很好。但这样总要得出前一分钟的结论才行，有没有不但这样总要得出前一分钟的结论才行，有没有不但这样总要得出前一分钟的结论才行，有没有不但这样总要得出前一分钟的结论才行，有没有不利用前一次结论就能得到结果的规律利用前一次结论就能得到结果的规律利用前一次结论就能得到结果的规律利用前一次结论就能得到结果的规律? ?2021/6/162021/6/166262n n生：生：生：生：1+211+21，3+223+22，7+2227+222，n n师：很好，这与前一种规律类似，属于数学上的师：很好，这与前一种规律类似，属于数学上的师：很好，这与前一种规律类似，属于数学上的师：很好，这
97、与前一种规律类似，属于数学上的一种重要思想，递归思想。有没有根据分钟数直一种重要思想，递归思想。有没有根据分钟数直一种重要思想，递归思想。有没有根据分钟数直一种重要思想，递归思想。有没有根据分钟数直接就能知道最多通知多少人的规律接就能知道最多通知多少人的规律接就能知道最多通知多少人的规律接就能知道最多通知多少人的规律? ?n n( (老师给一些提示，引导学生看板书老师给一些提示，引导学生看板书老师给一些提示，引导学生看板书老师给一些提示，引导学生看板书) )n n时间时间时间时间( (分分分分)1234)1234n n人数人数人数人数( (人人人人)13715)13715n n24816248
98、16n n师：师：师：师：1 1分钟时最多通知了几个人分钟时最多通知了几个人分钟时最多通知了几个人分钟时最多通知了几个人?(?(算上老师一共算上老师一共算上老师一共算上老师一共几个人知道通知了几个人知道通知了几个人知道通知了几个人知道通知了?)2?)2分钟时算上老师一共几个人分钟时算上老师一共几个人分钟时算上老师一共几个人分钟时算上老师一共几个人知道通知了呢知道通知了呢知道通知了呢知道通知了呢?发现规律了吗发现规律了吗发现规律了吗发现规律了吗? ?n n生：生：生：生：2-12-1，22-122-1，222-1222-12021/6/162021/6/166363n n师：解释一下为什么有这样
99、的规律师：解释一下为什么有这样的规律师：解释一下为什么有这样的规律师：解释一下为什么有这样的规律? ?n nn n师追问：那师追问：那师追问：那师追问：那5 5分钟、分钟、分钟、分钟、6 6分钟、分钟、分钟、分钟、100100分钟最多通知分钟最多通知分钟最多通知分钟最多通知多少个人多少个人多少个人多少个人? ?n n师小结：师小结：师小结：师小结：n n分钟最多可以通知到分钟最多可以通知到分钟最多可以通知到分钟最多可以通知到nn个个个个2 2相乘再减相乘再减相乘再减相乘再减1 1个人，在数学上可以写成个人，在数学上可以写成个人，在数学上可以写成个人，在数学上可以写成2 2n n-1-1，2 2
100、n n就表示就表示就表示就表示n n个个个个2 2相乘。相乘。相乘。相乘。n n【渗透不完全归纳法，构建数学模型】【渗透不完全归纳法，构建数学模型】【渗透不完全归纳法，构建数学模型】【渗透不完全归纳法，构建数学模型】n n（该结束了吧？）（该结束了吧？）（该结束了吧？）（该结束了吧？）2021/6/162021/6/166464（四）应用规律，提升认识（四）应用规律，提升认识（四）应用规律，提升认识（四）应用规律，提升认识n n师：请看屏幕，用这条整数轴表示打电话通知师：请看屏幕，用这条整数轴表示打电话通知师：请看屏幕，用这条整数轴表示打电话通知师：请看屏幕，用这条整数轴表示打电话通知的人数。
101、前提条件是每分钟通知的人数。前提条件是每分钟通知的人数。前提条件是每分钟通知的人数。前提条件是每分钟通知1 1个人，那么个人，那么个人，那么个人，那么1 1分分分分钟最多只能通知钟最多只能通知钟最多只能通知钟最多只能通知1 1个人，也就是说通知个人，也就是说通知个人，也就是说通知个人，也就是说通知1 1个人至少个人至少个人至少个人至少用用用用1 1分钟。分钟。分钟。分钟。2 2分钟最多能通知分钟最多能通知分钟最多能通知分钟最多能通知3 3个人。通知个人。通知个人。通知个人。通知2 2个人个人个人个人至少用几分钟至少用几分钟至少用几分钟至少用几分钟? ? 3 3分钟最多通知分钟最多通知分钟最多通
102、知分钟最多通知7 7个人，个人，个人，个人，3 3分钟通分钟通分钟通分钟通知知知知8 8个人行吗个人行吗个人行吗个人行吗? ?为什么为什么为什么为什么? ?2021/6/162021/6/166565n n师：我要通知师：我要通知师：我要通知师：我要通知1212个人，你们说我最少用多长时间个人，你们说我最少用多长时间个人，你们说我最少用多长时间个人，你们说我最少用多长时间? ?n n生：生：生：生：4 4分钟。分钟。分钟。分钟。n n师：我可没想通知师：我可没想通知师：我可没想通知师：我可没想通知1515个人个人个人个人? ?n n生：生：生：生：8 8到到到到1515人至少都用人至少都用人至
103、少都用人至少都用4 4分钟，分钟，分钟，分钟，1212人在人在人在人在8 8到到到到1515人人人人之间。之间。之间。之间。n n师：咱班有师：咱班有师：咱班有师：咱班有5252人。我要打电话通知咱们班所有同人。我要打电话通知咱们班所有同人。我要打电话通知咱们班所有同人。我要打电话通知咱们班所有同学一件事，假设也是每分钟通知一个人，最少用学一件事，假设也是每分钟通知一个人，最少用学一件事，假设也是每分钟通知一个人，最少用学一件事，假设也是每分钟通知一个人，最少用多长时间多长时间多长时间多长时间? ?n n(生讨论，然后汇报生讨论，然后汇报生讨论，然后汇报生讨论，然后汇报)n n生：如果通知的人
104、数是在生：如果通知的人数是在生：如果通知的人数是在生：如果通知的人数是在1616到到到到3131人之间，至少人之间，至少人之间，至少人之间，至少5 5分钟，但分钟，但分钟，但分钟，但5252不在这一区间，而在不在这一区间，而在不在这一区间，而在不在这一区间，而在3232到到到到6363人之间，人之间，人之间，人之间，所以最少用所以最少用所以最少用所以最少用6 6分钟。分钟。分钟。分钟。 2021/6/162021/6/166666n n师：刚才同学们通过计算知道了师：刚才同学们通过计算知道了师：刚才同学们通过计算知道了师：刚才同学们通过计算知道了6 6分钟最多可以通知分钟最多可以通知分钟最多可
105、以通知分钟最多可以通知6363人，按这个规律继续算下去人，按这个规律继续算下去人，按这个规律继续算下去人，按这个规律继续算下去7 7分钟分钟分钟分钟127127人，人，人，人，8 8分钟分钟分钟分钟255255人，人，人，人，9 9分钟分钟分钟分钟511511人，人，人，人，2020分钟分钟分钟分钟11048575048575人呢人呢人呢人呢! !看似看似看似看似2 2并不大，这叫指数并不大，这叫指数并不大，这叫指数并不大，这叫指数( (指指指指n)n)，如，如，如，如果按照指数增长，其速度有多么快！这就是数学神奇果按照指数增长，其速度有多么快！这就是数学神奇果按照指数增长，其速度有多么快！这
106、就是数学神奇果按照指数增长，其速度有多么快！这就是数学神奇的魅力。的魅力。的魅力。的魅力。 n n汉诺塔问题：开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了汉诺塔问题：开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了汉诺塔问题：开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了汉诺塔问题：开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石棒，第一根上套着三根金刚石棒，第一根上套着三根金刚石棒，第一根上套着三根金刚石棒，第一根上套着6464个圆片个圆片个圆片个圆片移动圆移动圆移动圆移动圆片的次数恰如我们刚才研究的题：片的次数恰如我们刚才研究的题：片的次数恰如我们刚才研究的题：片的次数恰如我们刚才研究的题：1844674418446744073
107、709551615073709551615。看来众僧们耗尽毕生精力也。看来众僧们耗尽毕生精力也。看来众僧们耗尽毕生精力也。看来众僧们耗尽毕生精力也不可能完成。不可能完成。不可能完成。不可能完成。n n后来这个传说演变为汉诺塔游戏。同学们在网上后来这个传说演变为汉诺塔游戏。同学们在网上后来这个传说演变为汉诺塔游戏。同学们在网上后来这个传说演变为汉诺塔游戏。同学们在网上或科技馆都能见到，有兴趣可以试一试。此外汉诺塔或科技馆都能见到，有兴趣可以试一试。此外汉诺塔或科技馆都能见到，有兴趣可以试一试。此外汉诺塔或科技馆都能见到，有兴趣可以试一试。此外汉诺塔问题也是程序设计中的经典递归问题。问题也是程序设
108、计中的经典递归问题。问题也是程序设计中的经典递归问题。问题也是程序设计中的经典递归问题。 2021/6/162021/6/166767四、教学后的反思四、教学后的反思n n1建立数学模型，提高学生应用数学的能建立数学模型，提高学生应用数学的能力。力。n n2渗透数学思想方法，提高学生数学思维渗透数学思想方法，提高学生数学思维素质。素质。n n3我们要什么样的探究我们要什么样的探究?是表面的热闹还是表面的热闹还是真正的参与是真正的参与?n n4总结出规律就大功告成了吗总结出规律就大功告成了吗?我们要达我们要达成什么样的教学目标成什么样的教学目标?n n5“传统的讲授传统的讲授”还要吗还要吗?【返
109、回】【返回】2021/6/162021/6/1668682008年开封市六年级试题年开封市六年级试题（2009.02）n n例：阅读故事，回答问题。例：阅读故事，回答问题。例：阅读故事，回答问题。例：阅读故事，回答问题。n n在数学上也不乏此时无声胜有声的小故事。在数学上也不乏此时无声胜有声的小故事。在数学上也不乏此时无声胜有声的小故事。在数学上也不乏此时无声胜有声的小故事。19031903年，在纽约的一次数学报告会上，数学家年，在纽约的一次数学报告会上，数学家年，在纽约的一次数学报告会上，数学家年，在纽约的一次数学报告会上，数学家科勒上了讲台，他没有说一句话，只用粉笔在黑科勒上了讲台，他没有
110、说一句话，只用粉笔在黑科勒上了讲台，他没有说一句话，只用粉笔在黑科勒上了讲台，他没有说一句话，只用粉笔在黑板上写了两个算式，一个是板上写了两个算式，一个是板上写了两个算式，一个是板上写了两个算式，一个是6767个个个个2 2相乘减相乘减相乘减相乘减1 1，另，另，另，另一个是一个是一个是一个是193707721761838257287193707721761838257287，并，并，并，并演算出结果。两个算式的结果完全相同，这时，演算出结果。两个算式的结果完全相同，这时，演算出结果。两个算式的结果完全相同，这时，演算出结果。两个算式的结果完全相同，这时，全场爆发出经久不息的掌声。这是为什么呢
111、？全场爆发出经久不息的掌声。这是为什么呢？全场爆发出经久不息的掌声。这是为什么呢？全场爆发出经久不息的掌声。这是为什么呢？2021/6/162021/6/166969n n因为科勒解决了因为科勒解决了因为科勒解决了因为科勒解决了200200年来一直没有弄清的一个问年来一直没有弄清的一个问年来一直没有弄清的一个问年来一直没有弄清的一个问题，即题，即题，即题，即6767个个个个2 2相乘再减相乘再减相乘再减相乘再减1 1的结果是不是质数？现的结果是不是质数？现的结果是不是质数？现的结果是不是质数？现在既然它等于另外两个数的乘积，因此证明了在既然它等于另外两个数的乘积，因此证明了在既然它等于另外两个
112、数的乘积，因此证明了在既然它等于另外两个数的乘积，因此证明了6767个个个个2 2相乘再减相乘再减相乘再减相乘再减1 1不是质数，而是合数。不是质数，而是合数。不是质数，而是合数。不是质数，而是合数。n n科勒只做了一个简短的无声的报告，可这是他花科勒只做了一个简短的无声的报告，可这是他花科勒只做了一个简短的无声的报告，可这是他花科勒只做了一个简短的无声的报告，可这是他花了了了了3 3年中全部星期天的时间，才得出的结论。在年中全部星期天的时间，才得出的结论。在年中全部星期天的时间，才得出的结论。在年中全部星期天的时间，才得出的结论。在这简短算式中所蕴含的智慧、毅力和努力，比洋这简短算式中所蕴含
113、的智慧、毅力和努力，比洋这简短算式中所蕴含的智慧、毅力和努力，比洋这简短算式中所蕴含的智慧、毅力和努力，比洋洋洒洒的万言报告更具魅力。洋洒洒的万言报告更具魅力。洋洒洒的万言报告更具魅力。洋洒洒的万言报告更具魅力。n n请你用数学概念说明为什么请你用数学概念说明为什么请你用数学概念说明为什么请你用数学概念说明为什么6767个个个个2 2相乘再减相乘再减相乘再减相乘再减1 1的结果不是质数，而是合数。的结果不是质数，而是合数。的结果不是质数，而是合数。的结果不是质数，而是合数。2021/6/162021/6/167070n n这个题目不需要计算。要说明为什么这个题目不需要计算。要说明为什么这个题目
114、不需要计算。要说明为什么这个题目不需要计算。要说明为什么6767个个个个2 2相相相相乘再减乘再减乘再减乘再减1 1的结果不是质数而是合数，首先要明确的结果不是质数而是合数，首先要明确的结果不是质数而是合数，首先要明确的结果不是质数而是合数，首先要明确质数和合数的意义质数和合数的意义质数和合数的意义质数和合数的意义 ，其次要用合数的概念与题，其次要用合数的概念与题，其次要用合数的概念与题，其次要用合数的概念与题目中的相关信息相结合，说明目中的相关信息相结合，说明目中的相关信息相结合，说明目中的相关信息相结合，说明6767个个个个2 2相乘再减相乘再减相乘再减相乘再减1 1的结果除了的结果除了的
115、结果除了的结果除了1 1和它本身两个因数外，还有两个因和它本身两个因数外，还有两个因和它本身两个因数外，还有两个因和它本身两个因数外，还有两个因数。数。数。数。n n这里主要考察学生阅读能力、数学思考能力、分这里主要考察学生阅读能力、数学思考能力、分这里主要考察学生阅读能力、数学思考能力、分这里主要考察学生阅读能力、数学思考能力、分析推理能力、等量代换能力、概念掌握的准确与析推理能力、等量代换能力、概念掌握的准确与析推理能力、等量代换能力、概念掌握的准确与析推理能力、等量代换能力、概念掌握的准确与灵活程度以及用语言表达数学思想的能力。其目灵活程度以及用语言表达数学思想的能力。其目灵活程度以及用
116、语言表达数学思想的能力。其目灵活程度以及用语言表达数学思想的能力。其目的是为了促进教与学方式的转变。数学学习不只的是为了促进教与学方式的转变。数学学习不只的是为了促进教与学方式的转变。数学学习不只的是为了促进教与学方式的转变。数学学习不只是用计算来解决问题，用语言表达一种数学思考是用计算来解决问题，用语言表达一种数学思考是用计算来解决问题，用语言表达一种数学思考是用计算来解决问题，用语言表达一种数学思考也是很重要的解决问题的方式。也是很重要的解决问题的方式。也是很重要的解决问题的方式。也是很重要的解决问题的方式。2021/6/162021/6/167171从学生试卷中发现：从学生试卷中发现：从
117、学生试卷中发现：从学生试卷中发现：n n1.1.没有读懂故事，不知故事所云，怎么也不能将没有读懂故事，不知故事所云，怎么也不能将没有读懂故事，不知故事所云，怎么也不能将没有读懂故事，不知故事所云，怎么也不能将故事与数学联系起来，所以无从下手。故事与数学联系起来，所以无从下手。故事与数学联系起来，所以无从下手。故事与数学联系起来，所以无从下手。n n2.2.不能清晰、准确地从故事中提取数学信息，不不能清晰、准确地从故事中提取数学信息，不不能清晰、准确地从故事中提取数学信息，不不能清晰、准确地从故事中提取数学信息，不能将数学概念与故事中的信息有机结合，建立不能将数学概念与故事中的信息有机结合，建立
118、不能将数学概念与故事中的信息有机结合，建立不能将数学概念与故事中的信息有机结合，建立不了数学模型，从而解决不了问题。了数学模型，从而解决不了问题。了数学模型，从而解决不了问题。了数学模型，从而解决不了问题。n n3.3.不能用语言表达自己的数学思考，好像怎么也不能用语言表达自己的数学思考，好像怎么也不能用语言表达自己的数学思考，好像怎么也不能用语言表达自己的数学思考，好像怎么也说不清楚自己的想法。说不清楚自己的想法。说不清楚自己的想法。说不清楚自己的想法。n n更有甚者，部分老师也不知道该怎样回答。更有甚者，部分老师也不知道该怎样回答。更有甚者，部分老师也不知道该怎样回答。更有甚者，部分老师也
119、不知道该怎样回答。n n这些现象难道不发人深思吗？深思的结果必然是这些现象难道不发人深思吗？深思的结果必然是这些现象难道不发人深思吗？深思的结果必然是这些现象难道不发人深思吗？深思的结果必然是促进数学教学的改进。促进数学教学的改进。促进数学教学的改进。促进数学教学的改进。【返回】【返回】2021/6/162021/6/167272n n费马的素数公式：费马的素数公式：2的的2n次方加次方加1n n当当n=0，1，2，3，4时都正确，时都正确，n=5时，时，4294967297是不是素数？当时不能分解是不是素数？当时不能分解，所以认为也是。后来，天才的欧拉指出，所以认为也是。后来，天才的欧拉指出
120、，它能被它能被641整除，即整除，即641*6700417。n n另有：另有：n2-79n+1601。N为为079时都时都是素数，但是素数，但n=80时失效。时失效。n n(2p+1)/3（p为奇素数），到为奇素数），到p=37时是时是合数。合数。2021/6/162021/6/167373这些问题你会解答吗？这些问题你会解答吗？n n1.电话号码是数吗？电话号码是数吗？n n2.最小的一位数是几？最小的一位数是几？300006532你会读吗？你会读吗？n n3.3x5=32，是方程吗？，是方程吗？n n4.0.999与与1谁大？谁大？n n5.“要求长方形的面积，必须知道什么？要求长方形的面
121、积，必须知道什么？”这句话对吗？这句话对吗？2021/6/162021/6/167474n n6.正反反正反（正反反正反（）；）；“姐姐（姐姐（）比弟弟）比弟弟大大”和和“我一定要考我一定要考100分分”是概率事件吗是概率事件吗？n n7.线段的两端和射线的起点都叫线段的两端和射线的起点都叫“端点端点”，为什么在为什么在“角角”里就叫里就叫“顶点顶点”了呢？了呢？n n8.直线比射线长吗？自然数比偶数多吗？直线比射线长吗？自然数比偶数多吗？n n9. “ “应该是应该是5252分分0909秒秒, ,不应是不应是5151分分6969秒！秒！”“”“为什么退为什么退1 1，退，退2 2不行吗？不行
122、吗？”“”“退退1 1为什为什么当么当1010，当，当9 9、当、当8 8可以吗？可以吗？”n n10.“学了分数，还学小数干什么？学了分数，还学小数干什么？”【返回【返回】2021/6/162021/6/167575教学要挠到学生的教学要挠到学生的“痒痒”处处（牛献礼，（牛献礼，2010.04）n n编儿歌：编儿歌：1只青蛙只青蛙1张嘴，张嘴，2只眼睛只眼睛4条腿；条腿；n n2只青蛙只青蛙2张嘴，张嘴，4只眼睛只眼睛8条腿；条腿；n n3只青蛙只青蛙3张嘴，张嘴，6只眼睛只眼睛12条腿；条腿；n nn n你能用一句话就把这首儿歌读完吗？你能用一句话就把这首儿歌读完吗？n n生思考，师收集学
123、生的典型想法。全班交流生思考，师收集学生的典型想法。全班交流时，师有序呈现：时，师有序呈现：2021/6/162021/6/167676n n方法一：方法一：x只青蛙只青蛙x张嘴，张嘴，x只眼睛只眼睛x条腿。条腿。n n老师没有做出评价，而是让学生来评价这老师没有做出评价，而是让学生来评价这种方法的优劣。种方法的优劣。n n生生1：如果：如果x代表代表1，就成了，就成了1只青蛙只青蛙1张嘴，张嘴，1只眼睛只眼睛1条腿，这是一只残废的青蛙。条腿，这是一只残废的青蛙。（众笑）（众笑）n n同学们在笑声中明白了同学们在笑声中明白了“在同一个情境中，在同一个情境中，一个字母只能代表同一个数一个字母只能
124、代表同一个数”。2021/6/162021/6/167777n n方法二：方法二：a只青蛙只青蛙a张嘴，张嘴，b只眼睛只眼睛c条腿。条腿。n n师：这种方法用不同的字母来表示不同的师：这种方法用不同的字母来表示不同的数量，就避免了上面的问题，好不好？数量，就避免了上面的问题，好不好？n n生生2：这个方法也不好。我也举个例子：这个方法也不好。我也举个例子：a代表代表1，b代表代表3，c代表代表5，就成了，就成了“1只青只青蛙蛙1张嘴，张嘴，3只眼睛只眼睛5条腿条腿”，也是一只残，也是一只残废的青蛙。（众笑）废的青蛙。（众笑）n n同学们又一次在笑声中明白了必须用字母同学们又一次在笑声中明白了必
125、须用字母表示出数量之间的正确关系。表示出数量之间的正确关系。2021/6/162021/6/167878n n师：你是说这样的写法没有反映出儿歌中师：你是说这样的写法没有反映出儿歌中几个数量之间的关系，所以不太好。其实几个数量之间的关系，所以不太好。其实这里的这里的b和和c分别表示什么？分别表示什么？n n生：生：b表示表示a，c表示表示a。n n呈现方法三：呈现方法三：a只青蛙只青蛙a张嘴，张嘴，a2只眼只眼睛睛a4条腿。条腿。n n【返回】【返回】2021/6/162021/6/167979张齐华确定位置n n师：下面，我提高要求，直接报数对，请符合要师：下面，我提高要求，直接报数对，请符
126、合要师：下面，我提高要求，直接报数对，请符合要师：下面，我提高要求，直接报数对，请符合要求的同学迅速起立。看谁的反应最快。（求的同学迅速起立。看谁的反应最快。（求的同学迅速起立。看谁的反应最快。（求的同学迅速起立。看谁的反应最快。（3 3，1 1）（3 3，2 2）（）（）（）（3 3，3 3）（）（）（）（3 3，4 4）（）（）（）（3 3，5 5）。）。）。）。n n相应地，五名学生一一起立。相应地，五名学生一一起立。相应地，五名学生一一起立。相应地，五名学生一一起立。n n师：奇怪，怎么就齐刷刷地站起来一队？师：奇怪，怎么就齐刷刷地站起来一队？师：奇怪，怎么就齐刷刷地站起来一队？师：奇
127、怪，怎么就齐刷刷地站起来一队？n n生：因为你报的数对有规律。生：因为你报的数对有规律。生：因为你报的数对有规律。生：因为你报的数对有规律。n n师：是吗，说来听听？师：是吗，说来听听？师：是吗，说来听听？师：是吗，说来听听？n n生：这五个数对列数都是生：这五个数对列数都是生：这五个数对列数都是生：这五个数对列数都是3 3，说明他们都在第，说明他们都在第，说明他们都在第，说明他们都在第3 3列，列，列，列，当然就站起来一队了。当然就站起来一队了。当然就站起来一队了。当然就站起来一队了。2021/6/162021/6/168080n n师：说起来挺容易，如果也让你来出几个数对，师：说起来挺容易
128、，如果也让你来出几个数对，师：说起来挺容易，如果也让你来出几个数对，师：说起来挺容易，如果也让你来出几个数对，你有本事也让一队同学站起来吗？谁来试试？你有本事也让一队同学站起来吗？谁来试试？你有本事也让一队同学站起来吗？谁来试试？你有本事也让一队同学站起来吗？谁来试试？n n生：（生：（生：（生：（5 5，1 1）（）（）（）（5 5，2 2）（5 5，5 5）。）。）。）。n n师：不错！不过，有点依葫芦画瓢的嫌疑。有没师：不错！不过，有点依葫芦画瓢的嫌疑。有没师：不错！不过，有点依葫芦画瓢的嫌疑。有没师：不错！不过，有点依葫芦画瓢的嫌疑。有没有不一样的？有不一样的？有不一样的？有不一样的？
129、n n生：（生：（生：（生：（1 1，3 3）（）（）（）（2 2，3 3）（5 5，3 3）。）。）。）。n n师：发现了什么？师：发现了什么？师：发现了什么？师：发现了什么？生：这回站起来的是一行。生：这回站起来的是一行。生：这回站起来的是一行。生：这回站起来的是一行。n n师：有变化了。能说说为什么吗？师：有变化了。能说说为什么吗？师：有变化了。能说说为什么吗？师：有变化了。能说说为什么吗？n n（生答略）（生答略）（生答略）（生答略）n n师：真不错！师：真不错！师：真不错！师：真不错！2021/6/162021/6/168181n n师：不过，张老师觉得这还不算什么。说师：不过，张老
130、师觉得这还不算什么。说师：不过，张老师觉得这还不算什么。说师：不过，张老师觉得这还不算什么。说5 5个数个数个数个数对，站起来一排；要是我说，我只给对，站起来一排；要是我说，我只给对，站起来一排；要是我说，我只给对，站起来一排；要是我说，我只给1 1个数对，个数对，个数对，个数对，就可以站起来一排，你们信吗？就可以站起来一排，你们信吗？就可以站起来一排，你们信吗？就可以站起来一排，你们信吗？n n生：不信！生：不信！生：不信！生：不信！生：不可能！生：不可能！生：不可能！生：不可能！n n师：口说无凭，要不试试？师：口说无凭，要不试试？师：口说无凭，要不试试？师：口说无凭，要不试试？ 出示（出
131、示（出示（出示（4 4，x x） 符合符合符合符合要求的同学请站起来。要求的同学请站起来。要求的同学请站起来。要求的同学请站起来。 生站起。问（生站起。问（生站起。问（生站起。问（4 4，1 1） 奇奇奇奇怪，我上面写（怪，我上面写（怪，我上面写（怪，我上面写（4 4，1 1）了没有？）了没有？）了没有？）了没有？生：没有。生：没有。生：没有。生：没有。n n师：那你站起来干吗？还不坐下去？（生笑）师：那你站起来干吗？还不坐下去？（生笑）师：那你站起来干吗？还不坐下去？（生笑）师：那你站起来干吗？还不坐下去？（生笑）n n生：不对，（生：不对，（生：不对，（生：不对，（4 4，x x）中的）中
132、的）中的）中的x x是一个未知数，既可是一个未知数，既可是一个未知数，既可是一个未知数，既可以表示以表示以表示以表示1 1，也可以表示，也可以表示，也可以表示，也可以表示2 2，3 3，4 4等，所以我们都等，所以我们都等，所以我们都等，所以我们都站起来了。站起来了。站起来了。站起来了。2021/6/162021/6/168282n n师：瞧老师厉害吧，一个数对，就让一排同学站师：瞧老师厉害吧，一个数对，就让一排同学站师：瞧老师厉害吧，一个数对，就让一排同学站师：瞧老师厉害吧，一个数对，就让一排同学站起来。起来。起来。起来。n n生：不厉生：不厉生：不厉生：不厉害。我也会！害。我也会！害。我也
133、会！害。我也会！n n师：是吗？谁来试试。师：是吗？谁来试试。师：是吗？谁来试试。师：是吗？谁来试试。n n生：（生：（生：（生：（x x，4 4）。）。）。）。n n师：换了个个儿，真能站起一队吗？来，符合条师：换了个个儿，真能站起一队吗？来，符合条师：换了个个儿，真能站起一队吗？来，符合条师：换了个个儿，真能站起一队吗？来，符合条件的站起来。（第件的站起来。（第件的站起来。（第件的站起来。（第4 4行学生很快站起）还真不赖行学生很快站起）还真不赖行学生很快站起）还真不赖行学生很快站起）还真不赖啊！啊！啊！啊！n n生：老师，我还可让全班同学都站起来。生：老师，我还可让全班同学都站起来。生：
134、老师，我还可让全班同学都站起来。生：老师，我还可让全班同学都站起来。n n师：是吗？！越来越厉害了。试试？师：是吗？！越来越厉害了。试试？师：是吗？！越来越厉害了。试试？师：是吗？！越来越厉害了。试试？n n生：（生：（生：（生：（x x，x x）。）。）。）。2021/6/162021/6/168383n n师：来，符合要求的请起立。（全班学生站起）师：来，符合要求的请起立。（全班学生站起）师：来，符合要求的请起立。（全班学生站起）师：来，符合要求的请起立。（全班学生站起）嗯，让我来看看，当嗯，让我来看看，当嗯，让我来看看，当嗯，让我来看看，当x x等于等于等于等于1 1时，该谁站起来？时，
135、该谁站起来？时，该谁站起来？时，该谁站起来？ 数对为（数对为（数对为（数对为（1 1，1 1）的同学举手示意）的同学举手示意）的同学举手示意）的同学举手示意 ，不错！当，不错！当，不错！当，不错！当x x等于等于等于等于2 2呢？呢？呢？呢？n n数对为（数对为（数对为（数对为（2 2，2 2）的同学也示意了一下，此时，有）的同学也示意了一下，此时，有）的同学也示意了一下，此时，有）的同学也示意了一下，此时，有部分同学开始犹豫，也有同学重新坐了下来。部分同学开始犹豫，也有同学重新坐了下来。部分同学开始犹豫，也有同学重新坐了下来。部分同学开始犹豫，也有同学重新坐了下来。n n师：奇怪，有人开始坐
136、下去了。采访一下，你为师：奇怪，有人开始坐下去了。采访一下，你为师：奇怪，有人开始坐下去了。采访一下，你为师：奇怪，有人开始坐下去了。采访一下，你为什么又不站了？什么又不站了？什么又不站了？什么又不站了？n n生：一开始我觉得（生：一开始我觉得（生：一开始我觉得（生：一开始我觉得（x x，x x）应该包含所有人，但）应该包含所有人，但）应该包含所有人，但）应该包含所有人，但现在看来，我不算。现在看来，我不算。现在看来，我不算。现在看来，我不算。2021/6/162021/6/168484n n师：不是说字母可以表示任何数吗，你怎师：不是说字母可以表示任何数吗，你怎么就不算了呢？么就不算了呢？n
137、 n生：字母是可以表示任何数，但我发现，生：字母是可以表示任何数，但我发现，当当x等于等于1时，只有（时，只有（1，1）可以站，同样，）可以站，同样，当当x等于等于2、3、4时，只有（时，只有（2，2）（）（3，3）（4，4）等可以站，所以其他人都不能站。）等可以站，所以其他人都不能站。n n师：说得有没有道理啊？师：说得有没有道理啊？n n生：有！生：有！2021/6/162021/6/168585n n生：我有补充。生：我有补充。虽然字母可以表示任何数，虽然字母可以表示任何数，但两个相同的字母只能表示两个相同的数但两个相同的字母只能表示两个相同的数，这样，就不是所有人都能站起来了。这样，就
138、不是所有人都能站起来了。n n此时，剩下的同学陆陆续续都坐了下去，只有符此时，剩下的同学陆陆续续都坐了下去，只有符此时，剩下的同学陆陆续续都坐了下去，只有符此时，剩下的同学陆陆续续都坐了下去，只有符合要求的合要求的合要求的合要求的6 6位同学站着。位同学站着。位同学站着。位同学站着。n n生：我知道了，可以用（生：我知道了，可以用（x，y）。）。n n师：这一回，符合要求的请站起来。（全师：这一回，符合要求的请站起来。（全班学生站起来）班学生站起来）其实，有错误并不重要，其实，有错误并不重要，重要的是要从错误中吸取教训，并对问题重要的是要从错误中吸取教训，并对问题获得更深入的认识！获得更深入的
139、认识！【返回返回1】【返回【返回2】2021/6/162021/6/168686骄傲的骄傲的“9”“10的认识的认识”故事引入故事引入n n在数学王国里，从在数学王国里，从0到到9这些数字都是好这些数字都是好朋友。可是有一天，数字朋友。可是有一天，数字9发现它在这些发现它在这些数字里是最大的，就开始骄傲起来。数字里是最大的，就开始骄傲起来。n n它对其他数字说：它对其他数字说：“你们这些小不点儿，你们这些小不点儿，全都比我小，你们以后都得听我的，我是全都比我小，你们以后都得听我的，我是你们的大王。你们的大王。”2021/6/162021/6/168787n n为了帮助教育为了帮助教育9，其他的
140、数字就悄悄地商，其他的数字就悄悄地商量了一个好办法：让数字量了一个好办法：让数字1站在站在9最瞧不最瞧不起的数字起的数字0的左边，变成了一个新的数。的左边，变成了一个新的数。n n数字数字9看到这个新的数后，惭愧地低下了看到这个新的数后，惭愧地低下了头，再也不骄傲了。从此，数字头，再也不骄傲了。从此，数字9和其他和其他数字又成了好朋友，快乐地生活在一起。数字又成了好朋友，快乐地生活在一起。n n思考：大家想出了怎样的好办法，教育了思考：大家想出了怎样的好办法，教育了骄傲的骄傲的9？2021/6/162021/6/168888n n1.讲故事、做游戏、直观演示等能激发学讲故事、做游戏、直观演示等
141、能激发学生的学习兴趣。但是，数学课上的故事不生的学习兴趣。但是，数学课上的故事不能只有情节，没有数学。好故事要么能体能只有情节，没有数学。好故事要么能体现数学智慧，要么应蕴涵相关的数学知识。现数学智慧，要么应蕴涵相关的数学知识。n n2.以新颖的故事创设情境、巧设疑问：以新颖的故事创设情境、巧设疑问：1站站在在0的左边，变成了几？的左边，变成了几？10究竟是多少？究竟是多少？它比骄傲的它比骄傲的9多几呢？从而激起学生的求知多几呢？从而激起学生的求知欲望，使学生积极思维。欲望，使学生积极思维。2021/6/162021/6/168989n n4.该故事不仅把思想教育和该故事不仅把思想教育和“数数
142、”有机结有机结合，而且其背后有丰富的意涵：合，而且其背后有丰富的意涵：n n数字只有数字只有09，无论多大的数，都是这，无论多大的数，都是这些数字按照一定的规则组合而成，即有限些数字按照一定的规则组合而成，即有限的数字、有限的规则构成了无限的数，它的数字、有限的规则构成了无限的数，它体现了人的聪明才智。体现了人的聪明才智。n n用这个故事引出用这个故事引出10，使学生感到，使学生感到，10是是由两个数字组合而成的，它是按照什么规由两个数字组合而成的，它是按照什么规则组合的呢？为后面理解则组合的呢？为后面理解10的意义和表示的意义和表示方法埋下了伏笔。方法埋下了伏笔。【返回返回1】【返回【返回2
143、】2021/6/162021/6/169090 半径有无数条吗半径有无数条吗（2007.09，张齐华，重备，张齐华，重备“圆的认识圆的认识”）n n师：（绝大多数学生赞成师：（绝大多数学生赞成师：（绝大多数学生赞成师：（绝大多数学生赞成“ “半径有无数条半径有无数条半径有无数条半径有无数条”）要）要）要）要说有很多条，大家都能理解，怎么会有无数条呢说有很多条，大家都能理解，怎么会有无数条呢说有很多条，大家都能理解，怎么会有无数条呢说有很多条，大家都能理解，怎么会有无数条呢？能结合黑板上的圆说说你们的想法吗？能结合黑板上的圆说说你们的想法吗？能结合黑板上的圆说说你们的想法吗？能结合黑板上的圆说说
144、你们的想法吗？n n生生生生1 1：现在圆里画了三条半径，可还有很多空当：现在圆里画了三条半径，可还有很多空当：现在圆里画了三条半径，可还有很多空当：现在圆里画了三条半径，可还有很多空当呀！只要有足够的时间，就可以不停地画下去，呀！只要有足够的时间，就可以不停地画下去，呀！只要有足够的时间，就可以不停地画下去，呀！只要有足够的时间，就可以不停地画下去，永远也画不完。永远也画不完。永远也画不完。永远也画不完。n n生生生生2 2：不可能，圆就那么大，总有画满的时候呀。：不可能，圆就那么大，总有画满的时候呀。：不可能，圆就那么大，总有画满的时候呀。：不可能，圆就那么大，总有画满的时候呀。你瞧，我才
145、画了二十几条，都快要画满了更不用你瞧，我才画了二十几条，都快要画满了更不用你瞧，我才画了二十几条，都快要画满了更不用你瞧，我才画了二十几条，都快要画满了更不用说画无数条了。说画无数条了。说画无数条了。说画无数条了。2021/6/162021/6/169191n n生生1：那我们可以选择一个大一些的圆呀：那我们可以选择一个大一些的圆呀n n生生2：那只能说大一些的圆可以，小的不行。：那只能说大一些的圆可以，小的不行。n n生生3：我觉得小的也行。你看，你的铅笔那：我觉得小的也行。你看，你的铅笔那么粗，当然么粗，当然如果削得很细很细如果削得很细很细n n（师相机渗透：从数学的角度看，线段想（师相机
146、渗透：从数学的角度看，线段想要多细就有多细，它本质上是没有粗细的。要多细就有多细，它本质上是没有粗细的。部分学生有些茫然，哈哈，这有些超出他部分学生有些茫然，哈哈，这有些超出他们的认知水平了，就此打住吧）们的认知水平了，就此打住吧）2021/6/162021/6/169292n n生：我们还可以这样想：半径是连接圆生：我们还可以这样想：半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，圆上有无数心和圆上任意一点的线段，圆上有无数个点，当然个点，当然n n生：我们还可以通过对折来验证。对折生：我们还可以通过对折来验证。对折两条，再对折两条，再对折又两条，只要不又两条，只要不停地折下去停地折下去【返回】【返回】2021/6/162021/6/1693932021/6/162021/6/1694942021/6/162021/6/1695952021/6/162021/6/169696 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
